第三章 简单的几何图形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北京版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第三章“简单的几何图形”培优冲刺单元卷，以几何直观与空间观念为核心，通过生活情境（如建筑砌墙、公路改直）和动态问题（如动点、旋转）设计，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|几何体展开图、直线性质、折叠问题|第2题以建筑砌墙情境考查“两点确定一条直线”，体现应用意识| |填空题|8/24|角度计算、正方体展开图、线段中点|第15题通过棱锥数据探究V、F、E关系，培养推理意识| |解答题|8/52|作图、动态几何、实际应用|17题正方体纸盒制作（空间观念）、22题铅球场地设计（模型意识）|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 简单的几何图形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A． B． C． D． 2．下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 3．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 7．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算：（1）________°；（2）______°_____′． 10．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，写出一个符合题意的序号是________，可以涂黑的小正方形的位置一共有________处． 11．京蔚高速北京段建成通车后，西六环至灵山的车程由2小时缩短至45分钟，显著提升区域连通效率．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，这其中蕴含的数学原理是______． 12．如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为______． 13．如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 14．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 15．棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填______； （2）请用，，表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系______． 16．如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为_____． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（6分）在《几何图形初步》这一章节的学习中，我们探讨了“如何制作长方体纸盒”，课后，小明进一步探究了“如何制作正方体纸盒”． 操作探究 (1)下列________（填字母）图形经过折叠能围成有盖正方体纸盒 A．    B． C．     D． (2)如图1，在长为20cm，宽为8cm的长方形纸板的对角剪去两个相同的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒．请你在图1中画出你剪去的两个小长方形（用阴影表示），并求出制作的正方体纸盒的表面积； 图1 (3)如图2，在长为a，宽为的长方形纸板中剪去三个相同的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，a与b之间存在的数量关系为________； 图2 (4)在（3）的条件下，解关于x的方程． 18．（6分）已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 19．（4分）如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 20．（4分）已知：，点C是线段的中点，． (1)如图，点D在线段上，求的长； (2)若点D在直线上，且点E是的中点，请直接写出的长． 21．（5分）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 22．（9分）学校召开运动会，请数学课外活动小组在操场一角画铅球比赛场地．小组成员经过查阅，发现铅球国际标准比赛场地如图1所示．为符合中学生实际体育成绩，小组成员缩小了铅球落地区尺寸．经研讨，首先确定投掷方向，在场地的中心线画一条数轴，在靠近起点方向确定原点O，以O为圆心，米为半径画圆与数轴交于点A，如图2： (1)点A表示的数是_______； (2)为确定铅球落地区的边界，小组成员需要在圆上确定两点B，C，使，请计算与的度数是多少？ (3)在投掷圆外要固定白色抵趾板，如图2中阴影部分，投掷成绩及格线从3米开始记录，若某同学的铅球落地点为P，请估计该同学的铅球成绩，直接写出结论． (4)在投掷圆外要设立安全区，经过圆心O画一条直径，使，分别向两端延长直径，使圆外安全区域，请计算线段的长度； (5)若落地区的两条边界线，外，还需要画出宽度为2米的长方形安全区，请在图2中画出图形，并标注尺寸． 23．（9分）背景知识：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想已知，点，是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点，点，，分别表示数，，请回答下列问题． 【特例感知】（1）若，，则______，表示的数为______； 【规律探究】（2）如图，利用数轴思考探究，点，之间的距离表示为______，表示的数为______用含，的式子表示； 24．（9分）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 2/8 3/8 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 简单的几何图形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A． B． C． D． 2．下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 3．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 7．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算：（1）________°；（2）______°_____′． 10．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，写出一个符合题意的序号是________，可以涂黑的小正方形的位置一共有________处． 11．京蔚高速北京段建成通车后，西六环至灵山的车程由2小时缩短至45分钟，显著提升区域连通效率．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，这其中蕴含的数学原理是______． 12．如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为______． 13．如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 14．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 15．棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填______； （2）请用，，表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系______． 16．如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为_____． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（6分）在《几何图形初步》这一章节的学习中，我们探讨了“如何制作长方体纸盒”，课后，小明进一步探究了“如何制作正方体纸盒”． 操作探究 (1)下列________（填字母）图形经过折叠能围成有盖正方体纸盒 A．    B． C．     D． (2)如图1，在长为20cm，宽为8cm的长方形纸板的对角剪去两个相同的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒．请你在图1中画出你剪去的两个小长方形（用阴影表示），并求出制作的正方体纸盒的表面积； 图1 (3)如图2，在长为a，宽为的长方形纸板中剪去三个相同的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，a与b之间存在的数量关系为________； 图2 (4)在（3）的条件下，解关于x的方程． 18．（6分）已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 19．（4分）如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 20．（4分）已知：，点C是线段的中点，． (1)如图，点D在线段上，求的长； (2)若点D在直线上，且点E是的中点，请直接写出的长． 21．（5分）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 22．（9分）学校召开运动会，请数学课外活动小组在操场一角画铅球比赛场地．小组成员经过查阅，发现铅球国际标准比赛场地如图1所示．为符合中学生实际体育成绩，小组成员缩小了铅球落地区尺寸．经研讨，首先确定投掷方向，在场地的中心线画一条数轴，在靠近起点方向确定原点O，以O为圆心，米为半径画圆与数轴交于点A，如图2： (1)点A表示的数是_______； (2)为确定铅球落地区的边界，小组成员需要在圆上确定两点B，C，使，请计算与的度数是多少？ (3)在投掷圆外要固定白色抵趾板，如图2中阴影部分，投掷成绩及格线从3米开始记录，若某同学的铅球落地点为P，请估计该同学的铅球成绩，直接写出结论． (4)在投掷圆外要设立安全区，经过圆心O画一条直径，使，分别向两端延长直径，使圆外安全区域，请计算线段的长度； (5)若落地区的两条边界线，外，还需要画出宽度为2米的长方形安全区，请在图2中画出图形，并标注尺寸． 23．（9分）背景知识：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想已知，点，是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点，点，，分别表示数，，请回答下列问题． 【特例感知】（1）若，，则______，表示的数为______； 【规律探究】（2）如图，利用数轴思考探究，点，之间的距离表示为______，表示的数为______用含，的式子表示； 24．（9分）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 简单的几何图形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开图中有两个三角形，三个四边形，是三棱柱的组成， 这个几何体是三棱柱． 故选：B 2．下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 【答案】A 【分析】本题考查对“两点确定一条直线”几何公理的理解．选项A中，通过两个桩拉线砌墙，直接体现了该公理；选项B和C涉及“两点之间线段最短”；选项D涉及“点动成线”． 【详解】解：选项A中在墙的两端立桩拉线，利用两点确定一条直线来指导砌墙，故选项A正确； 选项B和C均基于“两点之间线段最短”的原理，与题意不符； 选项D描述的是点动成线的现象，与题意不符． 故选：A． 3．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论；先通过设定的长度为x，将各线段长度用x表示，再明确点D（的中点）、点E（的三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，此时，结论①成立； ∵，， ∴，结论②成立； ∵，， ∴，结论③不成立； ∵， ∴，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选B． 5．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出，垂直得到，角的和差关系求出，再根据平角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵射线是的平分线，，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 6．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 7．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，根据线段中点的定义可得，，再逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∴，故①正确，②错误； ∵，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上，等式中正确的是①④， 故选：． 8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点. ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，②④正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算：（1）________°；（2）______°_____′． 【答案】 【分析】本题考查角度之间的转换，掌握角度之间转换按进制是解题的关键． 由角度单位换算，进行计算即可． 【详解】解：（1），因此； （2），，因此； 故答案为：；；． 10．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，写出一个符合题意的序号是________，可以涂黑的小正方形的位置一共有________处． 【答案】 ⑥（或②或③或④）（答案不唯一） 4 【分析】本题考查了几何图形的初步，熟练掌握正方体的平面展开图是解题的关键．分析正方体展开图的结构，常见类型如 “”，“”，“” ，“”等，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断空白小正方形的位置即可． 【详解】解：再涂黑的小正方形的位置可以是⑥组成“”型， 再涂黑的小正方形的位置可以是②或③或④组成“”型， 综上分析，共有4处． 故答案为：⑥（或②或③或④）（答案不唯一）；4． 11．京蔚高速北京段建成通车后，西六环至灵山的车程由2小时缩短至45分钟，显著提升区域连通效率．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，这其中蕴含的数学原理是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查几何公理“两点之间，线段最短”的实际应用，通过将弯曲公路改直缩短路程，体现了这一原理． 【详解】解：根据“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”表明连接两点的所有路径中，直线段的长度最短；因此将弯曲的公路改直后，路径变为直线段，从而缩短了实际路程， 故答案为：两点之间，线段最短． 12．如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为______． 【答案】16 【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意是解决本题的关键． 设线段的长为，则根据题意得，，，，，结合即可求解． 【详解】解：设线段的长为， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由题意得， ， ∴， 解得． 即线段的长为， 故答案为：16． 13．如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，涉及角平分线的性质，正确识图准确计算是解题的关键．先利用角平分线的定义得到，然后计算，即可求得． 【详解】解：∵平分且， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 【答案】或6 【分析】本题考查的是线段和差的有关计算及线段中点的有关计算，先得出，再分两种情况：①当点C靠近A点的的三等分点；②当点C靠近E点的的三等分点，分别根据线段的和差计算求出结论即可． 【详解】∵C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动， ∴， ①当点C靠近A点的的三等分点，如图所示： ∵E为中点， ， ， ， ； ②当点C靠近E点的的三等分点，如图所示： ， ∵E为中点， ， ， ， ． 故答案为：或6． 15．棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填______； （2）请用，，表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体中点，面，棱之间的数量关系，数字类的规律探索； （1）根据观察六棱锥的棱数为底面6条棱与侧面6条棱，即可求解． （2）观察表格中的数据可知，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于，据此规律即可求解． 【详解】解：（1）六棱锥的棱数为底面6条棱与侧面6条棱，共有条棱， 故答案为：． （2） …… ∴ 故答案为：． 16．如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为_____． 【答案】 /度 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 三、解答题（共8小题，共52分） 17．（6分）在《几何图形初步》这一章节的学习中，我们探讨了“如何制作长方体纸盒”，课后，小明进一步探究了“如何制作正方体纸盒”． 操作探究 (1)下列________（填字母）图形经过折叠能围成有盖正方体纸盒 A．    B． C．     D． (2)如图1，在长为20cm，宽为8cm的长方形纸板的对角剪去两个相同的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒．请你在图1中画出你剪去的两个小长方形（用阴影表示），并求出制作的正方体纸盒的表面积； 图1 (3)如图2，在长为a，宽为的长方形纸板中剪去三个相同的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，a与b之间存在的数量关系为________； 图2 (4)在（3）的条件下，解关于x的方程． 【答案】(1)B (2) 如图，即为所求； (3) (4) 【分析】（1）根据正方体展开图即可解决问题； （2）根据正方体展开图画出图形即可；进而求出正方体纸盒的表面积； （3）每个小正方形的边长相等，，则a为长方形的长，b为长方形的宽，长是小正方形的边长的4倍，宽是小正方形的边长的3倍，所以长是宽的； （4）结合（3）等量代换后即可解方程． 【详解】（1）解：下列图形经过折叠能围成正方体纸盒的只有B选项符合； 故选B； （2）解：∵， ∴； 答：制作的正方体纸盒的表面积； （3）解：根据题意可知：a是小正方形的边长的4倍，b是小正方形的边长的3倍，所以， （4）解： 【点睛】本题主要考查正方体展开图，正方体表面积，一元一次方程的解法，解决本题的关键是掌握正方体展开图． 18．（6分）已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)邻补角互补；角平分线的定义；； (2)①补全图形，如图所示： ② 【分析】本题考查了邻补角互补；角平分线的定义，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据邻补角互补，可得，根据角平分线的定义，根据角的和差可得． （2）①补全图形即可； ②根据角的和差可得，根据角平分线的定义可得，根据邻补角互补，可得． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵O是直线上的一点， ∴． 19．（4分）如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 20．（4分）已知：，点C是线段的中点，． (1)如图，点D在线段上，求的长； (2)若点D在直线上，且点E是的中点，请直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)1或 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确识别图形． （1）先根据得，即可求出，再根据线段中点的性质和线段的和差计算即可； （2）分两种情况讨论：当点D在线段上时；当点D在点的右侧时；分别根据求出的长，根据线段中点的性质和线段的和差，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：分以下两种情况讨论： 如图，当点D在线段上时， 由（1）知，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，点C是线段的中点， ∴， ∴； 如图，当点D在点的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C是线段的中点，点E是的中点， ∴，， ∴． 综上所述，的长为1或． 21．（5分）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为平分线． 【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． （1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案； （2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 22．（9分）学校召开运动会，请数学课外活动小组在操场一角画铅球比赛场地．小组成员经过查阅，发现铅球国际标准比赛场地如图1所示．为符合中学生实际体育成绩，小组成员缩小了铅球落地区尺寸．经研讨，首先确定投掷方向，在场地的中心线画一条数轴，在靠近起点方向确定原点O，以O为圆心，米为半径画圆与数轴交于点A，如图2： (1)点A表示的数是_______； (2)为确定铅球落地区的边界，小组成员需要在圆上确定两点B，C，使，请计算与的度数是多少？ (3)在投掷圆外要固定白色抵趾板，如图2中阴影部分，投掷成绩及格线从3米开始记录，若某同学的铅球落地点为P，请估计该同学的铅球成绩，直接写出结论． (4)在投掷圆外要设立安全区，经过圆心O画一条直径，使，分别向两端延长直径，使圆外安全区域，请计算线段的长度； (5)若落地区的两条边界线，外，还需要画出宽度为2米的长方形安全区，请在图2中画出图形，并标注尺寸． 【答案】(1) (2) (3)米（米之间的数值均可） (4) (5) 解：如图 【分析】本题考查了圆的相关概念，角平分线的定义.，数轴 （1）直接根据题意作答即可； （2）根据规则可知为中心线，即平分，进而作答即可； （3）由图可知点P在之间，进而作答即可； （4）由圆的概念可知米，进而根据计算即可； （5）在两条边界线，外按要求画长方形即可. 【详解】（1）解：∵原点为O，以O为圆心，米为半径画圆与数轴交于点A， ∴点A表示的数是， 故答案为：； （2）解：为中心线， 平分， ； （3）解：由图可知点P在之间， ∴则该同学的铅球成绩范围在米与米， ∴该同学的铅球成绩可能为7.8米； （4）解：由题意可知： ； （5）略 23．（9分）背景知识：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想已知，点，是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点，点，，分别表示数，，请回答下列问题． 【特例感知】（1）若，，则______，表示的数为______； 【规律探究】（2）如图，利用数轴思考探究，点，之间的距离表示为______，表示的数为______用含，的式子表示； 【答案】（1）3，5；（2） 【分析】本题考查两点间的距离，与线段中点有关的计算，列代数式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）先求出的长，再根据中点的定义，求出的长，然后根据两点间的距离公式求出表示的数即可； （2）同（1）法，列出代数式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴表示的数为； （2）由题意，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴表示的数为． 24．（9分）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 6/23 7/23 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章简单的几何图形·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 3 4 6 7 8 答案 B A D B B C A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 38.4 29 7.8 10 ⑥（或②或③或④）（答案不唯一） 4 11.两点之间，线段最短 12.16 13.53° 12 14.5或6 15 12 V+F-E=2 16.65165度 三、解答题（共8小题，共52分） 17.(6分) 【详解】(1)解：下列图形经过折叠能围成正方体纸盒的只有B选项符合： 故选B: (2)解：如图，即为所求： :20÷5=4cm,8÷2=4cm」 .42×6=96cm2: 答：制作的正方体纸盒的表面积96cm: (3)解：根据题意可知：α是小正方形的边长的4倍，b是小正方形的边长的3倍，所以 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=- 3(2a-5b+2x)-(4-3a-3b)=0 (4)解： 32x-+2x（4-3x-6=0 8b-15b+6x-4+7b=0 6x=4 18.(6分) 【详解】(1)邻补角互补：角平分线的定义；60°；40° (2)解：①①补全图形，如图所示： E 图2 ②.∠COD=100°，∠DOE=, .∠C0E=∠C0D-∠D0E=100°-&， ,OE平分∠BOC, .2∠C0E=∠B0C=200°-2a, ,O是直线AB上的一点， ∠A0C=180°-∠B0C=180°-(200°-2a）=2a-20° 19.(4分) 【详解】(1)解：如图，CD即为所求； 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B “D (2)解：如图，CE即为所求： B C A (3)解：CD⊥OB, ..CD<OD CE⊥OA, .CE<CD, .CE<CD<OD 得此结论的依据是垂线段最短， 20.(4分) 【详解】(1)解：：AD=5BD, .AB=AD+BD=6BD. AB=12, .6BD=12, BD=2, ,点C是线段AB的中点， .CD=BC-BD=6-2=4: (2)解：分以下两种情况讨论： 如图，当点D在线段AB上时， EC D B 由(1)知AD=5BD,BD=2, .AD=10, 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点E是AD的中点， :AE=)4D=5 2 ,AB=12,点C是线段AB的中点， 4C=4B=6, .CE=AC-AE=6-5=1: 如图，当点D在点B的右侧时， 。 A CE B D AD=5BD .AB=AD-BD=4BD, ,AB=12, .4BD=12, .BD=3, .AD=5BD=15, ,点C是线段AB的中点，点E是AD的中点， :4C=B-6,4E-0- 21 2 .CE=AE-AC=3 2· 3 综上所述，CE的长为1或2： 21.(5分) 【详解】(1)解：OE⊥CD, ∴.∠D0E=∠COE=90°， 即∠DOB+∠EOB=90°， :∠DOB=∠EOB+10°， ∠E0B=40°， .OE平分∠BOF, .∠EOF=∠BOE=40°， .∠C0F=90°-∠E0F=50°： 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：，OE平分∠BOF, ∴.∠EOF=LBOE, ,OE⊥CD. ∴.∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°， .∠BOD=∠COF, ,∠BOD=∠AOC, .∠AOC=∠COF, .OC为∠AOF平分线： 22.(9分) 【详解】(1)解：：原点为O,以0为圆心，1.0675米为半径画圆与数轴交于点A, ∴.点A表示的数是1.0675， 故答案为：1.0675： (2)解：OA为中心线， ∴.OA平分∠BOC, ∠BOA=∠AOC=)∠BOC=1 2×34.92=17.46° (3)解：由图可知点P在8.5-9之间， 则该同学的铅球成绩范围在8.5-1.0675≈7.4米与9-1.0675≈7.9米， .该同学的铅球成绩可能为7.8米；(7.4-7.9米之间的数值均可) (4)解：由题意可知： MN=0D+0E+DM+EN=1.0675+1.0675+0.75+0.75=3.635m: (5)解：如图 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2m G M P 3 4 6 78910112 2m 23.((9分) 【详解】解：(1)a=2,b=8, .AB=8-2=6, ,点M是线段AB的中点， ,AM=BM=3」 .x表示的数为2+3=5： (2)由题意，AB=b-a, ,点M是线段AB的中点， .AM =BM =4, b-a a+b ∴.x表示的数为a+ 22· 24.(9分) 【详解】(1)解：.∠AOC=40°， .∠B0C=180°-∠A0C=180°-40°=140°， :OE平分∠BOC, ∠C0E=)∠B0C=5x140=70 2 .∠C0D=90°， ∴.∠D0E=∠C0D-∠C0E=90°-70°=20°， .∠DOE的度数为20°： (2)解：，OE平分∠BOC,OF平分∠BOD, 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BOE=)∠BOC,∠BOF=)∠BOD, A∠B0F=∠B0E-∠B0F-(∠B0C-∠B0D)=C0D, :∠COD=90° ∠E0F-C00-2x0=45, 2 ∠E0F的度数为45°： (3)解：①当0≤1≤6时，由题意得：∠40C=36°-61， ∠B0C=180°-∠A0C=180°-(36°-6t)=144°+61 OE平分∠BOC, 2C0E=80c=×04+6)=72+37. ∠D0E=∠C0D-∠C0E=90°-(72°+6t)=18°-31 .∠AOC=2∠D0E: ②当6<1<36时，如图， D B 由题意得：∠A0C=61-36°， ∠B0C=180°-∠A0C=180°-(6°t-36)=216°-6t :OE平分∠B0C, :∠c0E=∠B0C=x(216-6)）=108-39. ∠DOE=∠COD+∠COE=90°+(108°-3t)=198°-3t .∠AOC+2∠DOE =6t-36°+2(198°-3t) 7/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =6t-36°+396°-6t =360° .∠A0C+2∠D0E=360°： ∠A0C=2∠D0E(0≤t≤6)∠AOC+2∠D0E=360°(6<t<36) 综上所述， 8/7