重难点专题03 勾股定理的应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“问题情境—方法提炼—多维应用”为主线，系统构建勾股定理从基础计算到实际建模的完整训练体系，突出几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |网格问题|7题|割补法求面积、平方关系判直角|从格点作图到无理数表示，渗透数形结合| |折叠问题|9题|折叠性质+方程思想|通过对称转化构建直角三角形模型| |梯子/航海/河宽等应用|34题|斜边恒定/方位角构造/垂线段最短|实际问题抽象为直角三角形求解| |最短路径/逆定理|22题|展开法/平方和验证|空间观念培养与逻辑推理强化|

重难点专题03 勾股定理的应用 重难点一、勾股定理与网格问题 网格中利用横、竖网格线构造直角三角形，两点横向、纵向格子差作为直角边长，借助勾股定理计算线段长度。可通过三边平方关系判断直角，求图形面积优先使用割补法，计算时只需利用格子差值的平方，减少开方运算。 1．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 3．（20-21七年级下·安徽·阶段检测）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 4．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中画一个三角形，使它的三边长分别为3，， (2)如图2，找出边、的中点E、F，画出的中位线． 5．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 重难点二、勾股定理与折叠问题 折叠核心：折叠前后对应边、对应角相等。先标出相等线段，设未知线段长度为x，在图中找到包含x的直角三角形，列出勾股方程求解。重点找准直角三角形，避免错选边，理清重合线段之间的等量关系。 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在中，，，，点D为边上的中点，将沿对折，使点C落在同一平面内的点处，连接．则 （1）的长为______； （2）的长为______． 8．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 重难点三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边。先算出梯子初始靠墙高度；梯子下滑后，梯子长度不变，结合底部水平距离求出新靠墙高度，高度差值即为下滑距离。解题牢记斜边恒定，区分前后两组直角三角形数据。 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 2．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）在实验室的测量实验中，有两个可移动的标记小球P、Q，它们之间用一根不可伸缩的细杆连接，小球P只能在竖直方向的轨道上移动，小球Q只能在水平方向的轨道上移动，两轨道的交点为O．如图，忽略小球的体积，将其抽象成几何图形．初始状态下，小球P到交点O的距离为，小球Q到交点O的距离为．当小球P沿着竖直轨道向下移动至点处时，小球Q随之移动到点的位置，求的长． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 5．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 重难点四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 水杯内部底面直径、杯高构成直角三角形，杯内筷子最长长度为该三角形斜边。筷子总长减去斜边长，得到露出杯口最短长度；露出最长长度等于总长减去杯高，分清临界情况，结合勾股求出杯内最大容纳线段长度。 1．（19-20八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·河南周口·期末）一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______ 6．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 重难点五、解决航海问题(勾股定理的应用) 航海题常出现正东、正北等垂直方向，可直接构造直角三角形。根据航行路程得到两条直角边长，运用勾股计算两点直线距离；遇到方位角先画图确定垂直关系，标注航行距离，再代入公式进行计算。 1．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 3．（21-22八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 4．（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 5．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 7．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 9．（25-26九年级下·全国·单元复习）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 10．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 重难点六、求河宽(勾股定理的应用) 将河岸视作平行线，垂直河岸方向为河宽（一条直角边），岸边行走距离为另一条直角边，观测斜线为斜边。设河宽为未知数，利用勾股定理建立方程求解，画图厘清观测点、对岸点、岸边落脚点三者位置。 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 4．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北张家口·期末）机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 8．（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 9．（25-26八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 重难点七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 台阶问题无需直接用勾股求斜线，地毯总长等于所有水平线段总长加竖直线段总长。可先利用勾股算出台阶水平总宽度与竖直总高度，两者相加即为地毯长度，避开斜边长的干扰，简化运算步骤。 1．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 2．（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 3．（20-21七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 6．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 重难点八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 先构造直角三角形，用勾股求出汽车行驶的路程，结合行驶时间算出行驶速度。将计算速度与限速对比，判断是否超速。注意统一路程、时间单位，单位换算极易出错，列式前先统一计量单位。 1．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 2．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    3．（22-23八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 4．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段检测）规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 5．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 6．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 7．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 8．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 重难点九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 以台风中心移动路线为基准，计算目标地点到路线的垂直最短距离。若最短距离小于台风影响半径，则会受影响；还可结合勾股算出受影响路段长度与持续时间，先作图找到垂线段，再利用勾股定理辅助计算。 1．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 2．（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 3．（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 6．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 重难点十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 设选址位置的未知数，分别在两个直角三角形中，表示出该点到两地的线段长度。根据距离相等列等式，借助勾股定理列出方程求解。关键找准两个直角三角形，准确用未知数表示线段平方。 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 4．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 5．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 6．（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 7．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 8．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 重难点十一、求最短路径(勾股定理的应用) 立体图形最短路径使用展开法，将立体侧面展开为平面，两点之间线段最短。在展开图中构造直角三角形，直角边长为立体的长、宽、高等数据，利用勾股算出线段长度，多展开方案时对比选出最小值。 1．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 5．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 8．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 9．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 10．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 12．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 重难点十二、勾股定理逆定理的实际应用 先测量或计算三角形三边长度，分别求出三边平方。验证较小两边平方之和是否等于最大边平方，满足则为直角三角形。常用于判断垂直结构，实操中先确定最长边，再进行平方和验算。 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 2．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 6．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 8．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03 勾股定理的应用 重难点一、勾股定理与网格问题 网格中利用横、竖网格线构造直角三角形，两点横向、纵向格子差作为直角边长，借助勾股定理计算线段长度。可通过三边平方关系判断直角，求图形面积优先使用割补法，计算时只需利用格子差值的平方，减少开方运算。 1．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 【答案】(1) ①②如图所示即为所求； (2)平行；、、 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角、勾股定理与网格问题 【分析】题目主要考查利用网格画图，勾股定理解三角形，余角的定义等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据网格特点画图即可；②根据网格特点画图即可； （2）先根据网格及勾股定理得出为等腰直角三角形，确定，再由平行线的判定即可得出；再利用余角的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵为等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的所有余角为、、， 故答案为：平行；、、． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 【答案】 线段即为所求（位置不唯一）： 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理和网格问题，熟练掌握勾股定理，并结合网格的特点解答是解本题的关键． 根据勾股定理结合网格特点画图即可． 【详解】，． 3．（20-21七年级下·安徽·阶段检测）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 【答案】(1)； (2)①；②见详解． 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题 【分析】该题考查了勾股定理． （1）利用勾股定理，求解即可． （2）①利用勾股定理求解即可． ②利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为，所以． （2）解：①，所以． ②如图2中，线段即为所求作． 4．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中画一个三角形，使它的三边长分别为3，， (2)如图2，找出边、的中点E、F，画出的中位线． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： 【难度】0.6 【知识点】格点作图题、矩形性质理解、勾股定理与网格问题 【分析】（）利用网格与勾股定理确定三条线段的格点位置，顺次连格点画出三角形； （）借助矩形对角线平分找两边中点，连线得到三角形中位线，作图保留辅助线． 【详解】（1）解：根据勾股定理，在单位正方形网格中：沿网格边取个单位长度，长度； 直角边为和的直角三角形斜边为； 直角边为和的直角三角形斜边为， 在网格中选取满足上述边长的三个格点，顺次连接即可得到符合要求的三角形，作图略； （2）解：利用矩形对角线互相平分的性质找中点：分别以、为矩形的一条对角线，在网格中构造对应矩形，连接矩形另一条对角线，交点即为中点、中点； 连接，即为的中位线， 作图略． 5．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【答案】(1) 如图，点即为所求，如图，点即为所求． (2) 如图，即为所求． (3) 如图，即为所求． 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图、尺规作图——作三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）在图中根据网格特征，作等腰直角即可得出；在图中，作等腰直角，再作，交于，根据平行线的性质即可得出； （2）过点作的垂线，截取，连接，作出即可； （3）过点作的垂线，作的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交的角平分线于，过点作于，即为所求． 【详解】（1）解：图中，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图中，同理可得是等腰直角三角形， ∴， 由网格特征可知，， ∴． （2）略 （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴即为所求． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 【答案】(1)3.5 (2) (3)45 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查“勾股定理”，理解题意中的构图法，并运用构图法构造问题中所求式子对应的三角形是解题关键． （1）通过作差法，用大正方形的面积减去三个小三角形的面积即可； （2）根据根号下式子的特征，确定横、纵格子的个数，来确定顶点的位置，画出对应的三角形，再通过作差法求面积即可； （3）构造两个直角三角形，使斜边长等于式子中每个根式的值，再通过将军饮马求最值的方法求解出线段和的最值，即可求出该式子的最值． 【详解】（1）由图，得， 故答案为：3.5． （2）如图，根据题意构造， ∴． （3）如图，构造图形如下，则线段，线段， 作点M关于直线的对称点，连接，则为的最小值，即的长为代数式的最小值， ∴， ∴的最小值为45． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③ 【难度】0.4 【知识点】已知两点坐标求两点距离、用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； ③把看成点到两点和的距离之差，当点和重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②， ， 的面积， 设点到边的距离， 的面积， 点到边的距离， 故答案为：2，； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③把式看成点到两点和的距离之差，即， 点在直线上，且在点右边时，，有最大值， 最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理． 重难点二、勾股定理与折叠问题 折叠核心：折叠前后对应边、对应角相等。先标出相等线段，设未知线段长度为x，在图中找到包含x的直角三角形，列出勾股方程求解。重点找准直角三角形，避免错选边，理清重合线段之间的等量关系。 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠得， ， ． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.71 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即弯折点与地面的距离为． 6．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.64 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在中，，，，点D为边上的中点，将沿对折，使点C落在同一平面内的点处，连接．则 （1）的长为______； （2）的长为______． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】设交于E，由得，由可求、，在中用勾股定理即可得答案． 【详解】解：设交于E ，如图： ∵点D为边上的中点，， ∴， ∵将沿对折，使点C落在同一平面内的点处， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上计算得到，， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 8．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【难度】0.3 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、勾股定理与折叠问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，折叠，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据勾股定理，进行解答，即可； （2）连接，，设，则，根据勾股定理，则，求出，得到的值；作，垂足为，，则四边形是矩形，根据，求出； （3）由折叠可得，可得，根据勾股定理，求出，根据所对的直角边是斜边的一半的逆定理，可得，，过点作交于点，根据矩形的判定和性质，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，，连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，，当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长；根据等腰直角三角形的判定和性质，求出，过点作交于点，利用勾股定理求出，，同理求出，，根据线段的等量关系，，，，即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， 是边的中点， ， 在中，． （2）解：如图1，连接，， ∵，为的中点， ∴， 设，则， 由（1）知，在中，， ∴，解得， ∴， 作，垂足为，，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在，依题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴， 连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过点作交于点， 在中，， ∴， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 重难点三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边。先算出梯子初始靠墙高度；梯子下滑后，梯子长度不变，结合底部水平距离求出新靠墙高度，高度差值即为下滑距离。解题牢记斜边恒定，区分前后两组直角三角形数据。 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 2．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）在实验室的测量实验中，有两个可移动的标记小球P、Q，它们之间用一根不可伸缩的细杆连接，小球P只能在竖直方向的轨道上移动，小球Q只能在水平方向的轨道上移动，两轨道的交点为O．如图，忽略小球的体积，将其抽象成几何图形．初始状态下，小球P到交点O的距离为，小球Q到交点O的距离为．当小球P沿着竖直轨道向下移动至点处时，小球Q随之移动到点的位置，求的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，由于，结合已知条件求得的长，利用勾股定理求得的长，最后利用即可求得的长． 【详解】解：由题意知，，，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【难度】0.85 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，，运用勾股定理列式计算，得，此时，即可作答． （2）先运算，再根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 在中，， 即， 解得． ∴， 答：绳子的总长度为； （2）解：根据题意，得，，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴ 答：滑块向左滑动的距离为． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【难度】0.62 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 5．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【难度】0.62 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为． 【难度】0.65 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系． 【详解】（1）解：设，则标语长为， ∴由勾股定理得：，解得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． （2）解：设 ，则标语长为， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 【答案】（1）的值为；（2）杆子底部滑动的距离为；（3）证明见解析；（4）的值为20 【难度】0.4 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）在中，运用勾股定理求解即可； （2）根据题意求出的值，再在中，运用勾股定理求出，进而求解即可； （3）在和和和中，运用勾股定理即可求证； （4）延长、交于点，运用（3）中的结论即可求解． 【详解】（1）在中， ； （2）由题意可知， 在中， ， ， 即杆子底部滑动的距离为； （3）证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ；； ； （4）如图，延长、交于点， ， ， 则由（3）中结论可知 ． 重难点四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 水杯内部底面直径、杯高构成直角三角形，杯内筷子最长长度为该三角形斜边。筷子总长减去斜边长，得到露出杯口最短长度；露出最长长度等于总长减去杯高，分清临界情况，结合勾股求出杯内最大容纳线段长度。 1．（19-20八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， 又细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故选：D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，为， 如图，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小， ， 由勾股定理可得， ∴直吸管露在罐外部分的长度最小为， ∴直吸管露在罐外部分的长度的范围是． 3．（21-22八年级上·河南周口·期末）一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵圆柱形杯子底面半径， ∴底面直径， 杯子内最短长度：吸管垂直放入杯内时，长度等于杯子的高，即； 杯子内最长长度：吸管斜放至杯底边缘时，长度为， ∴吸管总长度a需满足：最小值：， 最大值：， 吸管长的取值范围是：． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______ 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设圆柱的底面圆的直径为，高为，根据勾股定理得到，解答即可． 本题考查了勾股定理，圆柱的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设圆柱的底面圆的直径为，高为， 由底面半径为，高为可得 根据勾股定理得到， 故， 故答案为：5． 6．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【难度】0.85 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【难度】0.62 【知识点】有理数加法运算律、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 重难点五、解决航海问题(勾股定理的应用) 航海题常出现正东、正北等垂直方向，可直接构造直角三角形。根据航行路程得到两条直角边长，运用勾股计算两点直线距离；遇到方位角先画图确定垂直关系，标注航行距离，再代入公式进行计算。 1．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 3．（21-22八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，由题意得出海里，海里，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行到，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行到， 由题意得：(海里)，(海里)，， (海里)， 离开港口2小时后，则两船相距海里. 4．（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 5．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.85 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 【答案】小明家和体育中心的距离为． 【难度】0.85 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据方向角的定义得出，，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴在中，． ∴小明家和体育中心的距离为． 7．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西方向航行 【难度】0.85 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据三角形的三边长，可知，得，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴， ∵快船沿北偏西方向航行， ∴慢船沿南偏西方向航行． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级下·全国·单元复习）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 【答案】(1) (2) 港在港北偏东的方向上 【难度】0.62 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】（1）利用方位角和平行线的性质推出，用勾股定理计算的长度，再取近似值即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，结合方位角计算出港相对港的方向即可． 【详解】（1）解：根据题意作图： ，，，， ， ， 在中，， 答：两港之间的距离约为． （2） ，， 是等腰直角三角形， ， ， 答：港在港北偏东的方向上． 10．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 重难点六、求河宽(勾股定理的应用) 将河岸视作平行线，垂直河岸方向为河宽（一条直角边），岸边行走距离为另一条直角边，观测斜线为斜边。设河宽为未知数，利用勾股定理建立方程求解，画图厘清观测点、对岸点、岸边落脚点三者位置。 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理可以直接求解． 【详解】解：由题可知，米，米，， 米． 故选：C 4．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 5．（25-26八年级上·河北张家口·期末）机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【难度】0.85 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【难度】0.65 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 8．（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【难度】0.65 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 9．（25-26八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴, ∴， ∴． （2）解：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 重难点七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 台阶问题无需直接用勾股求斜线，地毯总长等于所有水平线段总长加竖直线段总长。可先利用勾股算出台阶水平总宽度与竖直总高度，两者相加即为地毯长度，避开斜边长的干扰，简化运算步骤。 1．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 2．（15-16八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【难度】0.85 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 3．（20-21七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【难度】0.4 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【难度】0.85 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【难度】0.52 【知识点】三角形三边关系的应用、通过对完全平方公式变形求值、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、勾股树（数）问题 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解：，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 6．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法的实际应用、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 重难点八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 先构造直角三角形，用勾股求出汽车行驶的路程，结合行驶时间算出行驶速度。将计算速度与限速对比，判断是否超速。注意统一路程、时间单位，单位换算极易出错，列式前先统一计量单位。 1．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【难度】0.85 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 3．（22-23八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段检测）规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【难度】0.85 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 5．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速了 【难度】0.94 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出，再根据速度路程时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解． 【详解】解：由勾股定理得（米）， 小汽车的速度为：（米/秒）， 30米/秒108千米/时80千米/时， 所以，这辆小汽车超速了． 6．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【难度】0.65 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 7．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【难度】0.6 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 8．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【难度】0.62 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 重难点九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 以台风中心移动路线为基准，计算目标地点到路线的垂直最短距离。若最短距离小于台风影响半径，则会受影响；还可结合勾股算出受影响路段长度与持续时间，先作图找到垂线段，再利用勾股定理辅助计算。 1．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【难度】0.89 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 2．（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为． 【难度】0.85 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【详解】（1）证：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 3．（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【难度】0.85 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【难度】0.62 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； (2) 解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； (3)台风持续影响该海港 【难度】0.62 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 6．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 (2)6秒 【难度】0.4 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【难度】0.4 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 重难点十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 设选址位置的未知数，分别在两个直角三角形中，表示出该点到两地的线段长度。根据距离相等列等式，借助勾股定理列出方程求解。关键找准两个直角三角形，准确用未知数表示线段平方。 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.9 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 4．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【难度】0.85 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 5．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 6．（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1)见解析 (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【难度】0.55 【知识点】勾股定理的证明方法、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 7．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【难度】0.72 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 8．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【难度】0.5 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用)、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 【点睛】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解． 重难点十一、求最短路径(勾股定理的应用) 立体图形最短路径使用展开法，将立体侧面展开为平面，两点之间线段最短。在展开图中构造直角三角形，直角边长为立体的长、宽、高等数据，利用勾股算出线段长度，多展开方案时对比选出最小值。 1．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.86 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 2．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】圆柱的展开图如图： 根据题意：，，， ， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 5．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，柱身高为米，底面周长为米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点， ∴，，，，，， ∴， ∴（米）， ∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为米． 7．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据长方形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：长方形操场的长为，宽为， ，， ． 8．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【难度】0.54 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 9．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 10．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【难度】0.4 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用)、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】连接交于点，依题意，，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 依题意，， 在中，，即为． 12．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【难度】0.45 【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 重难点十二、勾股定理逆定理的实际应用 先测量或计算三角形三边长度，分别求出三边平方。验证较小两边平方之和是否等于最大边平方，满足则为直角三角形。常用于判断垂直结构，实操中先确定最长边，再进行平方和验算。 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)池塘两端A，B之间的距离为 【难度】0.81 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 2．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2) 解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 【难度】0.88 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】(1)解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (2) 【难度】0.62 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 6．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形； (2)池塘两端，之间的距离为 【难度】0.62 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：是直角三角形，点，，在同一直线上， ， ， 即池塘两端，之间的距离为． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为1800平方米 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】连接，利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，然后根据求解即可． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得，（米）， 在中，由勾股定理得，， 在中，， 是直角三角形，且， （平方米）． 8．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【难度】0.45 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $