专题2.1 探索勾股定理《知识解读·题型专练》-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理应用为主线，构建"基础计算-图形变换-逻辑推理-模型拓展"的递进式训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用勾股定理求边长|5题|直接应用勾股定理及变形公式|从直角三角形边长计算切入，夯实定理基础应用| |勾股定理与折叠|5题|折叠性质+方程思想建立等量关系|结合图形变换，提升空间观念与问题转化能力| |证平方关系|4题|代数变形与几何推理结合|深化定理逆向应用，培养逻辑推理能力| |赵爽弦图模型|7题|面积关系构建方程求解|渗透数学文化，强化模型观念与代数运算融合| |勾股树模型|4题|面积转化与递归思想|拓展定理应用场景，发展抽象能力与创新意识| |斜边上的高|4题|面积公式与勾股定理联动|建立形数联系，提升综合应用与数据意识|

专题2.1 探索勾股定理（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1…利用勾股定理求边长 1 题型·2·勾股定理与折叠 2 题型·3·利用勾股定理证平方关系 4 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 6 题型·5·勾股定理常见模型之勾股树 9 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 10 题型·1…利用勾股定理求边长 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 2．马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型·2·勾股定理与折叠 6．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 9．如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（    ） A． B．2 C．1 D．3 题型·3·利用勾股定理证平方关系 11．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 12．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 13．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 14．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 16．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 17．如图，在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 18．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； (2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 19．如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 20．【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 21．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 题型·5·勾股定理常见模型之勾股树 22．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 23．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 24．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ） A．90 B．108 C．99 D．117 25．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 26．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 27．如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 28．如图，在中，是斜边上的高，，，求高的长． 29．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 探索勾股定理（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1…利用勾股定理求边长 1 题型·2·勾股定理与折叠 3 题型·3·利用勾股定理证平方关系 7 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 13 题型·5·勾股定理常见模型之勾股树 21 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 25 题型·1…利用勾股定理求边长 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 2．马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】依题意，根据勾股定理可得点A与点B之间的距离是． 3．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 4．如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义和等腰直角三角形的定义可推出，利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 5．如图，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点性质求出直角边的长度，再在直角三角形中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形。 ∵点是的中点，， ∴， 根据勾股定理，在中：， 代入，得， ∴的长为． 题型·2·勾股定理与折叠 6．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，即可推出． 【详解】解：在中，，， ， 由翻折的性质可知：， ， 故选：C． 7．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得：， ∵将折叠，使点与重合，得折痕， ∴， ∴的周长． 故选：C． 8．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 9．如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题的性质，勾股定理，由折叠可得，，设，则，又由已知得，再在中利用勾股定理解答即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， 设，则， ，四边形为长方形，点为的中点， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理．设，由折叠得，，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 题型·3·利用勾股定理证平方关系 11．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 12．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 13．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，. ∵，， ， ∴. 在和中， ， ∴； (2) (3) 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据同角的余角相等得到，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用即可证明； （2）由就可以得出，，根据等腰三角形的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出结论； （3）由勾股定理直接推导出结论即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，. ∴ ∴. 即是直角三角形， ∴； （3）略 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 16．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 17．如图，在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】． 【分析】根据题意得，，然后运用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是， ∴四个直角三角形面积和为，即， ∴， ∵， ∴． 18．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； (2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】（1）阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积，表示各个图形的面积证明即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：∵阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积， ； （2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ； 19．如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【答案】(1)；；；17 (2)96 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出大正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． （1）用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． （2）利用（1）中发现的结论即可解决问题． （2）设，根据勾股定理建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①明：∵中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：． ②又∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可以表示为， ③ ④∵，， 故答案为：；；；17； （2）解：设， ∵外围轮廓（实线）的周长为48， 则． 在中， 解得， 即， ． 20．【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【答案】（1） （2）5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用： 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：略 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． 21．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2) ∵， 即， 整理得， 故； (3)27 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）略 （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 题型·5·勾股定理常见模型之勾股树 22．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 23．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 24．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ） A．90 B．108 C．99 D．117 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理得，得到正方形的面积正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加，进行求解即可． 【详解】解：如图②，设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，并且是直角三角形的斜边， 正方形的面积为． 由勾股定理得：， 正方形的面积正方形的面积， 图①中所有正方形的面积和， 同理：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 同理可得次操作后增加的个小正方形的面积和也是， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 故选：B． 25．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 26．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 27．如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 【答案】(1) 证明：，， ． ，． ． 在和中， ． ； (2)． 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到； （2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ， ， ． 28．如图，在中，是斜边上的高，，，求高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ． 29．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 【答案】(1) (2)斜边AB边上的高是4.8 【分析】（1）根据在中，是边上的高，，，可以计算出的长，然后根据勾股定理即可得到的长； （2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高． 【详解】（1）解：（1）∵在中，是边上的高，，， ∴，即，解得， ∵在中，，， ∴； （2）解：作于点F， ∵，， ∴， 解得，即斜边AB边上的高是4.8． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $