专题13 圆的对称性与圆周角的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统整合圆的对称性与圆周角核心知识，通过知识点-易错点对照、题型分类解法及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1表格|梳理5类知识点及易错点，构建基础方法体系|从对称性出发，推导垂径定理、圆心角弧弦关系及圆周角定理| |题型归纳|10题型（1典例+3变式）|按问题类型分类，提炼求弧度数、垂径定理应用等解法|题型覆盖概念理解、计算推理到实际应用，难度梯度递进| |压轴挑战|15题|综合运用多知识点，强化复杂问题解决能力|整合圆与四边形等知识，体现知识迁移与应用意识|

专题13 圆的对称性与圆周角 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型三、利用垂径定理求值 题型四、利用圆周角定理求解 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 题型六、圆内接四边形的对角互补 题型七、垂径定理的应用 题型八、垂径定理的平行弦问题 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的对称性 1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 2. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆旋转任意角度都能与自身重合 1. 误认为直径是圆的对称轴，混淆“直径所在直线”与“直径”的概念 2. 仅认为圆只有中心对称性质，忽略圆旋转任意角度都重合的旋转不变性 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧 2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧 1. 应用推论时忽略“弦不是直径”的前提条件，错判平分直径的直径一定垂直该直径 2. 漏算弦到圆心的距离多解情况（平行弦分圆心同侧/异侧两种） 圆心角、弧、弦的关系 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 2. 在同圆或等圆中，若两组圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则对应的其余各组量都相等 1. 忽略“同圆或等圆”前提，直接由圆心角相等推弧、弦相等 2. 混淆弦相等推圆心角相等时，未考虑弦对应优弧、劣弧两种情况的圆心角 圆周角定理 1. 圆周角定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角 2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 3. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 4. 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 1. 判断圆周角时遗漏“两边都和圆相交”的条件，错把顶点在圆上但一边不与圆相交的角认作圆周角 2. 混淆“同弦所对的圆周角”和“同弧所对的圆周角”，错认为同弦所对的圆周角一定相等，忽略弦对应两个不同圆周角（互补） 3. 使用90°圆周角推论时，忘记结论是“所对弦是直径”，错写为弧是直径 圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补 1. 混淆圆内接四边形互补角，错记为邻角互补 2. 忽略四点共圆的前提，直接应用对角互补性质解题 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 典例1 如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1-1如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式1-2如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 变式1-3如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 典例2 如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 变式2-1某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 变式2-2如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 变式2-3如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 题型三、利用垂径定理求值 典例3 如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 变式3-2如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 变式3-3如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 题型四、利用圆周角定理求解 典例4 如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 变式4-1如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 变式4-2如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 变式4-3如图，是的外接圆，已知，则的大小为________． 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 典例5 如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式5-1如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 变式5-2如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 变式5-3如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 题型六、圆内接四边形的对角互补 典例6 如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 变式6-1如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式6-2如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 变式6-3如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为_____． 题型七、垂径定理的应用 典例7 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 变式7-1化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 变式7-2《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 变式7-3有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 题型八、垂径定理的平行弦问题 典例8 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式8-1在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 变式8-2已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 变式8-3如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 典例9 在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 变式9-1如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 变式9-2如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 变式9-3如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图是由正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，均为格点，请仅用无刻度的直尺作图：（保留作图痕迹） (1)在图1中，作圆心； (2)在图2中，作弦． 变式10-1如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点．经过两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中，画出劣弧的中点 (2)在图2的上找一点，使（点与点不重合）． 变式10-2数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角． (2)在图③中，是的内接三角形，，是上一点，请你只用无刻度的直尺画出图②中的平分线：并说明理由． 变式10-3如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．    (1)如图1，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺作于； (2)如图2，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺作于． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 4．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 5．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 7．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 8．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 9．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 10．边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 12．如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 13．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 14．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 15．四边形是正方形，是过点A的直线．作，垂足为E，将射线绕点D逆时针旋转，得到的射线与直线交于点F，连接． (1)如图1，当时，点F与点A恰好重合，则的值为________； (2)如图2，在时． ①依题意补全图形； ②探究线段，与之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若，当的面积最大时，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆的对称性与圆周角 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型三、利用垂径定理求值 题型四、利用圆周角定理求解 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 题型六、圆内接四边形的对角互补 题型七、垂径定理的应用 题型八、垂径定理的平行弦问题 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的对称性 1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 2. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆旋转任意角度都能与自身重合 1. 误认为直径是圆的对称轴，混淆“直径所在直线”与“直径”的概念 2. 仅认为圆只有中心对称性质，忽略圆旋转任意角度都重合的旋转不变性 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧 2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧 1. 应用推论时忽略“弦不是直径”的前提条件，错判平分直径的直径一定垂直该直径 2. 漏算弦到圆心的距离多解情况（平行弦分圆心同侧/异侧两种） 圆心角、弧、弦的关系 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 2. 在同圆或等圆中，若两组圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则对应的其余各组量都相等 1. 忽略“同圆或等圆”前提，直接由圆心角相等推弧、弦相等 2. 混淆弦相等推圆心角相等时，未考虑弦对应优弧、劣弧两种情况的圆心角 圆周角定理 1. 圆周角定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角 2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 3. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 4. 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 1. 判断圆周角时遗漏“两边都和圆相交”的条件，错把顶点在圆上但一边不与圆相交的角认作圆周角 2. 混淆“同弦所对的圆周角”和“同弧所对的圆周角”，错认为同弦所对的圆周角一定相等，忽略弦对应两个不同圆周角（互补） 3. 使用90°圆周角推论时，忘记结论是“所对弦是直径”，错写为弧是直径 圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补 1. 混淆圆内接四边形互补角，错记为邻角互补 2. 忽略四点共圆的前提，直接应用对角互补性质解题 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 典例1 如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键． 先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 故选：． 变式1-1如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 变式1-2如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 变式1-3如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 典例2 如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 变式2-1某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关于半径的方程求解即可． 【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ． ， ， ． 过点 作 于点 ，连接 ， ，且 ，， 三点共线 ． 在 中，． 设 的半径为 ，则 ， ， 在 中，， 解得 ． 变式2-2如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 变式2-3如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型三、利用垂径定理求值 典例3 如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 变式3-1如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 变式3-2如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 变式3-3如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 题型四、利用圆周角定理求解 典例4 如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 变式4-1如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 变式4-2如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 变式4-3如图，是的外接圆，已知，则的大小为________． 【答案】 /40度 【分析】等边对等角求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：∵是的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 典例5 如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 变式5-1如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 变式5-2如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 变式5-3如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 题型六、圆内接四边形的对角互补 典例6 如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 变式6-1如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 变式6-2如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 变式6-3如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为_____． 【答案】/110度 【分析】平行线的性质求出的度数，圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴. 题型七、垂径定理的应用 典例7 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 变式7-1化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 变式7-2《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 变式7-3有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 题型八、垂径定理的平行弦问题 典例8 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 变式8-1在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 变式8-2已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 变式8-3如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得，然后根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况进行讨论：①当在点上方时，如图所示；②当在点下方时，如图所示；然后利用垂径定理与勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1所示， 设，， 则， 是中弦的中点，经过圆心交于点， ， ， ， 在中，， 解得； 故的半径为； （2）解：设交于，连接，则， ①当在点上方时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②当在点下方时，如图所示， 同理可得：， 平行线与之间的距离为； 综上所述，平行线与之间的距离为或． 【点睛】此题考查了垂径定理及其推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理以及它的推论、运用勾股定理解直角三角形是解答此题的关键． 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 典例9 在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据同圆中弧长与圆心角成正比的性质，弧与弧的关系由圆心角大小直接决定． 【详解】解：∵在同圆中，弧长与所对圆心角成正比， 又∵， ∴， 故选：A． 变式9-1如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 变式9-2如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 变式9-3如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】 连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】略 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图是由正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，均为格点，请仅用无刻度的直尺作图：（保留作图痕迹） (1)在图1中，作圆心； (2)在图2中，作弦． 【答案】(1) 如图，圆心即为所求； (2) 如图，弦即为所求； 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，线段垂直平分线和圆周角定理，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）作的垂直平分线，再作圆上另一条弦的垂直平分线，两线交点即为圆心O； （2）取格点M，作点B关于的对称点，连接与圆O交于点D，此时，根据圆周角定理即可得． 【详解】（1）略 （2）略 变式10-1如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点．经过两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中，画出劣弧的中点 (2)在图2的上找一点，使（点与点不重合）． 【答案】(1) 如图，点即为所求． (2) 如图，点即为所求． 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，从而． 【详解】（1）略 （2）略 变式10-2数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角． (2)在图③中，是的内接三角形，，是上一点，请你只用无刻度的直尺画出图②中的平分线：并说明理由． 【答案】(1) ①即为所求． ②即为所求． (2) 即为所求． 【分析】本题考查了作图、圆内接四边形、圆周角定理以及垂径定理： （1）①如图所示，在上找一点，连接，根据圆内接四边形的性质即可；②如图所示，连接，并延长交于点，根据圆周角定理得到，结合是等腰三角形可以得到． （2）连接并延长交于点，交于点，连接，根据垂径定理得到点是弧的中点，再利用圆周角定理即可． 【详解】（1）①如图所示，在上找一点，连接， 四边形是圆内接四边形， ； ②如图所示，连接，并延长交于点， 是的内接三角形， ， ， 所对的弧都是弧， ， ， 即， ， 则即为所求． （2）如图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的内接三角形，， ， 是弦，且， 点是弧的中点， ， 是的平分线． 变式10-3如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．    (1)如图1，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺作于； (2)如图2，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺作于． 【答案】(1) 点即为所求；    (2) 点即为所求．    【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． （1）连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求； （2）延长交于，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求；    ∵为直径， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求．    ∵为直径， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 2．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 3．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 4．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 6．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 7．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ，， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 8．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 9．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10．边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 【答案】 【分析】根据题意可证得，则 ，从而可以确定在以的直径的圆上运动，取的中点，连接，则当 共线时，的值最小，据此可求得，进一步即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则在以的直径的圆上运动， 如图，以的直径画，连接，与圆交于点，延长交于，连接并延长，交于点， 当共线时，长度最小，此时即为所求， ，， ∴， 又∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 【答案】寸 【分析】如图，连接，设寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接，设寸． ，是直径， 寸． 在中，则有， 解得 寸． 12．如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 13．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 14．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 15．四边形是正方形，是过点A的直线．作，垂足为E，将射线绕点D逆时针旋转，得到的射线与直线交于点F，连接． (1)如图1，当时，点F与点A恰好重合，则的值为________； (2)如图2，在时． ①依题意补全图形； ②探究线段，与之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若，当的面积最大时，求的面积． 【答案】(1) (2)解：①补全图形如下： ②； 证明：延长到点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点在正方形的外接圆上． ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由题意可得，根据正方形的性质得到，进而得到，即可解答； （2）①依题意作图即可；②延长到点，使得，证明点在正方形的外接圆上，进而证明，即可得出结论； （3）设交于点，连接并延长交于点，根据点在正方形的外接圆上，且点为正方形的外接圆的圆心，得到当面积最大时，，利用垂径定理求出，从而求出，，，，由（2）知，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略； ②略 （3）解：设交于点，连接并延长交于点， ∵点在正方形的外接圆上，且点为正方形的外接圆的圆心， ∴当面积最大时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $