第一章 三角形（八大考点+八大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学第一章“三角形”知识清单系统梳理了三角形的概念、边角关系、分类、全等判定及证明等核心内容，构建了从基础概念到性质应用再到逻辑推理的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三维架构呈现，如“全等三角形判定”明确标注SSA/AAA不能判定的易错点，培养学生推理意识与几何直观。配套综合练习题强化知识迁移，助力学生自主复习，教师可精准把握教学重难点，提升课堂效率。

第一章 三角形 知识点一·三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的表示：用符号"△"表示，顶点为A、B、C的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。 3.三角形的三要素：三条边、三个内角、三个顶点。 4.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 知识点二·三角形的边角关系 1.°三边关系：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 ①判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边。 ②已知两边求第三边范围：第三边大于两边之差，小于两边之和。 2.内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 3.外角性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 知识点三·三角形的分类 1.按角分类： ①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形； ②直角三角形：有一个角是直角的三角形； ③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 2.按边分类： ①不等边三角形：三条边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，另一边叫底）； ③等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点四·定义与命题 1.定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 3.命题的结构：由条件和结论两部分组成，通常可以写成"如果……那么……"的形式。 4.真命题与假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 5.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据。 知识点五·证明 1.证明的含义：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 2.证明的一般步骤： ①根据题意，画出图形； ②在"已知"中写出条件，在"求证"中写出结论； ③在"证明"中写出推理过程。 3.反证法：先假设命题不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推理，最后得出与已知条件或定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题正确。 知识点六·全等三角形 1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3.表示方法：用符号"≌"表示，读作"全等于"。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 4.对应元素：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 5.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 知识点七·三角形全等的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 3.角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4.角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 6.注意：SSA（两边及其中一边的对角）和AAA（三角对应相等）不能判定两个三角形全等。 知识点八·角平分线与垂直平分线的性质 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.角平分线的判定（逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 4.线段垂直平分线的判定（逆定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 易错点1·三角形三边关系的应用 易错提醒 1.判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，不需要逐一验证三组不等式。 2.已知两边长求第三边范围时，第三边大于两边之差且小于两边之和，注意差取绝对值。 3.等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论哪条边是腰，并逐一验证是否满足三边关系，防止漏解或多解。 【对点训练】1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 【对点训练】2．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 【对点训练】3．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 【对点训练】4．若等腰三角形的两条边长为3和8，则该等腰三角形的周长为（　　） A．14 B．16 C．19 D．14或19 【答案】C 【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、8， ∵3+3=6＜8， ∴此时不能组成三角形； ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、8、8， 此时能组成三角形， 所以，周长=3+8+8=19， 综上所述，这个等腰三角形的周长是19． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键在于要分情况讨论． 易错点2·三角形内角和与外角性质的混淆 易错提醒 1.三角形内角和为180°；外角是一边与另一边延长线组成的角，不是三角形内部的角。 2.外角等于与它不相邻的两个内角之和，关键词是"不相邻"，不能漏掉限定条件。 3.外角大于任何一个与它不相邻的内角，不是大于三角形的所有内角。 4.直角三角形的两个锐角互余（和为90°），这是内角和定理的推论，不要与外角性质混淆。 【对点训练】1．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为_________．    【答案】 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 【对点训练】2．如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【对点训练】3．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则__________． 【答案】110°/110度 【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵AC⊥AB， ∴∠A=90°， ∵∠1=20°， ∴∠ADC=180°-90°-20°=70°， ∵， ∴∠3=∠ADC=70°， ∴∠2=180°-70°=110°， 故答案为：110°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角定理，垂直的定义，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 【对点训练】4．若△ABC的三个内角满足关系式，则此三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60° 【答案】C 【分析】此题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，结合已知条件，可求出的度数，从而判断选项 【详解】∵ （三角形内角和定理）， 又∵ （已知）， ∴，即 ， ∴， ∴ 此三角形一定有一个内角为45°，故选项C正确， 选项A错误，因为和可能均为锐角（如和）或有一个钝角（如和），不一定是锐角三角形； 选项B错误，理由同A，不一定是钝角三角形； 选项D错误，因为，且和之和为，但可能不含（如和）， 故选：C 易错点3·三角形分类中的概念交叉 易错提醒 1.°等边三角形是特殊的等腰三角形，不是独立于等腰三角形之外的类别，按边分类时二者是包含关系。 2.°按角分类时，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角，其余角均为锐角。 3.°等腰直角三角形既是等腰三角形又是直角三角形，两种分类标准可以交叉，不要认为一个三角形只能属于一类。 【对点训练】1．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【详解】解：将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 【对点训练】2．如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可． 【详解】解：如图，当时，此时三角形为锐角三角形； 如图，当或时，此时三角形为直角三角形； 或 如图，当或时，此时三角形为钝角三角形； 或 如图，当或或时，此时三角形为等腰三角形； 或或 综上，三角形可能是①②③④． 故选：D． 易错点4·定义与命题的区分及命题改写 易错提醒 1.定义是规定名称或术语意义的句子，命题是对事情作出判断的句子，二者功能不同，不能混为一谈。 2.命题必须作出判断，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 3.将命题改写为"如果……那么……"形式时，条件和结论要准确区分，不能改变原意。 4.假命题也是命题，不能因为判断不正确就认为它不是命题。 【对点训练】1．命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【答案】 两个角是对顶角 【分析】本题考查命题的结构，命题由题设和结论组成，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分即为题设，据此求解即可. 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如果”引领的部分是题设， 因此该命题的题设是两个角是对顶角. 【对点训练】2．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 易错点5·证明过程中的逻辑错误 易错提醒 1.证明必须从已知条件出发，不能把结论当作条件使用，否则犯循环论证的错误。 2.每一步推理都要有依据（定义、基本事实、定理、推论），不能"想当然"或跳步。 3.辅助线要用虚线画出，并在证明开头说明作法（如"连接XX""过点X作XX⊥XX于X"）。 4.反证法第一步是假设命题不成立（即结论的反面成立），不是假设结论成立。 【对点训练】1．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 【对点训练】2．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 易错点6·全等三角形对应元素的确定 易错提醒 1.记两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上，不能随意排列，否则对应关系会错乱。 2.对应边、对应角是根据重合关系确定的，不是凭图形直观或长短大小判断。 3.公共边、公共角一定是对应边、对应角；但对应边、对应角不一定是公共的。 4.两条直线相交形成的对顶角是对应角。 【对点训练】1．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【对点训练】2．如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（    ） A．DB B．BC C．CD D．AD 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC和DA，而BD和BD是对应边，故而得出AB的对应边为CD． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边， ∴BC和DA为对应边， ∴AB的对应边为CD． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质． 【对点训练】3．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 易错点7·全等三角形判定定理的误用 易错提醒 1.SAS中的角必须是两边的夹角；SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等。 2.ASA中的边必须是两角的夹边；AAS是两角及其中一角的对边，二者不要混淆。 3.AAA（三角对应相等）只能判定三角形相似，不能判定全等。 4.HL只适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等，两条直角边对应相等用的是SAS。 5.判定全等至少要有一组边对应相等，全是角相等不行。 【对点训练】1．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 【对点训练】2．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等式的性质可得出，然后根据证明； （2）根据（1）中得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【对点训练】3．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 易错点8·角平分线与垂直平分线性质的误用 易错提醒 1.角平分线性质中的"距离"是指点到角两边的垂线段长度，不是任意线段的长度。 2.垂直平分线性质中的"两端点"是指被垂直平分的那条线段的两个端点，不是任意两点。 3.性质与判定（逆定理）要区分：已知平分线/垂直平分线→得距离相等是性质；已知距离相等→得点在平分线/垂直平分线上是判定。 4.三角形三条角平分线交于一点（内心），三条垂直平分线交于一点（外心），交点位置不要记混。 【对点训练】1．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可确定满足条件的点的位置. 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. ∴要使点到，的距离相等，该点一定在的垂直平分线上， 同理，要使点到，的距离相等，该点一定在的垂直平分线上. ∴两条垂直平分线的交点，到，，三个点的距离都相等， ∴活动中心应建在三条边的垂直平分线的交点. 【对点训练】2．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【分析】，，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即可． 【详解】解：由题意可得：，， ． 【对点训练】3．如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作于点E，如图， ∵平分，，，， ∴， ． 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 3．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】D 【详解】解：对于选项A：两直线平行，同位角相等，为真命题，故A不符合题意； 对于选项B：同旁内角互补，两直线平行，为真命题，故B不符合题意； 对于选项C：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，故C不符合题意； 对于选项D：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，原命题缺少两直线平行的前提，为假命题，故D符合题意． 4．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 5．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：. 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 7．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全等． 【详解】解：是，的中点 ， 在和中 判定依据是． 8．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 9．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 10．如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 【答案】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可判断；利用证明，推出，，即可判断；由，，即可判断． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，；正确； 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，正确； ， ， 又， ，正确； 综上，都正确，正确的个数是个． 11．如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在和中，，，，线段与线段相等吗？请说明理由． 【答案】解：相等，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，，， ， ． 【分析】利用证明三角形全等，三角形全等对应的边相等． 【详解】略 13．如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）先得出，，再得出，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 14．学习完《全等三角形》一章后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测角仪，卷尺 测量方案示意图    测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为米． (1)根据测量的各角度数，计算出_____°，猜想、两点间的距离为_____米． (2)请你借助全等三角形的知识证明此方案正确． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）可知， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴、两点间的距离为米． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数即可，根据的长度为米猜想、两点间的距离即可． （2）利用证明，得出，进而得出即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的长度为米， ∴猜想、两点间的距离为米． （2）证明：略 15．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 16．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 知识点一·三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的表示：用符号"△"表示，顶点为A、B、C的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。 3.三角形的三要素：三条边、三个内角、三个顶点。 4.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 知识点二·三角形的边角关系 1.°三边关系：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 ①判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边。 ②已知两边求第三边范围：第三边大于两边之差，小于两边之和。 2.内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 3.外角性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 知识点三·三角形的分类 1.按角分类： ①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形； ②直角三角形：有一个角是直角的三角形； ③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 2.按边分类： ①不等边三角形：三条边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，另一边叫底）； ③等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点四·定义与命题 1.定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 3.命题的结构：由条件和结论两部分组成，通常可以写成"如果……那么……"的形式。 4.真命题与假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 5.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据。 知识点五·证明 1.证明的含义：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 2.证明的一般步骤： ①根据题意，画出图形； ②在"已知"中写出条件，在"求证"中写出结论； ③在"证明"中写出推理过程。 3.反证法：先假设命题不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推理，最后得出与已知条件或定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题正确。 知识点六·全等三角形 1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3.表示方法：用符号"≌"表示，读作"全等于"。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 4.对应元素：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 5.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 知识点七·三角形全等的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 3.角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4.角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 6.注意：SSA（两边及其中一边的对角）和AAA（三角对应相等）不能判定两个三角形全等。 知识点八·角平分线与垂直平分线的性质 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.角平分线的判定（逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 4.线段垂直平分线的判定（逆定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 易错点1·三角形三边关系的应用 易错提醒 1.判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，不需要逐一验证三组不等式。 2.已知两边长求第三边范围时，第三边大于两边之差且小于两边之和，注意差取绝对值。 3.等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论哪条边是腰，并逐一验证是否满足三边关系，防止漏解或多解。 【对点训练】1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【对点训练】4．若等腰三角形的两条边长为3和8，则该等腰三角形的周长为（　　） A．14 B．16 C．19 D．14或19 易错点2·三角形内角和与外角性质的混淆 易错提醒 1.三角形内角和为180°；外角是一边与另一边延长线组成的角，不是三角形内部的角。 2.外角等于与它不相邻的两个内角之和，关键词是"不相邻"，不能漏掉限定条件。 3.外角大于任何一个与它不相邻的内角，不是大于三角形的所有内角。 4.直角三角形的两个锐角互余（和为90°），这是内角和定理的推论，不要与外角性质混淆。 【对点训练】1．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为_________．    【对点训练】2．如图，，，，则________． 【对点训练】3．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则__________． 【对点训练】4．若△ABC的三个内角满足关系式，则此三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60° 易错点3·三角形分类中的概念交叉 易错提醒 1.°等边三角形是特殊的等腰三角形，不是独立于等腰三角形之外的类别，按边分类时二者是包含关系。 2.°按角分类时，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角，其余角均为锐角。 3.°等腰直角三角形既是等腰三角形又是直角三角形，两种分类标准可以交叉，不要认为一个三角形只能属于一类。 【对点训练】1．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（   ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 易错点4·定义与命题的区分及命题改写 易错提醒 1.定义是规定名称或术语意义的句子，命题是对事情作出判断的句子，二者功能不同，不能混为一谈。 2.命题必须作出判断，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 3.将命题改写为"如果……那么……"形式时，条件和结论要准确区分，不能改变原意。 4.假命题也是命题，不能因为判断不正确就认为它不是命题。 【对点训练】1．命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【对点训练】2．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 易错点5·证明过程中的逻辑错误 易错提醒 1.证明必须从已知条件出发，不能把结论当作条件使用，否则犯循环论证的错误。 2.每一步推理都要有依据（定义、基本事实、定理、推论），不能"想当然"或跳步。 3.辅助线要用虚线画出，并在证明开头说明作法（如"连接XX""过点X作XX⊥XX于X"）。 4.反证法第一步是假设命题不成立（即结论的反面成立），不是假设结论成立。 【对点训练】1．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【对点训练】2．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 易错点6·全等三角形对应元素的确定 易错提醒 1.记两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上，不能随意排列，否则对应关系会错乱。 2.对应边、对应角是根据重合关系确定的，不是凭图形直观或长短大小判断。 3.公共边、公共角一定是对应边、对应角；但对应边、对应角不一定是公共的。 4.两条直线相交形成的对顶角是对应角。 【对点训练】1．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（    ） A．DB B．BC C．CD D．AD 【对点训练】3．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    易错点7·全等三角形判定定理的误用 易错提醒 1.SAS中的角必须是两边的夹角；SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等。 2.ASA中的边必须是两角的夹边；AAS是两角及其中一角的对边，二者不要混淆。 3.AAA（三角对应相等）只能判定三角形相似，不能判定全等。 4.HL只适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等，两条直角边对应相等用的是SAS。 5.判定全等至少要有一组边对应相等，全是角相等不行。 【对点训练】1．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【对点训练】2．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【对点训练】3．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 易错点8·角平分线与垂直平分线性质的误用 易错提醒 1.角平分线性质中的"距离"是指点到角两边的垂线段长度，不是任意线段的长度。 2.垂直平分线性质中的"两端点"是指被垂直平分的那条线段的两个端点，不是任意两点。 3.性质与判定（逆定理）要区分：已知平分线/垂直平分线→得距离相等是性质；已知距离相等→得点在平分线/垂直平分线上是判定。 4.三角形三条角平分线交于一点（内心），三条垂直平分线交于一点（外心），交点位置不要记混。 【对点训练】1．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【对点训练】2．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 【对点训练】3．如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 4．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 5．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 9．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 10．如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 11．如图，在的方格纸中，__________ ． 12．如图，在和中，，，，线段与线段相等吗？请说明理由． 13．如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 14．学习完《全等三角形》一章后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测角仪，卷尺 测量方案示意图    测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为米． (1)根据测量的各角度数，计算出_____°，猜想、两点间的距离为_____米． (2)请你借助全等三角形的知识证明此方案正确． 15．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 16．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $