精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 故. 故选：B 2. 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数，根据函数在点的导数为切线的斜率，求出函数的解析式，再根据函数的奇偶性及取值范围判断. 【详解】∵函数，， ，显然， 函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C， 又时，函数值为正，图像位于第一象限，排除D. 故选：A. 3. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先确定交点的坐标，再求出垂线与渐近线的交点，利用的长度求得，最后结合双曲线的、关系计算离心率. 【详解】双曲线中，令，得非负半轴交点. 过的x轴垂线为，双曲线第一象限的渐近线为，将代入得. 由，得. 双曲线中，，即， 故离心率. 故选：B 4. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 5. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 6. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量，再利用计算即可. 【详解】由题可知，，且， 故，， 则， 所以，即的长为. 故选：A. 7. 若，，三点共线，则（ ） A. 169 B. 144 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示求出即得. 【详解】依题意，，，由，，三点共线， 得，则，解得，，所以. 故选：A 8. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 在轴上的截距为2 C. 与圆相离 D. 与直线之间的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】由两直线斜率乘积即可判断A；求出在轴上的截距即可判断B；计算圆心到直线的距离即可判断C；由两平行线间的距离公式计算即可判断D. 【详解】由题直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，故A正确； 对直线，令，所以在轴上的截距为，故B错误； 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，则， 所以与圆相交，故C错误； 与直线之间的距离为.故D正确. 故选：AD 10. （多选）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 直线在轴上的截距为4 C. 直线的倾斜角为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题涉及直线方程的多种性质，包括点与直线的位置关系、直线在坐标轴上的截距、直线的倾斜角以及直线的方向向量。通过将点的坐标代入直线方程判断点是否在直线上；令求直线在轴上的截距；根据直线斜率与倾斜角的关系求倾斜角；根据直线斜率与方向向量的关系判断方向向量. 【详解】对A，因为，所以点不在直线上，故A错误； 对B，令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故B正确； 对C，由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对D，若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故D错误． 故选：BC. 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，设贷款时的资金元为现值，且每一期所还钱数为x元，则：第1期所还钱的现值为元；第2期所还钱的现值为元；…… 第m期所还钱的现值为元.因为最后还款的现值总和应为元，所以.又因为，所以由等比数列前n项求和公式可解得______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】由题意易知是以为首项和公比的等比数列， 则 ， 即. 故答案为： 13. 近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 【答案】0.047 【解析】 【分析】根据题意求得收益，利用导数法求解最值，即可得解. 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 14. 空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则，平行四边形法则进行求解. 【详解】点为的中点，， ，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 16. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，以及椭圆离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程； （2）联立椭圆方程和直线方程，求出弦长，根据点到直线距离公式，求出三角形高，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 椭圆一个焦点为，则，椭圆的离心率为，所以，即， 所以，所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 如图所示，左顶点， 则点到直线的距离为. 联立方程组得，消去得， 根据弦长公式得， 所以. 17. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）0或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【小问1详解】 若，则，解得或2. 【小问2详解】 若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 18. 已知奇函数和偶函数满足． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】（1） 在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. （2）1 【解析】 【分析】（1）在中，用代替，结合函数的奇偶性解方程求得的解析式，对求导结合基本不等式证明； （2）由（1）可得的解析式，求导判断单调性，进而求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 19. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用，求解，最后验证是否满足，即可得解. （2）先利用累加法求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； 【小问2详解】 因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A. B. C. D. 2. 设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 5. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若，，三点共线，则（ ） A. 169 B. 144 C. D. 8. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 在轴上的截距为2 C. 与圆相离 D. 与直线之间的距离为 10. （多选）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 直线在轴上的截距为4 C. 直线的倾斜角为 D. 直线的一个方向向量为 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，设贷款时的资金元为现值，且每一期所还钱数为x元，则：第1期所还钱的现值为元；第2期所还钱的现值为元；…… 第m期所还钱的现值为元.因为最后还款的现值总和应为元，所以.又因为，所以由等比数列前n项求和公式可解得______. 13. 近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 14. 空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 16. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 17. 已知直线和直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知奇函数和偶函数满足． （1）求证：； （2）求的最小值． 19. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $