精品解析：浙江省湖州市南太湖双语学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

南太湖双语学校2025-2026学年开学考高三数学试题 出题人：李伟强 审题人：刘焕宇 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合,,故. 故选：C 【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即可. 【详解】由得 故选：C. 3. 函数的最小正周期是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型三角函数的周期公式即可求解. 【详解】最小正周期为. 故选：C. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可. 【详解】由，且该双曲线的焦点在纵轴， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A 5. 若是的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得且，可得结论. 【详解】由，可得且， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由及函数单调性即可得到答案. 【详解】偶函数在上单调递增，且，所以， ，解得或 故的解集是或. 故选：B 7. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ） A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解. 【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数及对数函数性质比较． 【详解】因为，， ， 且，所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图，平面，为正方形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理证明平面，由此判断A，证明平面，可判断B， 由条件直接证明判断D，证明判断C. 【详解】因为平面，平面， 所以，又， ，平面， 平面，平面， ，正确， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，B正确； 平面，平面， ，故D正确， ，，平面，， 平面，平面， ，所以等腰三角形，且， 与不垂直，故C不正确． 故选：ABD. 10. 设函数，则（ ） A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可. 【详解】∵， ∴是偶函数，关于轴对称，故A正确； ∵， ∴是函数的一个周期，故B正确； ，∵，， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； ， ∴的图象关于点中心对称. 故选：ABD. 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则最小值为，故D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，典15分． 12. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 若非零向量满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及数量积的运算律得，再由及已知，即可求模长. 【详解】由题设，可得，则， 由，则 故答案为： 14. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先变形：，再根据基本不等式求最值. 【详解】 当且仅当时取等号 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取名学生进行调查统计，数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 没有 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）在调查统计有整理数学错题集习惯的名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取人组建研讨小组，再从人研讨小组中随机抽取人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列、数学期望及方差． 附：， 【答案】（1）能，理由见解析 （2）分布列答案见解析，， 【解析】 【分析】（1）零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，计算出的观测值，结合临界知表可得出结论； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得、的值. 【小问1详解】 零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关， 由列联表中的数据可得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 由分层抽样可知，人研讨小组中，成绩非优秀的人数为人，成绩优秀的人数为人， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，，， 故随机变量的分布列如下表所示： 所以，， . 16. 在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cosA，结合范围A∈（0，π），可求A． （2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得. 再由余弦定理得， 又因为 ，所以 ． （2）因为a=3，， 代入得, 解得 . 故△ABC的面积. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得； （2）根据题设条件建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 如图1，取为内一点， 作，交于点，作，交于点， 因为平面平面且平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理，因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 因为两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示. 依题意. 则. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为，则. 因，故，故直线与平面所成角的余弦值为. 18. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． （1）求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望： （2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】（1）分布列见解析，期望为； （2）小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 【解析】 【分析】（1）根据已知有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）根据（1）及已知，记闯关成功的次数为，则，应用二项分布的概率公式及不等式法求概率最大对应参数值，即可得. 【小问1详解】 由题意，，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分， 所以，，，， 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 所以； 【小问2详解】 参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为， 若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则， 故， 若，则， 所以，则，可得，即 故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 19. 已知函数，． （1）曲线在处的切线方程； （2）设函数． ①若在定义域上恒成立，求a的取值范围； ②若函数有两个极值点为，，证明：． 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先求导函数，计算和，再利用斜率和切点写直线方程即可； （2）①先化简整理即，再构造函数，利用导数求其最大值，即得； ②求导函数，先说明讨论时不符合题意，得到，再利用，整理得，利用分析法只需证时，构造函数，利用导数判断单调性证明，即证结论 【详解】解：（1），则，， 所以切线斜率为2，切点为（1，1），切线方程为y-1=2（x-1）， 在处的切线方程为； （2）①，， 因为，， ，在上恒成立， 令，， 时，，时， ，； ②，， 设，则， 当时，，在单调递增， 故不可能有两根，即函数不可能有两个极值点，不符合题意，所以. 有两个极值点，，可设， ， ，， 要证，只需证，即证， 即，即，设，， ，即证函数， 而，即在上递增， ，故， 所以成立. 【点睛】思路点睛： 用导数证明不等式成立的问题，属于难点，通常通过变形整理，观察分析，构造合适的函数，通过导数研究函数的单调性和最值情况，来证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南太湖双语学校2025-2026学年开学考高三数学试题 出题人：李伟强 审题人：刘焕宇 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 5. 若是的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 7. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ） A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图，平面，为正方形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数 C. 在区间上单调递增 D. 图象关于点中心对称 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，典15分． 12. 的展开式中的常数项为_______． 13. 若非零向量满足，则__________． 14. 已知，，且，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取名学生进行调查统计，数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 没有 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）在调查统计有整理数学错题集习惯的名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取人组建研讨小组，再从人研讨小组中随机抽取人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列、数学期望及方差． 附：， 16. 在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 某学校为了提升学生学习数学兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． （1）求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望： （2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 19. 已知函数，． （1）曲线在处的切线方程； （2）设函数． ①若在定义域上恒成立，求a的取值范围； ②若函数有两个极值点为，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$