专题01三角形（期末知识清单，含17常考6技巧题型清单）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学三角形专题知识清单全面涵盖三角形基础概念、全等判定及性质应用，构建“概念-性质-判定-模型”的递进式学习支架，包含13个核心知识清单与17类典型题型，为师生提供系统复习框架。 清单通过表格对比（如三线文字/符号语言对照）、题型变式（每题配2-4个变式题）及模型总结（倍长中线等6类全等模型）呈现知识，标注“要点归纳”强化推理意识，设计“判定方法选择表”培养几何直观，助力学生自主梳理知识，教师精准教学。

专题01 三角形（13知识&17题型&6方法清单） 【清单01】 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【清单02】 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【清单03】 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 【清单04】 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【清单05】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 【清单06】 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【清单07】 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 【清单08】 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单09】 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【清单10】 全等三角形的判定 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【清单11】 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【清单12】 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【清单13】 垂直平分线的性质 1. 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 2. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【题型一】三角形的分类 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，是的2倍，比大，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（    ）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 【变式1-2】25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1-3】（25-26八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】构成三角形的条件 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（    ） A．6，4，2 B．6，3，3 C．7，3，2 D．5，5，2 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）一个三角形的两边长分别是3与5，第三边的长不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型三】三角形三边关系的应用 【例3】（24-25八年级上·天津宝坻·期中）已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知的三边长分别为，化简：． 【题型四】做三角形的高中线 【例4】（25-26八年级上·浙江温州·期中）作的边上的高，下列各图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·月考）如图，已知，求作： (1)的平分线； (2)边上的中线； (3)边上的高． 【变式4-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【题型五】三角形高有关的计算 【例5】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【变式5-2】（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东·期中）如图，在中，，，是边上的高线，是的角平分线．求，的大小． 【题型六】三角形中线有关计算 【例6】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【变式6-4】（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【变式6-5】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 【题型七】三角形内角和问题 【例7】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为 度． 【变式7-2】（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 【变式7-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知：如图，在中，，点分别在上，且平分，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【题型八】三角形的外角与性质 【例8】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点；若，则 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【变式8-3】（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【题型九】命题的概念 【例9】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【变式9-2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 【变式9-4】（25-26八年级上·四川眉山·月考）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【题型十】命题的真假 【例10】（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【变式10-2】（25-26七年级上·云南红河·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．若，则可能 B．两直线平行，同位角相等 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．对顶角相等 【题型十一】图形的全等 【例11】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26八年级上·江西上饶·月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【题型十二】全等三角形的概念与性质 【例12】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级上·北京平谷·期中）如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【变式12-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【变式12-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【题型十三】添加条件使三角形全等 【例13】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图所示，，，，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是 ． 【变式13-1】（17-18八年级上·重庆江津·月考）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【题型十四】全等三角形的证明 【例14】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，点、、，在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，．求证：． 【变式14-1】（25-26八年级上·河南漯河·月考）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【变式14-2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： (1)； (2)． 【变式14-3】（25-26八年级上·四川南充·月考）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【变式14-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式14-5】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，相交于点，，连接． 求证：． 【题型十五】垂直平分线的性质 【例15】（25-26八年级上·湖南株洲·月考）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 【变式15-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的周长是（    ） A．10.5 B．12 C．15 D．18 【变式15-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为 ． 【题型十六】角平分线的性质 【例16】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【变式16-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．10 【变式16-2】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为 ． 【变式16-3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，是它的角平分线，P是上一点，，交于点E，，交于点F．求证：点D到和的距离相等． 【题型十七】尺规作图 【例17】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为 ． 【变式17-1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 【变式17-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【变式17-3】（25-26八年级上·吉林松原·月考）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【变式17-4】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【变式17-5】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【题型一】全等三角形的动点问题 【例1】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【变式1-1】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【题型二】全等三角形模型倍长中线模型 【例2】（24-25八年级上·北京平谷·期中）【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【变式2-2】（25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【题型三】全等三角形模型一线三等角模型 【例3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【题型四】全等三角形模型半角模型 【例4】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【题型五】全等三角形模型手拉手模型 【例5】（22-23七年级上·山东泰安·期末）某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海长宁·月考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 【题型六】全等三角形模型截长补短模型 【例6】（2023八年级上·广东中山·竞赛）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【变式6-1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（13知识&17题型&6方法清单） 【清单01】 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【清单02】 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【清单03】 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 【清单04】 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【清单05】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 【清单06】 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【清单07】 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 【清单08】 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单09】 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【清单10】 全等三角形的判定 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【清单11】 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【清单12】 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【清单13】 垂直平分线的性质 1. 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 2. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【题型一】三角形的分类 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，是的2倍，比大，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形的分类，三角形的内角和定理的应用， 设为x，根据条件表示和，利用三角形内角和列方程求解x，再计算各角大小，判断三角形形状． 【详解】设， ∵， ， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，，， ∵所有角均小于， ∴是锐角三角形． 故选：A． 【变式1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（    ）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用．利用三角形内角和定理，结合已知条件求出各角大小，再判断三角形类型． 【详解】解：设，则． ，， ， ， ， ，，． ， 是钝角三角形． 故选：C． 【变式1-2】25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和． 设，则，利用三角形内角和定理求出各角，再根据角度判断三角形类型即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为．利用三角形内角和定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②：：：：，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，则由三角形内角和定理，得，解得，，则，不是直角三角形； ④，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：D． 【变式1-4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 【题型二】构成三角形的条件 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系的应用是解此题的关键． 【详解】解：选项A：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项B：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项C：，则不能组成三角形，故本选项不符合题意； 选项D：，则能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（    ） A．6，4，2 B．6，3，3 C．7，3，2 D．5，5，2 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握两边之和大于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； B．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； C．∵，∴不能构成三角形； D．∵，∴能构成三角形． 故答案为：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据此关系列出不等式，求出的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长为、、， 由三边关系得： ． 选项中，只有满足条件． 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）一个三角形的两边长分别是3与5，第三边的长不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【详解】解：设第三边长． 根据三角形的三边关系，得， ∴， 第三边的长不可能为2． 故选：． 【题型三】三角形三边关系的应用 【例3】（24-25八年级上·天津宝坻·期中）已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解： ， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解： ，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】 的边长为，，， ，， ． 【题型四】做三角形的高中线 【例4】（25-26八年级上·浙江温州·期中）作的边上的高，下列各图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，掌握三角形高的概念是关键； 【详解】解：由题意知，从顶点B作边所在直线的垂线，顶点B与垂足间的线段是所作， 由图知，只有选项B符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， ∵为中线， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·月考）如图，已知，求作： (1)的平分线； (2)边上的中线； (3)边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线，高，理解三角形的角平分线，中线，高的定义是解题的关键． （1）作的角平分线，交于点D，线段即为所求； （2）取边的中点E，连接，线段即为所求； （3）过点A向边所在直线作垂线，垂足为F，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． （3）解：如图，为所求． 【变式4-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 【题型五】三角形高有关的计算 【例5】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高． 利用三角形的等面积法求高即可． 【详解】解：根据等面积得，， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，由，，则有，所以，，然后通过高得出，最后由三角形内角和定理即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东·期中）如图，在中，，，是边上的高线，是的角平分线．求，的大小． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形的外角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据三角形的角平分线求的值，再利用三角形内角和求出的值，然后根据三角形的高可知，最后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是边上的高线， ∴， ∴． 【题型六】三角形中线有关计算 【例6】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了中线平分三角形面积，解题关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．本题利用阴影面积等于整个大三角形面积的一半即可求解． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 则， 故选： C． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【变式6-3】（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 【变式6-4】（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【变式6-5】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2)与的周长差为 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【详解】（1）解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 【题型七】三角形内角和问题 【例7】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，于E，若，，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高． 根据三角形的内角和定理求出，再由是的角平分线可求出，根据得到，从而可求出，进而求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识. （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：，平分， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知：如图，在中，，点分别在上，且平分，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． （1）根据平行线的性质和判定得出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型八】三角形的外角与性质 【例8】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点；若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，三角形的外角性质，根据的角平分线和的外角平分线交于点，得，结合三角形的外角性质进行分析，则，代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵的角平分线和的外角平分线交于点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为 ． 【答案】53°/53度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）由三角形外角的性质可得，，得到，根据角平分线的定义可得，，再根据为高可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由是中线可得，再根据面积求解即可． 【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得，， ∴， 平分， ， 为高， ， ； （2）解：∵是中线， ∴，即， 则，解得． 【变式8-3】（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． （2）， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 【题型九】命题的概念 【例9】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 【答案】两角是同位角 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 【变式9-4】（25-26八年级上·四川眉山·月考）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么它们的余角相等 【分析】本题考查了改写命题． 将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”， 因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等． 【题型十】命题的真假 【例10】（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可． 【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意； 、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式10-2】（25-26七年级上·云南红河·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．若，则可能 B．两直线平行，同位角相等 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理（包括平方根的性质、平行线的性质、数轴与实数的关系、对顶角的性质），解题的关键是逐一分析各选项命题的真假． 分别分析每个选项：A选项根据平方根性质判断为真；B选项根据平行线性质判断为真；C选项根据数轴上的点与实数一一对应，判断为假；D选项根据对顶角性质判断为真，从而确定假命题． 【详解】解：时，与可能相等或互为相反数（如，）， 可能，故A为真命题． 两直线平行时，同位角相等是平行线的性质， B为真命题． 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数（如点对应是无理数）， 点与有理数不是一一对应， C为假命题． 对顶角相等是几何基本定理， D为真命题． 假命题是C． 故选：C． 【题型十一】图形的全等 【例11】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等形的识别，观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等形”即可得到答案． 【详解】解：属于全等形的是D选项，其他选项的两个图形大小不一致，不符合题意， 故选：D． 【变式11-1】（25-26八年级上·江西上饶·月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等图形的定义，熟练掌握定义是解题关键． 根据全等图形的定义，即完全重合的两个图形叫做全等图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； B、两个图形能完全重合，是全等图形，故符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； 故选：B． 【变式11-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 【题型十二】全等三角形的概念与性质 【例12】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式12-1】（24-25八年级上·北京平谷·期中）如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，先根据全等三角形的对应边相等得出，，再由，将数值代入计算即可求解． 【详解】解： ，，， ，， ∴． 故选：D． 【变式12-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意找出图形中的角度关系是解题关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：B． 【变式12-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 【变式12-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的对应角、对应边相等． 根据全等三角形的性质，判断各全等三角形的对应边、角即可． 【详解】解：和的对应角是与与与； 对应边是与与与． 和的对应角是与与与； 对应边是与与、与． 【题型十三】添加条件使三角形全等 【例13】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图所示，，，，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意要证明，已知、两个条件，抓住这两个已知条件结合全等三角形判定定理即可解答． 【详解】解：∵，，，在同一直线上，，， ∴可添加条件：，理由如下： 在和中， ， ∴． 故答案为：． 【变式13-1】（17-18八年级上·重庆江津·月考）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 【变式13-2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“”，可以判定； ②已知，，，但“”不能判定两个三角形全等； ③已知，，，根据全等三角形判定定理“”，可以判定 ； ④，，，“”不能判定两个三角形全等； 故答案为：①． （2）证明：选条件①时， 在和中， ， ∴； 选条件③时， 在和中， ， ∴． 【题型十四】全等三角形的证明 【例14】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，点、、，在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． 由线段的和差可得，再根据即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和 ， ∴． 【变式14-1】（25-26八年级上·河南漯河·月考）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式14-2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“边角边”即可证明； （2）由全等三角形的性质推得，即可通过“角角边”证明，再由全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式14-3】（25-26八年级上·四川南充·月考）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 【变式14-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据可证明； （2）得出，，求出，则可求出． 【详解】（1）证明：在与中， ； （2）， ∴， ． 【变式14-5】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，相交于点，，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据证明即可． 【详解】证明∶在和中 ∴． 【题型十五】垂直平分线的性质 【例15】（25-26八年级上·湖南株洲·月考）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为E，交于点D，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵直线垂直平分，垂足为E，交于点D， ∴， ∴的周长； 故选：B． 【变式15-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的周长是（    ） A．10.5 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质定理是问题求解的关键． 先利用垂直平分线的性质，可得到，再利用等量代换即可计算得到的周长． 【详解】解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：C． 【变式15-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，．由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长为，结合的周长为，求出的长，进而可得到的长． 【详解】解：垂直平分线， ，， 的周长为， 的周长为， ， ． 故选：A． 【变式15-3】（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 【题型十六】角平分线的性质 【例16】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 【变式16-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积． 故选：A． 【变式16-2】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据的角平分线交于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 【变式16-3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，是它的角平分线，P是上一点，，交于点E，，交于点F．求证：点D到和的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等；角平分线上的点到两边的距离相等． 根据平行线的性质可得，从而得出是的角平分线，即可求证． 【详解】证明：过点D作，垂足为点 ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，即到的距离与到的距离相等． 【题型十七】尺规作图 【例17】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作角平分线、三角形内角和定理的应用，先根据三角形内角和定理求得，根据作图可得是的角平分线，得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 根据作图可得是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式17-1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点，在右侧交于点，作直线交，于点，即可； （2）连接，由三角形内角和定理可得，根据为的垂直平分线得到，即可解答； （3）由是的垂直平分线可得，根据三角形的周长可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接， 中，， ， 为的垂直平分线， ， ， ； （3）解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 即， ． 【变式17-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． 【变式17-3】（25-26八年级上·吉林松原·月考）用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点P就是所求点． 【详解】解：如图所示：P点即为所求． 【变式17-4】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式17-5】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】解：如图：即为所作． 【题型一】全等三角形的动点问题 【例1】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】(1)2，4， (2)①见解析；②见解析 (3)，或， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论；②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； （2）证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 【变式1-1】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、线段的和差等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质以及分类讨论的思想是解题的关键． （1）由、可得，通过即可证明结论； （2）分如图2和如图3两种情况，分别进行求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，是边上的高， ， ∴、， ∴， 在和中， ， ． （2）解：存在， 如图2，当时， ∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴，解得：； 如图3，当时， ∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴，解得：． 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【变式1-2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 【题型二】全等三角形模型倍长中线模型 【例2】（24-25八年级上·北京平谷·期中）【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； 【详解】（1）解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． （2）解：∵，， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】(1) (2)1或3 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 【题型三】全等三角形模型一线三等角模型 【例3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究]见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【答案】（）；（）（）中的数量关系仍然成立，证明见解析；（），或， 【分析】（）由余角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）利用三角形外角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）当 ，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，余角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）（）中的数量关系仍然成立，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （）当 ，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点， 当点在点上方时，， ∴， 此时，点也位于点上方，， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 此时，点也位于点下方，， ∴； 综上，，或，． 【题型四】全等三角形模型半角模型 【例4】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 【题型五】全等三角形模型手拉手模型 【例5】（22-23七年级上·山东泰安·期末）某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定、三角形内角和定理的应用，准确识图，正确使用相关定理是正确解答此题的关键． （1）根据等腰直角和等腰直角， ，只要证明，即可解决问题； （2）同法证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：设与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海长宁·月考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 【答案】（1），；（2）60度；（3）40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键； （1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； 故答案为：． 【题型六】全等三角形模型截长补短模型 【例6】（2023八年级上·广东中山·竞赛）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【变式6-1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $