精品解析：浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期返校测试数学试题

杭州第四中学2025学年第一学期高三年级返校测试 数学试题卷 2025年8月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 2. 若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算求出，根据复数的类型求出参数的值后可求. 【详解】由题意得，是纯虚数， 所以，，所以，所以，所以，则的虚部为1. 故选：A. 3. 已知角按逆时针方向旋转，其终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角α逆时针旋转后的终边经过点(4,3)，通过该点坐标求出旋转后角度的三角函数值，再结合倍角公式求解目标表达式的值. 【详解】角α逆时针旋转后，终边经过点(4,3)，设旋转后的角度为, 点(4,3)到原点的距离， 根据三角函数定义： ， ， ， ， 因为， 所以， 故选；D. 4. 已知向量，满足，，与夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 5. 在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出平面与平面所成角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面平面， 作，则，则平面， 作于，平面，， 又，平面平面， 平面， 为平面与平面所成二面角的平面角． 且， 作于，由是等边三角形， 得． 故选：D. 6. 已知数列满足，，则的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明单调递增，然后由已知等式拆分，从而完成求和，再确定出即得结论. 【详解】由，得， 所以数列为单调递增数列. ， 所以． 所以 ． 因为，，，，，所以， ，，所以的整数部分是2． 故选：B 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 8. 已知，且函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，由绝对值三角不等式可得，易得当时，不等式恒成立；当时，由基本不等式可得，再利用基本不等式求出的最小值，代入求解即可. 【详解】解：由，在上恒成立， 可得， 又， 当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立， 若,则,所以当时显然成立； 当时， 则当，即时等号成立， ，当，即时等号成立， 所以，故当时取到等号， 可得， 即，即， 解得， 所以， 又因为，所以， 综上得. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列向量中与共面的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共面向量定理，设出表达式，由方程组的解的情况确定是否与共面即得. 【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. 10. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 若是单调递增数列，则最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项由等差数列的定义即可做出判断；B选项由数列定义得出等式，由等差中项化简求得；C选项由B选项中的结论结合等差中项和求得，由定义得出代数式，再化简得到结论；D选项列出一个满足条件得数列，得到最小值不是即可否定. 【详解】设数列的公差为. A选项：由题意可知，当时，，则，则，∴是等差数列，A选正确； B选项：，即，在等差数列中，∴，∴，B选项正确； C选项：由B可知当时，，又∵， ∴，∴，C选项正确； D选项：当时，是单调递增的等差数列，∵，∴最小值为，D选错误. 故选：ABC. 11. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，即可结合对数的运算求解. 【详解】设，则， 当时，均为单调递增函数，且值恒为正，故函数为上的单调递增函数，因此， 故，故函数为上的单调递减函数，故， 即，即， 由可得， ，故，A错误， ，故，B正确， 由于，故，C正确，D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】判断出两函数的图象关于直线对称，利用对称性即可求解. 【详解】函数（）满足，故其图象关于直线对称， 函数，其图象也关于直线对称， 故它们图象的交点也关于直线对称， 两函数图象的交点分别为，，…，， 不妨设，则必有在直线上，即， ， 故. 故答案为：7 13. 将3个小球随机放入4个盒子，记小球最多盒子里小球数目为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解. 【详解】的可能取值为1，2，3， 其中，， ， 故. 故答案为： 14. 已知为平面单位向量，平面向量满足，则的最小值为___________，最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，利用余弦定理将转换成，再利用换元的思路转换成，分类讨论的范围求最值即可. 【详解】 设，则①. 如图由余弦定理，. 将表达式齐次化，原式. 当时，原式，当时，由图可知，，再结合①解得，记， 令，原式. 当，则原式； 当，原式； 当，原式. 综上，的最小值为，最大值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数f(x)＝x2＋ax－ln x(a∈R)． （1）若a＝1，求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）f(x)的单调减区间是，单调增区间是；（2）. 【解析】 【详解】(1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x， 所以， 当时，解得，当时，解得， 所以函数f(x)的单调减区间是，单调增区间是. （2）， 因为函数f(x)在区间(0，1]上是减函数， 所以在区间(0，1]上恒成立， 所以在区间(0，1]上恒成立， 令在区间(0，1]上是减函数， 所以 所以， 所以实数a的取值范围是． 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16. 已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． （1）求曲线的方程； （2）若，求实数的值； （3）过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）由，代入坐标并化简可得结果； （2）由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； （3）由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【小问1详解】 由，化简整理得． 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以． 【小问3详解】 当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7． 17. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和， （2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解. 【小问1详解】 由于为正项等比数列，，故，故公比， 故，则， 两式相减得， 所以 【小问2详解】 由已知得由可得，即 设， 当时，；当时， 所以当时，取最大值，即.故的最小值是. 18. 甲同学将其电子表调成了小时制，即该表的显示时间为至（不显示秒）.该同学某天随机的观测时间（即看到每一时刻的概率均等），得到由个数字组成的时间点.记第个数字为，这个数字之和为. （1）求的概率； （2）列出的所有可能取值，并计算每个取值对应的事件所包含样本点的个数； （3）求的数学期望. 【答案】（1） （2）的所有可能取值为，样本点个数见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再利用古典概率公式，即可求解； （2）根据条件得的所有可能取值为，再结合题设条件，即可求解； （3）根据条件得的所有可能取值为，且，再对四个位置上的数进行分类讨论求和，即可求解. 【小问1详解】 该电子表用小时制时，表示时的数字从至，共种情况， 表示分的数字从至，共种情况，可得样本容量为， 事件的可能情况为个数字中个与个，或者个与个， 其中第位数字为情况不符合要求，所以符合要求的样本点个数为， 所以. 【小问2详解】 的所有可能取值为， 当电子表运行小时的时候，表示时的数字是从至，其中第个数字出现与两次，出现至一次 因此，样本空间中，取2至9时，各有60个样本点； 取0与1时，各有个样本点. 【小问3详解】 由题意可知，的所有可能取值为，且， 其中表示所有可能时间点的四个数字之和的和. 因此，根据时间点的四个位置上的数进行分类讨论求和： 第1个位置的数为0的情况为00至09，共10个，由于均为0，可不计入计算； 为1的情况为10和11，共有个，则所有样本点的第1个数字之和为120； 由（2）可知，第2个位置的数取2至9时，各有60个， 其和为； 取0与1时，各有个，其和为， 可得所有样本点的第2个数字之和为2760； 第3个位置的数取0至5时，各有个， 其和为；、 第4个位置的数取0至9时，各有6×12个， 其和为. 综上，， 故. 19. 如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为 （1）证明：平面； （2）求点到平面与到平面的距离之比； （3）若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用三角形相似以及线面平行判定定理可证明出结论； （2）根据等体积法以及锥体体积公式计算可得结果； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面与平面的法向量，再由向量夹角的坐标表示计算即可. 小问1详解】 作平行四边形与平行四边形，连接交与点，如下图所示： 显然，，所以，即； 又，可知为的中点，即， 所以， 又因为，； 所以，且，所以为平行四边形，即； 又因为，所以，可得， 故，，，四点共面， 又，平面，平面； 故平面 【小问2详解】 设点到平面与到平面的距离分别为，， 由∥平面，有， 则， 易知，点到的距离为点到的距离的一半， 所以，可得， 又，， 又因为， 即得 【小问3详解】 如图，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系 设，，， 则，，，，， 易知，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 则， 由可知， 即，解得， 设平面与平面所成角为， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州第四中学2025学年第一学期高三年级返校测试 数学试题卷 2025年8月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3 已知角按逆时针方向旋转，其终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 8. 已知，且函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列向量中与共面的向量是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为等差数列，，记分别为数列前项和（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 若是单调递增数列，则最小值为 11. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则______. 13. 将3个小球随机放入4个盒子，记小球最多的盒子里小球数目为，则__________． 14. 已知为平面单位向量，平面向量满足，则的最小值为___________，最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数f(x)＝x2＋ax－ln x(a∈R)． （1）若a＝1，求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． 16. 已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． （1）求曲线的方程； （2）若，求实数的值； （3）过点作垂直于直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 17. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）条件下，若，，求的最小值. 18. 甲同学将其电子表调成了小时制，即该表的显示时间为至（不显示秒）.该同学某天随机的观测时间（即看到每一时刻的概率均等），得到由个数字组成的时间点.记第个数字为，这个数字之和为. （1）求的概率； （2）列出的所有可能取值，并计算每个取值对应的事件所包含样本点的个数； （3）求数学期望. 19. 如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为 （1）证明：平面； （2）求点到平面与到平面的距离之比； （3）若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$