Z20⁺名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断数学试题

名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断 数学参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B C C C D 二、多项选择题 9 10 11 ABD BC BCD 三、填空题 12． 13． 14．24 四、解答题 15．（1）如图所示，取中点F，连结，．由题意可知，，， 且，．故且，故四边形为平行四边形． ． …………3分 ，平面，平面，平面 …………6分 （2）（法一）取中点O，连结，，，， 由题意可知，平面，因此，而，，平面． 故平面，则为直线与平面所成角 …………8分 即，故，而， 故． …………11分 四棱锥的体积 …………13分 （法二）由题意可知，平面且，以点A为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系．则各点坐标，，，，，，9分 平面法向量为，，设直线与平面所成角为θ， 则，解得， …………11分 同理． …………13分 16．（1） …………2分 由正弦定理得：， …………4分 由余弦定理得：，即，． …………6分 （2）由正弦定理得，，其中R为外接圆半径．． 由正弦定理得，． …………8分 由余弦定理得：，， …………11分 由基本不等式可知： ………… 13分 ，当且仅当时取等号．此时的周长为． …………15分 17．（1）记事件“甲盒中红球个数不变”，其情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出1红1黑/1红1白． 则 …………3分 （2）记事件“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”，记事件“黑球仍在甲盒中”． 则，事件B情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中至少取出一个红球；事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出1红1黑． 因此 …………5分 …………7分 故 …………8分 （3）由题意可知X可取1，2，3，4 …………9分 当时，其事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出的2个都不是红球． 故； …………10分 当时，其事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出1红1白或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出的两个都不是红球． 故； …………11分 当时，即为第（1）问，故； …………12分 当时，其事件情况有：甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出2个红球． 故． …………13分 因此X的分布列为 X 1 2 3 4 P …………14分 数学期望 …………15分 18．（1）由题意可得，，故，因此椭圆方程为； …………4分 （2）（ⅰ）若直线l斜率为0，此时，解得M，N两点坐标为，此时 …………5分 若直线斜率不为0，不妨设直线，，，与椭圆方程联立可得：，（※）（其中※式：） ，，l过点，故（*） …………7分 此时，其中，正负号一致， 综上所述，的最大值为． …………10分 （ⅱ）（法一）利用椭圆的第三定义可知，，得． …………12分 此时 ，代入整理，化简可得： ，解得或． …………16分 当时，直线l经过点B，不符合要求，舍去；此时，即直线l恒过定点． 且定点在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，经检验成立． …………17分 （法二），由斜率的坐标公式可得：， 即，整理可得：①， …………12分 由韦达定理可知：，即， …………14分 代入①中，化简可得：②， 由于动直线与椭圆的交点会变化，若②式恒成立，则， 解得，即直线l恒过定点 …………17分 19．（1） ………… 2分 所以切线方程为即 …………4分 （2）设，则 …………6分 ， …………8分 又 ， …………10分 （3）设由得， …………12分 令由得 ，即 …………14分 令， 所以在上单调递减， …………16分 由（2）知 令， 所以在上单调递增 …………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断 数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则为 A．1 B．2 C． D．5 2．已知A，B，C是同一平面内不同的三点，且，若，则 A． B． C．1 D．3 3．若以点，，为元素构成的集合M有4个子集，则可以是 A． B． C． D． 4．已知数列满足：，，则 A．8 B．4 C．2 D．1 5．已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是 x 1 2 4 5 8 y 11 15 25 m 45 A． B．样本相关系数 C．经验回归直线必过点 D．当时，残差为1 6．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则 A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为 A． B． C． D．1 8．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式共有6项，则 A． B．展开式的二项式系数之和为32 C．展开式中存在常数项 D．展开式的各项系数之和为1 10．已知点P为圆上的一个点，点，，则 A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 11．如图，在平面四边形中，，，，将沿对角线翻折至，在翻折过程中， A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得平面平面 C．存在某个位置，使得点B到直线的距离为1 D．当三棱锥体积最大时，该三棱锥的外接球表面积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的焦距为________． 13．已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数m的最大值为________． 14．已知数列，的通项公式分别为，，数列满足，，，记为数列前n项和，则使得成立的最小正整数n为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知． （1）求C； （2）若，求周长的最大值． 17．（15分）已知甲盒中有3个红球，1个黑球，乙盒中有2个红球，2个白球（各球除颜色外完全相同）．现进行如下操作：先从甲盒中取出两个球放入乙盒中，再从乙盒中取出两个球放入甲盒中． （1）求甲盒中红球个数不变的概率； （2）在“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”的条件下，求“黑球仍在甲盒中”的概率； （3）记X为操作后甲盒中红球的个数，求X的分布列及数学期望． 18．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，且，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C交于M，N两点． ①若l过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19．（17分）已知函数与的图象相交于点P，O为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点P，求的值； （3）若直线与图象交于另一点Q，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $