精品解析：内蒙古鄂尔多斯市第一中学东胜校区（东联现代高级中学）2026-2027学年高二上学期期初考试数学试题

市一中东胜校区2026—2027学年第一学期收心启航考试 高二数学试卷 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. “或”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 4. 在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对实数的取值范围进行分类讨论，分析两个函数的单调性，即可得出这两个函数的图象. 【详解】对于函数，，可得， 即函数的定义域为. 对于函数，当时，， 即函数的图象过定点，排除A选项； 当时，，则函数为增函数， 函数为减函数，没有选项合乎要求； 当时，，则函数为减函数， 函数为增函数，C选项合乎要求. 故选：C. 5. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 6. 在中，若 ，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式进行求解. 【详解】由题意得：，的面积， 则，所以，. 7. 偶函数在上是减函数，且，则满足的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义把不等式变形后用单调性求解． 【详解】∵是偶函数，，∴不等式可化为， 又在上是减函数，∴，∴． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 8. 若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴. 的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 恰有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算出函数定义域，然后对函数解析式进行化简，再利用复合函数“同增异减”及二次函数、 对数函数性质分析即可得到答案. 【详解】函数的定义域为，故的图象关于直线对称，A正确； 当在上单调递增，且在其定义域内单调递增，B正确； 当时，，故的值域为，C错误； 令，则，易得有两个解，这两个解均在上，D正确． 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知均为单位向量，若，则在上的投影向量为_________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，且均为单位向量，则， 所以，则在上的投影向量为. 13. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________ 【答案】. 【解析】 【详解】分析：利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解． 详解：由题意，得， 即，即， 则． 点睛：本题考查三角形的面积公式、余弦定理等知识，解决本题的关键是合理选择三角形的面积公式，因为所求角为，故选择，另外，不要受题干中多余条件“为钝角”的干扰． 14. 若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 四．解答题（共5小题，共77分） 15. 已知向量，． （1）若，且，求向量与向量的夹角； （2）若，且，求向量的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）借助向量垂直性质及数量积公式计算即可得； （2）借助向量平行性质计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，设， 则，解得， 故或． 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 若，，所以， 则，， 则. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出； （2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 【小问1详解】 ，∴，∵， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 18. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值；并求出考核成绩的中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求落在的学生的成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） （3）用分层抽样的方法在考核成绩在内的抽出7人，再从这7人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人考核成绩均在内的概率． 【答案】（1），中位数为 （2）平均数，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1的性质建立方程，求出的值，再根据中位数的定义求中位数； （2）先根据频率分布直方图求出和两组的人数，用加权平均法计算两组成绩的总平均数，再结合分层方差的计算公式计算总方差； （3）先计算出、组的人数，再根据分层抽样的抽样比例计算该组应抽取的人数，根据古典概型计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得 因为前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以中位数应在70-80之间，中位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以总平均数， 总方差. 【小问3详解】 成绩在的频率为，总人数，因此人数为人； 成绩在的频率为，人数为人， 两者人数比为，用分层抽样抽取7人时：从抽取 人， 从抽取 人. 从7人中随机抽取2人，总的基本事件数为 种； 抽到的2人都在内的事件数为 种， 因此所求概率. 19. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由正方体的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方体的性质得到，然后利用线面平行的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到两平面夹角的平面角，利用直角三角形可求正弦值； （3）建立坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面与平面所成角的平面角， 因为底面，所以， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令可得， 设到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市一中东胜校区2026—2027学年第一学期收心启航考试 高二数学试卷 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. “或”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若 ，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 7. 偶函数在上是减函数，且，则满足的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 恰有两个零点 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知均为单位向量，若，则在上的投影向量为_________ 13. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________ 14. 若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 四．解答题（共5小题，共77分） 15. 已知向量，． （1）若，且，求向量与向量的夹角； （2）若，且，求向量的坐标． 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 18. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值；并求出考核成绩的中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求落在的学生的成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） （3）用分层抽样的方法在考核成绩在内的抽出7人，再从这7人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人考核成绩均在内的概率． 19. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $