15.1.2线段的垂直平分线讲义-2025-2026学年人教版（2024） 八年级数学上册

第十五章 轴对称 第二节 线段的垂直平分线 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1线段垂直平分线的性质 2 知识点2线段垂直平分线的判定 2 知识点3互逆命题与互逆定理 3 题型精讲1线段垂直平分线的性质 5 题型精讲2线段垂直平分线的判定 6 题型精讲3写出命题的逆命题 7 题型精讲4判断是否为互逆命题 7 题型精讲5互逆定理 8 题型精讲6作已知线段的垂直平分线 9 题型精讲7作垂线（尺规作图） 11 题型精讲8画对称轴 12 题型精讲9求对称轴条数 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解线段垂直平分线（中垂线）的定义；掌握其性质定理（线上点到线段两端距离相等）与判定定理（到线段两端距离相等的点在线上），能进行三种语言转化；会用尺规作线段的垂直平分线，明确作图原理。 2. 过程与方法：通过尺规作图、折叠验证、推理论证，经历“猜想—证明—归纳”的探究过程，深化全等三角形的应用，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用定理解决线段相等证明、路径最短等问题，会确定三角形外心等模型，契合中考对几何基础推理与实际应用的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】线段垂直平分线的性质 1.定义：经过 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 . 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 . 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB. 3.尺规作线段的垂直平分线： （1）以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； （2）作为直线CD，CD为所求直线.CBD 边学边练1．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【知识点2】线段垂直平分线的判定 1.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.条件：点到线段两个端点距离相等.结论：这个点在线段的垂直平分线上. 2.几何语言：如图15.1-20,AB=AC,B图 15.1-20∴点A在线段BC的垂直平分线上 .3.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 边学边练如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为，则的周长等于 ． 【知识点3】互逆命题与互逆定理 边学边练写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ． 题型精讲 题型精讲1线段垂直平分线的性质 【例题1】如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【变式训练2】如图，求作所有点C，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【变式训练3】阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 题型精讲2线段垂直平分线的判定 【例题1】如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【变式训练1】如图，．直线是线段的垂直平分线吗？为什么？ 【变式训练2】如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【变式训练3】如图，在中，，平分，于点E，求证：直线是的垂直平分线． 题型精讲3写出命题的逆命题 【例题1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【变式训练2】下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式训练3】下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．邻补角互补 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 题型精讲4判断是否为互逆命题 【例题1】下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型精讲5互逆定理 【例题1】下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【变式训练1】下列定理有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式训练2】下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式训练3】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型精讲6作已知线段的垂直平分线 【例题1】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为9，，则的周长为（   ） A．7 B．16 C．17 D．22 【变式训练3】如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于 ． 题型精讲7作垂线（尺规作图） 【例题1】如图，已知直线，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接、，使得四边形是矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练1】只用无刻度的直尺就能作出的图形是（   ） A．延长线段至C，使 B．过直线L上一点A作L的垂线 C．作已知角的平分线 D．从点O再经过点P作射线 【变式训练2】如图，在中，为边上的一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练3】如图，已知．在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线，并交于点O(保留作图痕迹，不写作法)． 题型精讲8画对称轴 【例题1】画出下列图形的对称轴 【变式训练1】下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴． 【变式训练2】指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 【变式训练3】如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 题型精讲9求对称轴条数 【例题1】长方形和正方形都有4条对称轴．( ) 【变式训练1】如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【变式训练2】指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【变式训练3】下列图形只有两条对称轴的是（    ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆 【拓展培优】 【典例1】如图，已知线段a、b． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）：作，使得，，； (2)在（1）中的内部求作点P，使得P到的两边的距离相等，且； (3)在（2）的条件下，点P到的一边的距离为 （用含a、b的代数式表示）． 【变式训练1】（学与练A第14页第8题）如图，请按照要求完成以下尺规作图． (1)在的内部画出一条射线，使得． (2)在射线上找出一点P，使得． 【变式训练2】某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动（如图），现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置．（尺规作图，保留作图痕迹） 【变式训练3】作图题 (1)如图1，在直线一侧有C、D两点，在上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． (2)如图2，在内部有一点P，是否在上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． (3)如图3，在内部找一点P，使其到两边距离相等，并且使得 【典例2】如图，在中，AI平分，BI平分，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若，则的大小为 （用含α的代数式表示）． 【变式训练1】如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：点在的平分线上． 【变式训练2】已知△ABC是三边都不相等的三角形，点P是这个三角形三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，且，则 ， ． 【变式训练3】在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作．交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度________． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 【典例3】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为 ． 【变式训练1】如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是 ．（请填写序号） 【变式训练2】四边形的对角线和交于E，，，，，则的长是 ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（24-25七年级下·河北承德·期末）在学习三角形一章时，老师这样说：“学习一个几何图形我们最先研究它的基本元素，如边和角，然后要研究一些隐含的线段，这些隐含的线段在哪里呢？我们可以用运动的观点去寻找，比如图中，点是边上一个动点，与点连接构成线段，当点从点移动到点的过程中，你会发现在某一时刻会与三角形的边和角存在特殊的关系，这个时候我们就得到了这些隐含的线段”通过老师的这段话，你认为线段不可能是（    ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．边的垂直平分线 3．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25七年级下·河南开封·期末）在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 7．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 10．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 11．（24-25七年级下·山西·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 12．（24-25七年级下·广东·期末）如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 14．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线（其中点在边上，只保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)若，且中线恰好将的周长分成16和11的两部分，求边的长． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，.点是边的中点，点在边上（不与点、重合），作直线，与关于直线对称，点的对应点为点. (1)用圆规和无刻度直尺作出；（保留作图痕迹） (2)当时，的大小为_____度； (3)当且点在下方时，求的度数； (4)当时，直接写出的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 第二节 线段的垂直平分线 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1线段垂直平分线的性质 2 知识点2线段垂直平分线的判定 2 知识点3互逆命题与互逆定理 3 题型精讲1线段垂直平分线的性质 5 题型精讲2线段垂直平分线的判定 6 题型精讲3写出命题的逆命题 7 题型精讲4判断是否为互逆命题 7 题型精讲5互逆定理 8 题型精讲6作已知线段的垂直平分线 9 题型精讲7作垂线（尺规作图） 11 题型精讲8画对称轴 12 题型精讲9求对称轴条数 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解线段垂直平分线（中垂线）的定义；掌握其性质定理（线上点到线段两端距离相等）与判定定理（到线段两端距离相等的点在线上），能进行三种语言转化；会用尺规作线段的垂直平分线，明确作图原理。 2. 过程与方法：通过尺规作图、折叠验证、推理论证，经历“猜想—证明—归纳”的探究过程，深化全等三角形的应用，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用定理解决线段相等证明、路径最短等问题，会确定三角形外心等模型，契合中考对几何基础推理与实际应用的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】线段垂直平分线的性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB. 3.尺规作线段的垂直平分线： （1）以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； （2）作为直线CD，CD为所求直线.CBD 边学边练1．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 【知识点2】线段垂直平分线的判定 1.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.条件：点到线段两个端点距离相等.结论：这个点在线段的垂直平分线上. 2.几何语言：如图15.1-20,AB=AC,B图 15.1-20∴点A在线段BC的垂直平分线上 .3.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 边学边练如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为，则的周长等于 ． 【答案】 解：根据题意由垂直平分线性质，得且 周长为 15，故，即； ∵AD=CD ∴△ABD 的周长为 故答案为． 【知识点3】互逆命题与互逆定理 边学边练写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ． 解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是：“同位角相等，两直线平行”； 故答案为：“同位角相等，两直线平行”． 题型精讲 题型精讲1线段垂直平分线的性质 【例题1】如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：垂直平分， ，， 垂直平分， ，， ， 四边形的周长为. 故选：C． 【变式训练1】如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 【变式训练2】如图，求作所有点C，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见详解 解：如图所示： 【变式训练3】阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 （1）解：是边上的中线， ． 在和中， ， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ，即， ． 故答案为：． （2）证明：如图，延长至点M，使，连接， 同（1）得， ∴． ∵， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ​​​​​​​∴． 题型精讲2线段垂直平分线的判定 【例题1】如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 【变式训练1】如图，．直线是线段的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】是，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 【变式训练2】如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 【变式训练3】如图，在中，，平分，于点E，求证：直线是的垂直平分线． 证明：． 又平分， ． ， 在和中， ， ， ， 平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 题型精讲3写出命题的逆命题 【例题1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 【变式训练1】命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：假． 【变式训练2】下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 解：A.该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，该逆命题是假命题，不符合题意； B. 该选项逆命题为：“如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等”，该逆命题是假命题，不符合题意； C. 该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； D. 该选项逆命题为：“如果同位角相等，那么两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．邻补角互补 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 【答案】C 解：A选项的逆命题：互补的角是邻补角．是假命题，如平行线中的同旁内角互补但不相邻，故此选项不符合题意； B选项的逆命题：若，则．是假命题，如，但，故此选项不符合题意； C选项的逆命题：对应边相等的三角形全等．是真命题，故此选项符合题意； D选项的逆命题：若，则．是假命题，如时，，但，故此选项不符合题意． 故选：C ． 题型精讲4判断是否为互逆命题 【例题1】下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型精讲5互逆定理 【例题1】下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】下列定理有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个三角形对应角相等，那么这两个三角形全等，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 【变式训练3】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 题型精讲6作已知线段的垂直平分线 【例题1】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 【变式训练1】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 解：如图所示，点P即为所求作的点． 【变式训练2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为9，，则的周长为（   ） A．7 B．16 C．17 D．22 【答案】B 解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为16， 故选：B． 【变式训练3】如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于 ． 【答案】7 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长为． 故答案为：7． 题型精讲7作垂线（尺规作图） 【例题1】如图，已知直线，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接、，使得四边形是矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 解：以点A为圆心，任意长为半径画弧，与直线b交于点M与点N， 再分别以点M与点N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P， 连接交直线b于点B， 以点C为圆心，长为半径画弧，交直线a于点D， 即四边形是矩形，如图， 【变式训练1】只用无刻度的直尺就能作出的图形是（   ） A．延长线段至C，使 B．过直线L上一点A作L的垂线 C．作已知角的平分线 D．从点O再经过点P作射线 【答案】D 解：A选项，没有刻度的直尺能延长线段，但不能画； B选项，作垂线还需要圆规； C选项，作角平分线还需要圆规； D选项，只用无刻度的直尺可以作射线． 故选：D． 【变式训练2】如图，在中，为边上的一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 解：如图所示，点M即为所求． 【变式训练3】如图，已知．在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线，并交于点O(保留作图痕迹，不写作法)． 【答案】见解析 解：已知要作的平分线，步骤如下： 以B为圆心，任意长为半径画圆弧，与和分别交于点D和E， 再分别以点D、E为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点F， 连接，即为的平分线； 已知要作边的垂直平分线，步骤如下： 分别以B、C为圆心，大于为半径画圆弧，两条弧在两边分别交于P、Q， 连接，即直线是边的垂直平分线，直线与的交点O即为所求． 题型精讲8画对称轴 【例题1】画出下列图形的对称轴 【答案】图象见解析 解：如图： 【变式训练1】下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称图形，对称轴，解题的关键是识别轴对称图形，会画对称轴． 根据轴对称图形的定义和性质求解即可． 【详解】解：如图，不是轴对称图形， 是轴对称图形，对称轴如下： 【变式训练2】指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下： ． 【变式训练3】如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 【答案】(1)见解答 (2)见解答 （1）解：如图，作线段的垂直平分线m， 则直线m即为所求． （2）如图，先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n， 则直线n即为所求． 题型精讲9求对称轴条数 【例题1】长方形和正方形都有4条对称轴．( ) 【答案】× 解：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴， 所以原题说法错误， 故答案为：×． 【变式训练1】如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4/四 解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 【变式训练2】指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【答案】对称轴分别有：2条，1条，1条；图见详解． 图（1）对称轴2条， 作图如下： ； 图（2）对称轴1条， 作图如下： ； 图（3）对称轴1条， 作图如下： ． 【变式训练3】下列图形只有两条对称轴的是（    ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆 【答案】C 解：A.平行四边形不是轴对称图形； B.等边三角形有三条对称轴； C.矩形有两条对称轴； D.圆有无数条对称轴； 故选：C． 【拓展培优】 【典例1】如图，已知线段a、b． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）：作，使得，，； (2)在（1）中的内部求作点P，使得P到的两边的距离相等，且； (3)在（2）的条件下，点P到的一边的距离为 （用含a、b的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) （1）解：如图，任意作射线，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，再作于点C，最后以点C为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线于点B，连接，则即为所求． （2）解：作线段的垂直平分线和的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求，如下图， （3）解：过点P作于点D，于点E， 可得． 由(2)得，为的平分线，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P到的一边的距离为h， 则， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的一边的距离为． 故答案为：． 【变式训练1】（学与练A第14页第8题）如图，请按照要求完成以下尺规作图． (1)在的内部画出一条射线，使得． (2)在射线上找出一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 （1）解：如图：射线即为所求． （2）解：如图：点P即为所求． 【变式训练2】某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动（如图），现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 解：如图所示， 【变式训练3】作图题 (1)如图1，在直线一侧有C、D两点，在上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． (2)如图2，在内部有一点P，是否在上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． (3)如图3，在内部找一点P，使其到两边距离相等，并且使得 【答案】(1)作图，理由见解析 (2)作图，理由见解析 (3)作图见解析 （1）解：如图所示， ∵点C关于直线的对称点是点， ∴， 根据两点之间线段最短可得当点共线时，最短， 此时的周长最小； （2）解：如图所示， ∵点P关于直线的对称点是点C，点P关于直线的对称点是点D， ∴， 根据两点之间线段最短可得当点共线时，最短， 此时的周长最小； （3）解：如图所示，作的平分线，再作的垂直平分线，两线交于点P，点P即为所求作. 理由：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【典例2】如图，在中，AI平分，BI平分，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若，则的大小为 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出. 【详解】解：连接并延长至D， ∵点O是的垂直平分线的交点， ， ， ∵是的一个外角， ， 同理，， ， ， ， 平分，平分， ， ， . 故选：B． 【变式训练1】如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段的关系和直角，证明，得出，然后利用角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【变式训练2】已知△ABC是三边都不相等的三角形，点P是这个三角形三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，且，则 ， ． 【答案】 /70度 /140度 【分析】本题考查了三角形角平分线和垂直平分线的性质，解题的关键是利用角平分线性质得出角的关系，以及利用垂直平分线性质和圆周角定理求解角度． 连接，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，，进而得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是三个内角平分线的交点， ． 在中，，已知，则． ． 在中，， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， 故答案为：，． 【变式训练3】在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作．交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度________． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)3或6或9或18 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：3或6或9或18． 【典例3】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式训练1】如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是 ．（请填写序号） 【答案】①②③④⑤ 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】①利用角平分线的性质定理进行证明即可； ②利用三角形的三边关系进行求解即可； ③证明，得出，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可； ④利用三角形的面积公式进行化简即可； ⑤证明，得出，利用等量代换和线段的和差进行证明即可． 【详解】解：①∵平分于点于点， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴, 故②正确，符合题意； ③∵于点于点， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， 即， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的选项为①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【变式训练2】四边形的对角线和交于E，，，，，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】作于H，于G， 在上取点F，使，连接，设，先根据三角形的内角和定理和外角性质求得，进而，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定与性质得到，，，则，，进而利用可求解． 【详解】解：作于H，于G， 在上取点F，使，连接，则， ∵， ∴设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北承德·期末）在学习三角形一章时，老师这样说：“学习一个几何图形我们最先研究它的基本元素，如边和角，然后要研究一些隐含的线段，这些隐含的线段在哪里呢？我们可以用运动的观点去寻找，比如图中，点是边上一个动点，与点连接构成线段，当点从点移动到点的过程中，你会发现在某一时刻会与三角形的边和角存在特殊的关系，这个时候我们就得到了这些隐含的线段”通过老师的这段话，你认为线段不可能是（    ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【知识点】画三角形的高、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线、三角形的角平分线、中线和高，熟记相关的概念是解题的关键．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、线段垂直平分线的概念判断． 【详解】解：当时，线段是高线； 当时，线段是中线； 当时，线段是角平分线； ∵线段垂直平分线是直线， ∴线段不可能是垂直平分线； 故选：D． 3．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 4．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南开封·期末）在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键是根据痕迹识别图形的性质 由图知，平分，垂直平分，运用角平分线的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由图知，平分，垂直平分， ，，， 在中，， ， ， 所以选项A、C、D正确，不符合题意， 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 7．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙构造辅助线． 利用角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示，过点作，交于于点， 平分，， ， 又∵， ∴， 同理，，， 综上，， ∴， 平分， ∵，，，， ∴， ∴， ∴周长为:， 故①正确，符合题意； ②由和得， ， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，连接， 由和得， 垂直平分线段，而非垂直平分线段， 故③错误，不符合题意； ④由和得， 的面积为与的面积和， 故④正确，符合题意； ⑤如图，在上靠近点侧，截取，交于点， ， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 又 ∴， ∵和， ， ∴， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，①②④⑤正确，符合题意， 故选：B． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 10．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山西·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 12．（24-25七年级下·广东·期末）如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系的应用，先证明，结合周长的最小值是17，，可得的最小值为：，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， 垂直平分线段， ， ∵周长的最小值是17，， ∴的最小值为：， 此时， ∴. 故答案为： 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 14．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，两条公路，途经，两个村庄，为了振兴乡村经济，有关部门规划利用内部的空地建一个养殖基地，基地需要满足到村庄，距离相等，并且到公路，距离也相等，请你用尺规作图的方法确定出养殖基地的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作平分，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 15．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线（其中点在边上，只保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)若，且中线恰好将的周长分成16和11的两部分，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】根据三角形中线求长度、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图基本作图，尺规作中垂线，三角形中线的概念，掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点D，连接，即为所求； （2）根据题意得到，然后由中点得到，得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）又点为边中点， ， ，中线恰好将的周长分成16和11的两部分， 得，， ， ， ， ． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，.点是边的中点，点在边上（不与点、重合），作直线，与关于直线对称，点的对应点为点. (1)用圆规和无刻度直尺作出；（保留作图痕迹） (2)当时，的大小为_____度； (3)当且点在下方时，求的度数； (4)当时，直接写出的度数. 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图)、折叠问题 【分析】本题考查了作垂线，轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质． （1）过点作的垂线，以点为圆心，为半径画弧，交垂线于点，连接，则即为所求； （2）由三角形的内角和定理求出，进而由翻折可求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （3）当时，，从而由折叠可得，由三角形的内角和定理与翻折求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （4）分两种情况讨论，向下翻折或向下翻折，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∵ ∴． 故答案为： （3）解：如图，当且点在下方时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴． ①如图，若向下翻折时， 当时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴； ②如图，若向上翻折时， 当时，， ∴， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴； 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $