第2章 2.2.2 直线的两点式方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学直线的两点式方程与截距式方程核心知识点，从两点确定直线出发，通过点斜式推导两点式方程（强调x1≠x2,y1≠y2的适用条件），再由与坐标轴交点的特殊两点引出截距式方程（明确截距定义及非零要求），构建从一般到特殊的知识支架。 资料以斜拉桥实例导入培养数学眼光，推导过程注重逻辑推理（如两点式由点斜式导出），例题分类讨论（如截距为0与不为0）发展数学思维，实际应用（如三角形中线、面积最值）强化数学语言表达。课中例题分层辅助教学，课后课时对点练助力学生查漏补缺。

2.2.2　直线的两点式方程 学习目标　1.掌握直线两点式方程的形式、特点及适用范围.(重点)2.了解直线截距式方程的形式、特点及适用范围. 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，塔柱所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉缆索可看成过塔柱上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？本节课我们就来学习一下. 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由点斜式方程，得 y-y1=(x-x1)， 即=(x1≠x2，y1≠y2). 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 =，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 例1　(课本例3)　如图，已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程. 解　将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得=即+=1. 例1　(课本例4)　已知△ABC的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程. 解　如图，过B(3，-3)，C(0，2)的直线的两点式方程为= 整理得5x+3y-6=0. 这就是边BC所在直线的方程. 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为即. 过A(-5，0)，M两点的直线方程为= 整理可得x+13y+5=0. 这就是边BC上中线AM所在直线的方程. 例1　已知A(-3，2)，B(5，-4)，C(0，-2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解　(1)BC边过两点B(5，-4)，C(0，-2)， 由两点式，得=， 即2x+5y+10=0， 故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a==，b==-3， 所以M， 又BC边的中线过点A(-3，2)， 所以=， 即10x+11y+8=0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为 10x+11y+8=0. 反思感悟　求经过两点的直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 跟踪训练1　已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)， 因此该直线斜率不可能为零， 但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在，即m=1时， 直线方程为x=1； (2)当直线斜率存在， 即m≠1时，利用两点式， 可得直线方程为=， 即x-(m-1)y-1=0. 综上可得，当m=1时， 直线方程为x=1； 当m≠1时， 直线方程为x-(m-1)y-1=0. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式方程，得 =，即+=1. 知识梳理 我们把方程+=1叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距都存在且不为0，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 例2　求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为+=1. 又l过点(3，4)，所以+=1，解得a=-1. 所以直线l的方程为+=1， 即x-y+1=0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点，设直线l的方程为y=kx，因为l过点(3，4)，所以4=k·3，解得k=， 直线l的方程为y=x， 即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当截距不为0时， 设直线l的方程为+=1， 又l过点(3，4)，所以+=1，解得a=7， 所以直线l的方程为x+y-7=0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y=kx， 又l过点(3，4)，所以4=k·3，解得k=， 所以直线l的方程为y=x，即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 反思感悟　应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法求解即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 三、截距式方程的应用 例3　过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 解　(1)设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为+=1， 即2x+3y-12=0. (2)由题意，设直线的截距式方程为 +=1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥24， 当且仅当=，即a=6，b=4时，等号成立， ∴△AOB的面积S=ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为+=1，即直线l的方程为2x+3y-12=0. 反思感悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 跟踪训练2　已知直线l经过点(1，6)和点(8，-8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 解　(1)因为直线l的两点式方程为 =，即2x+y=8. 所以+=1. 故所求截距式方程为+=1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB， 且OA⊥OB，|OA|=4，|OB|=8， 故S△AOB=|OA|·|OB| =×4×8=16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 答案　B 解析　∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是=. 2.在x轴、y轴上的截距分别是-3，4的直线方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 答案　A 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　　　　.  答案　2x-y=0或x-y+1=0 解析　当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x-y=0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为-=1， 将x=1，y=2代入方程可得a=-1， 得直线方程为x-y+1=0. ∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 4.已知点A(3，2)，B(-1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　　　　　.  答案　2x-y+1=0 解析　线段AB的中点坐标为(1，3)， 由直线的两点式方程可得=， 即2x-y+1=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(　　) A.= B.= C.(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) D.= 答案　C 解析　当x1≠x2，y1≠y2时，由两点式可得直线方程为=， 化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)， 对于x1=x2或y1=y2时上述方程也成立， 因此直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1). 2.已知直线l经过点(-3，-2)，(1，2)，则下列不在直线l上的点是(　　) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(2，1) 答案　D 解析　由直线的两点式方程，得直线l的方程为=，即x-y+1=0， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)都在直线l上，点(2，1)不在直线l上. 3.若直线+=1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)， 再由两点式可得直线MN的方程为=， 即2x+y-8=0. 5.一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-5=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 答案　D 解析　P(6，4)关于x轴的对称点P'(6，-4)， 光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，则反射光线经过点P'，Q， 由两点式方程可知，所求直线方程为=，化简得x+y-2=0. 6.(多选)已知直线过点(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为(　　) A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y=0 D.2x-y-5=0 答案　BC 解析　当截距为0时，设直线的方程为y=kx， 因为直线过点(2，1)，所以1=2k， 即k=，则直线的方程为y=x，即x-2y=0； 当截距不为0时，设直线的方程为+=1， 因为直线过点(2，1)，所以+=1，则a=2， 所以直线的方程为+=1，即x+2y-4=0. 综上，直线的方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 7.(5分)已知点P(x，2)在过M(-2，1)和N(3，-4)两点的直线上，则x的值是　　　　.  答案　-3 解析　过M，N两点的直线的方程为 =， 又P(x，2)在此直线上， 所以当y=2时，x=-3. 8.(5分)若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的方程为　　　　　　.  答案　x+3y+2=0 解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)， 则有 解得a=-5，b=-3， 即P(-5，1)，Q(7，-3). 由两点式可得=， 化简得直线l的方程为x+3y+2=0. 9.(10分)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的方程表示. (1)求直线AB的方程；(5分) (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？(5分) 解　(1)由题图知点A(60，6)，B(80，10)， 则直线AB的方程为=， 即x-5y-30=0. (2)依题意，令y=0，解得x=30， 即旅客最多可免费携带30千克的行李. 10.(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(-2，6)，C(-8，0). (1)求边AC和AB所在直线的方程；(4分) (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.(6分) 解　(1)由截距式， 得边AC所在直线的方程为+=1， 即x-2y+8=0. 由两点式， 得边AB所在直线的方程为=， 即x+y-4=0. (2)由题意，得点D的坐标为(-4，2)， 由两点式，得边BD所在直线的方程为 =， 即2x-y+10=0. ∴+=1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积 S=×5×10=25. 11.直线-=1与-=1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线-=1的斜率为， 直线-=1的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角， 且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意. 12.(多选)已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，纵截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 答案　AC 解析　由题图可知，k1<-1<k2<0，b2<0<b1. 13.(5分)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为　　　　　　　　.  答案　3x-4y+20=0 解析　依题意知，a=2，P(0，5). 设A(x0，2x0)，B(-2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 解得 所以A(4，8)，B(-4，2)， 由直线的两点式方程， 得直线AB的方程是=， 即3x-4y+20=0. 14.(5分)已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　.  答案　3 解析　直线AB的方程为+=1， 则x=3-y， ∴xy=3y-y2=(-y2+4y) =[-(y-2)2+4]≤3. 即当点P的坐标为时， xy取得最大值3. 15.已知C(-1，0)，直线l的斜率小于0，且l经过点A(4，8).直线l与坐标轴交于M，N两点，则△CMN的面积的最小值为(　　) A.16 B.36-4 C.36+16 D.36(1+) 答案　C 解析　设直线l的方程为+=1，因为直线过点A(4，8)，且直线l的斜率小于0， 所以+=1⇒8a+4b=ab，且a>4，b>8. 所以S△CMN=(a+1)b=ab+b=(8a+4b)+b=(8a+5b)=(8a+5b) =(8a+5b)=36++ ≥36+16， 当且仅当=， 即a=4+2，b=8+时取等号， 故△CMN的面积的最小值为36+16. 16.(13分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. 解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， 则直线方程为+=1，即x+y-a=0. ∵|a|·|a|=18，即a2=36， ∴a=±6，∴直线l的方程为x+y±6=0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数， 不妨设在x轴上的截距为a， 则在y轴上的截距为-a(a≠0)， 故直线方程为+=1， 即x-y-a=0. ∵|-a|·|a|=18，即a2=36， ∴a=±6，∴直线的方程为x-y±6=0. 综上所述， 直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 学科网（北京）股份有限公司 $