15.1.2 线段的垂直平分线 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦“线段的垂直平分线”核心知识点，系统梳理定义（过线段中点且垂直的直线）、性质定理（线上点到两端距离相等）、判定定理（到两端距离相等的点在线上）及其互逆关系，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于理论与实践结合，通过抢凳子游戏等生活化题目培养数学眼光，几何语言表述与证明思路训练推理能力（数学思维），题型多样的巩固练习助于学生规范表达（数学语言）。课中便于教师引导教学，课后学生可通过练习回顾强化，弥补知识盲点。

第15章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 （讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解线段的垂直平分线的概念 2. 掌握线段的垂直平分线的性质定理及其应用 3. 掌握线段的垂直平分线的判定定理及其应用 知识点梳理 一、线段的垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 二、线段的垂直平分线的性质定理 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言表述： 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则PA=PB。 证明思路：通过证明两个直角三角形全等，可以得到对应边相等。 三、线段的垂直平分线的判定定理 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言表述： 如果点P满足PA=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上。 证明思路：过点P作线段AB的垂线，垂足为点M，通过证明两个直角三角形全等，得到AM=BM，从而证明点P在AB的垂直平分线上。 四、线段的垂直平分线的性质与判定的关系 性质定理和判定定理是互逆定理，性质定理是由线定距离相等，判定定理是由距离相等定线。 知识点总结 1. 线段的垂直平分线是指经过线段中点且垂直于该线段的直线。 2. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3. 到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。 4. 性质定理和判定定理是互逆的，可以相互转化使用。 5. 应用性质定理和判定定理可以解决与线段相等相关的几何问题。 6. 在解决实际问题时，要注意区分性质定理和判定定理的条件和结论，正确运用。 巩固练习 一、选择题 1．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形 2．有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 3．下列轴对称图形中，对称轴条数只有1条的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果，那么 B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．相等的角是内错角 6．风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史.如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 8．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是 A．MN是线段AB的中垂线 B． C． D． 二、填空题 10．命题“如果，那么．”的逆命题为　 　． 11． 如图，在△ABC中，∠B=35°，∠DAE=25°.通过尺规作图的痕迹，可得∠C= 　 　度. 12．在 中，边 、 的垂直平分线分别交边 于点 、点 ， ，则 　 　°. 13．下列命题中，逆命题是真命题的是　 　（只填写序号）。 ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； ②等腰三角形两腰的高线相等； ③若三条线段a，b，c是三角形的三边，则这三条线段满足a+b>c ④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ⑤全等三角形的面积相等； 14．如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交BC的延长线于点F．下列结论：①；②；③；④若，，则．其中一定成立的是　 　（填序号）． 15．如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是　 　.（填序号） ①；②；③若，则；④. 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是　 　（填序号）． 17．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则　 　． 三、解答题 18．如图所示的每个图形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 19．如图， 在△ABC中， 已知AB=3， AC=5， 完成以下问题： （1）利用尺规作图，作出△ABC的中线AM；(不写作法，保留作图痕迹). （2） 过点M与BC 垂直的直线 MD交AC于点 D，求△ABD的周长. 20．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题. （1）若则a>b. （2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （3）若ab=0，则a=0. 21．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB=DC，∠BDC=120°，点E，F分别在AB，AC上． （1）求证：AD是BC的垂直平分线． （2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC． （3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数． 22．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 参考答案 1．C 2．C 3．A 4．A 5．A 6．C 7．A 8．D 9．D 10．如果，那么 11．40 12．80或100 13．①②④ 14．①②④ 15．②③④ 16．①②④ 17． 18．【解答】解： （1）是轴对称图形，对称轴为两条中线（水平和垂直方向）； （2）是轴对称图形，对称轴为围成三角形的底边高线； （3）是轴对称图形，对称轴为垂直方向的中线； （4）不是轴对称图形； （5）是轴对称图形，对称轴为两条中线和两条对角线. 19．（1）解：作BC的垂直平分线，交BC于点M，连接AM， AM即为所求。 （2）解：△ABD 周长 = AB + AD + BD = AB + (AD + DC) = AB + AC = 3 + 5 = 8。 20．（1）解：若a>b，则逆命题是假命题 （2）解：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．逆命题是真命题． （3）解：若a=0，则ab=0．逆命题是真命题 21．（1）解： 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，又∵BD=CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线. （2）解： 证明：过点D作DM⊥EF，连结AD，如图：∵AD是BC的垂直平分线，AB=AC，∴AD平分∠BAC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠DCB=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即DB⊥AB，DC⊥AC，∵MD⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，∴BD=DM，又∵BD=CD，∴CD=DM，∴FD平分∠EFC， （3）解： 解：由（2）知：DE平分∠BEF，DF平分∠EFC，BD=DM=CD，∴△BDF≌△MDF，∴∠BDC=∠EDM，∠MDF=∠FDC，又∵∠BDC=120°，即∠BDE+∠EDM+∠MDF+∠FDC=120°，∴2∠EDM+2∠MDF=120°，2（∠EDM+∠MDF）=120°，∴∠EDM+∠MDF=60°，即∠EDF=60°. 22．（1）解：；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $