第4章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册二次函数单元能力提升卷，通过赛龙舟拱桥、灌溉车浇水等生活情境及面积最值、利润问题等综合应用，覆盖核心知识，适配单元复习，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|顶点坐标、图像识别、性质判断|结合弹力球运动轨迹（第7题）考查函数图像与性质，体现抽象能力| |填空题|6/18|二次函数定义、平移、交点问题|以龙舟赛道设计（第14题）考查抛物线应用，渗透模型意识| |解答题|8/72|解析式求解、面积/利润最值、综合几何|灌溉车浇水问题（第23题）融合函数平移与实际浇灌范围，凸显应用意识；超市销售（第21题）考查利润最值，关联生活实际|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 3．在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A．B．C． D． 4．（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，二次函数（的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③ 5．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 7．小明从离地面高度为的点处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点处第一次着地后弹起，点处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①； ②在处着地后弹起的最大高度为； ③弹力球第二次着地点距第一次抛出点的水平距离是． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（    ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为______． 13．已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为______． 14．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计________条． 15．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 16．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是______ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为 ； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式． 18．（6分）（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 19．（8分）（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 20．（8分）（25-26九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 21．（10分）（25-26九年级上·湖南张家界·期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）（2025·湖北武汉·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 23．（12分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 24．（12分）（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 数学·答案及评分参考 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D B C D C A C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．1，2或－2 14．4 15． 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） （1）解： ∴抛物线C的顶点坐标为； 故答案为：（1分） （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴ 当时，该二次函数的函数值y的取值最小，最小值为1； 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为；（3分） （3）解：∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，且抛物线C的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为．（6分） 18．（6分） （1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2；（1分） （2）略（2分） （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或．（6分） 19．（8分） （1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴；（1分） （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴；（2分） （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴；（3分） （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为；（4分） （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为．（6分） 20．（8分） （1）解：当时 ， ∴；（1分） （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ；（4分） （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时．（8分） 21．（10分） （1）解：设，把和代入得， ， 解得，（2分） ∴； ∴（3分） （2）解：由题意得，， 整理得，，解得，， ∵该文具的销售单价不低于进价且不高于元， ∴不合，舍去， ∴， 答：销售单价为元；（6分） （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，， 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．（10分） 22．（10分） （1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴；（1分） （2）解：①由题意得， ；（2分） ②∵矩形的边的长不超过长的， ∴，（3分） 解得，（4分） 当时，则，（6分） 解得（舍去），（8） ∴． ∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆．（10分） 23．（12分） （1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              （3分） ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．（6分） ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （8分） （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴， 解得， 代入，得． 所以的最小值为．（12分） 24．（12分） （1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。（3分） （2）解：存在，理由如下：（4分） 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴；（5分） 当、为对角线时，同理可得 ， 即， 此时点在轴下方，不成立；（6分） 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或；（8分） （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 3．在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A．B．C． D． 4．（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，二次函数（的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③ 5．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 7．小明从离地面高度为的点处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点处第一次着地后弹起，点处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①； ②在处着地后弹起的最大高度为； ③弹力球第二次着地点距第一次抛出点的水平距离是． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（    ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为______． 13．已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为______． 14．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计________条． 15．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 16．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是______ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为 ； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式． 18．（6分）（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 19．（8分）（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 20．（8分）（25-26九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 21．（10分）（25-26九年级上·湖南张家界·期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）（2025·湖北武汉·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 23．（12分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 24．（12分）（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第4章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式即可求解．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：将解析式化为顶点式可得：， 顶点坐标为， 故选：A． 2．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 3．在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 4．（24-25九年级下·湖南常德·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，二次函数（的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数的方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线开口向下，则，抛物线对称轴位于y轴右侧，则异号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故①错误； ②∵抛物线与x轴的一个交点在 的左侧，而对称轴为直线 ， ∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧， ∴当时，， ∴，故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故③错误； ④∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵抛物线对称轴为直线 ∴函数的最大值为：， ∴，即，故⑤正确； 故正确的结论有：②④⑤，共3个， 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故选：C ． 6．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键． 先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度． 【详解】解：如图： ∵， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴B点的横坐标为， 把代入，得到， ∴， ∴． 故选：D． 7．小明从离地面高度为的点处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点处第一次着地后弹起，点处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①； ②在处着地后弹起的最大高度为； ③弹力球第二次着地点距第一次抛出点的水平距离是． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得的值，点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前抛出的最大高度的，求出弹起后的最大高度，根据弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，求出点的坐标为，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴，故①错误； ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：；故②正确； ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是，故③正确； 综上，正确的个数为2个． 8．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】可得函数的对称轴为直线，由此即可判断说法①；由绝对值函数的性质可知，函数的最小值为，无最大值，由此即可判断说法②；先将函数化成顶点式，进而可得函数的顶点为，于是可得函数的图象与直线有3个交点，由此即可判断说法③；由“点，，在该函数图象上”可得，，，进而可得，由此即可判断说法④；综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】解：函数的对称轴为直线， 函数图象的对称轴为直线，故说法①错误； 函数的最小值为，无最大值，故说法②错误； ， 函数的顶点为， 函数的图象与直线有3个交点，故说法③正确； 点，，在该函数图象上， ， ， ， ，故说法④错误； 综上，正确的说法有：③，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 9．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（    ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，利用“潇湘”函数的定义结合二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断即可． 【详解】解：当时，， ∵二次函数的系数，，满足， ∴该“潇湘”函数必过定点，故①正确； 由“潇湘”函数定义得，，解得或，故②错误； ∵该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点， ∴，而，即， ∴，即， ∴，故③正确； 当时， 由一元二次方程根与系数的关系得到，， 由得， ∴， 由得， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 10．如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，设，则，，设，则，，在中，利用勾股定理可得，再分别利用含的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接， ∵四边形为菱形，，， ， ∴在中，， 设，则， ， ∵的垂直平分线交于点， ， ， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得， ，， 则的面积为， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为， 的周长为， 由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线， ∴抛物线顶点坐标是． 故答案为：． 13．已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为______． 【答案】1，2或－2 【分析】需要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，有一定经过原点；按以上三种情况分别求出a的值即可. 【详解】解：①当函数为一次函数时，即a-1=0，解得a=1； ②当函数为二次函数时（a≠1），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点， ∵x轴有一个交点， .∴△=（-2a）2-4（a+2）（a-1）=0，解得：a=2 ③函数为二次函数时（a≠1），与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图像经过原点， ∵a+2=0，a=-2. 当a=-2，此时y=，与坐标轴有两个交点. 故答案为1，2或－2 【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，理解函数图像与x轴的交点的横坐标就是方程的根是解答本题的关键. 14．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计________条． 【答案】4 【分析】依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数．本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为 ∵， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 故答案为：4． 15．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 16．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为 ； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案； （3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】（1）解：， ∴抛物线C的顶点坐标为； 故答案为： （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴ 当时，该二次函数的函数值y的取值最小，最小值为1； 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为； （3）解：∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，且抛物线C的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．（6分）（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）略 （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 19．（8分）（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 20．（8分）（25-26九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为，此时． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【详解】（1）解：当时 ， ∴； （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 21．（10分）（25-26九年级上·湖南张家界·期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)18元 (3)当时，取最大值为198元 【分析】（1）利用待定系数法求出y与x的表达式，再求出w与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解 【详解】（1）解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； ∴ （2）解：由题意得，， 整理得，，解得，， ∵该文具的销售单价不低于进价且不高于元， ∴不合，舍去， ∴， 答：销售单价为元； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，， 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 22．（10分）（2025·湖北武汉·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 【答案】(1) (2)；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可； （2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由题意得， ； ②∵矩形的边的长不超过长的， ∴， 解得， 当时，则， 解得（舍去）， ∴． ∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆． 23．（12分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①,；②；③ (2) 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 24．（12分）（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在，的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值； （2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标； （3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为． 【详解】（1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。 （2）解：存在，理由如下： 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴； 当、为对角线时，同理可得 ， 即， 此时点在轴下方，不成立； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或； （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $