拓展07 概率相关题型压轴（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦概率压轴题型，系统梳理古典概型（列表法、树状图，区分放回与不放回）、几何概率（长度、面积度量）、频率估计概率等核心知识点，构建从基础方法到综合应用（结合统计、方程）的学习支架。 资料以游戏公平性、转盘问题等生活情境为载体，通过典例与变式训练，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理计算、用数学语言规范答题。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升概率综合解题能力。

拓展07 概率相关题型压轴 1. 能够熟练运用列表法、树状图求解复杂事件概率，准确区分放回与不放回模型。 2.会结合频率估计概率，理解频率与概率的联系和区别，处理试验类压轴情境。 3.读懂压轴题的实际背景，把现实条件转化为概率模型，规避审题不清带来的错误。 4.综合结合统计、方程知识解决概率综合题型，规范答题步骤，完整书写解题过程。 1. 游戏的公平性： 模型定义 通过计算游戏双方获胜的概率，判断游戏规则对双方是否均等的概率应用题型。核心判定标准为双方获胜概率是否相等，常结合“修改规则使游戏公平”的设问综合考察。 核心结论与方法 公平判定标准 游戏双方获胜的概率相等 → 游戏公平； 游戏双方获胜的概率不等 → 游戏不公平，概率更大的一方更有利。 常见不公平原因 双方获胜对应的结果数量不对等； 得分规则与获胜概率不匹配（如低概率事件得分反而更低）。 修改规则的通用思路 调整获胜条件，使双方获胜的概率相等； 调整得分权重，让双方的平均得分（期望）相等，概率小的获胜对应更高得分。 解题步骤 用列表法或树状图法列出所有等可能的结果； 分别统计双方获胜的结果数，计算各自获胜的概率或平均得分； 比较概率/得分，判断游戏是否公平； 若不公平，按题目要求设计公平的修改方案并验证。 典型应用 摸球、抽牌类游戏公平性判断；掷骰子类游戏公平性分析；修改游戏规则使双方获胜概率均等。 2. 转盘相关概率问题： 模型定义 以转盘为载体，通过区域份数、面积或圆心角的占比，计算指针指向指定区域的概率，可分为单转盘、多转盘组合、多次转动等类型，是几何概率与古典概型结合的经典题型。 核心结论与方法 等分转盘：转盘被等分为n份，指针指向每份的概率相等，指向某类区域的概率 = 该类区域的份数 ÷ 总份数。 不等分转盘：指针指向某区域的概率 = 该区域面积 ÷ 转盘总面积，也可通过对应圆心角的度数比计算。 多次转动/多转盘：每次转动为独立事件，总结果数用乘法计算，分步事件的概率用乘法公式求解。 注意：指针指向区域边界线的情况通常忽略不计，不影响最终概率结果。 解题步骤 确认转盘是否等分，确定总份数、总面积或总圆心角度数； 统计目标事件对应的区域份数、面积或圆心角度数； 单次转动直接用占比计算对应概率； 多次转动或多转盘组合，结合列表/树状图计算复合事件的概率。 典型应用 单转盘指定颜色、数字的概率；双转盘配紫色、数字和的概率；转盘游戏的得分计算与公平性分析。 3. 列表法或树状图法求概率： 模型定义 针对两步及两步以上的随机事件，通过列表法或树状图法不重不漏地列出所有等可能结果，再计算符合条件的结果数占总结果数的比值，是计算古典概型概率的核心通用方法。 核心结论与方法 核心概率公式 2. 方法适用场景 列表法：仅适用于两步试验，横、纵轴分别对应两个步骤的结果，展示清晰直观；- 树状图法：适用于两步及两步以上试验，可清晰展示分步过程，完美适配放回、不放回两类场景。 3. 放回与不放回的关键区分 放回试验：两次试验结果相互独立，总结果数为 $n \times n$；- 不放回试验：第二次结果受第一次影响，总结果数为 $n \times (n-1)$，结果总数更少。 4. 前提要求：所有列出的结果必须是等可能的，非等可能结果不能直接套用该公式。 解题步骤 判断试验的步骤数，明确是放回试验还是不放回试验； 选择列表法或树状图法，有序列出所有等可能结果，统计总结果数； 筛选出符合条件的结果，统计对应数量； 代入概率公式计算，化简得到最终结果。 典型应用 摸球（放回/不放回）概率计算；掷两枚骰子的点数概率；抽牌、组队类概率；两步及以上随机事件的概率求解。 4. 几何概率： 模型定义 将概率与几何图形的度量（长度、面积）结合，事件发生的概率等于对应区域的几何度量与总区域几何度量的比值，适用于结果有无限多个、但满足等可能性的随机试验。 核心结论与方法 核心公式 2. 两大常考类型 长度型：在线段上随机取点，落点在指定区间的概率 = 区间长度 ÷ 线段总长；- 面积型：在平面区域内随机投点，落在指定图形内的概率 = 指定图形面积 ÷ 总区域面积（转盘是面积型的典型特例）。 3. 易错提醒：几何概率仅与区域度量的大小有关，与点的具体位置无关；边界线的长度、面积可忽略，不影响概率计算结果。 解题步骤 确定总区域对应的几何度量（长度/面积）； 计算目标事件对应的区域度量； 代入几何概率公式计算比值； 验证结果合理性，确保度量单位统一。 典型应用 线段上随机取点的概率；方格、平面区域投点概率；飞镖命中靶心的概率；与三角形、圆结合的面积概率计算。 5. 概率在比赛中的应用： 模型定义 以体育比赛、竞技对局为背景，结合赛制规则（如三局两胜、五局三胜），计算某方获胜、晋级、获得特定比分的概率，是分类讨论思想与概率乘加公式的综合应用。 核心结论与方法 基本前提：单局比赛相互独立，每局获胜概率固定；分步发生的事件用乘法公式，分类发生的事件用加法公式。 赛制核心规律（以“n局m胜”为例，如三局两胜） 获胜方的最后一局一定获胜，前面的局数只需赢够(m-1)局； 例：三局两胜制中甲获胜，分两类：①前两局甲全胜（比分2:0）；②前两局1:1平，第三局甲胜（比分2:1）。 分类原则：按比赛进行的总局数分类，做到不重不漏；每类分别计算概率后相加，得到总概率。 拓展应用：可计算比赛打满局数的概率、某方以特定比分获胜的概率。 解题步骤 明确赛制规则与单局各方的获胜概率； 按目标结果（如甲最终获胜）分类讨论所有符合条件的比赛进程； 对每类进程用乘法公式计算单类情况的概率； 将各类概率相加，得到最终事件的总概率。 典型应用 三局两胜制的胜负概率；淘汰赛晋级概率；比赛特定比分的概率计算；结合胜负得分的期望分析。 6. 用频率估计概率的综合应用： 模型定义 基于“大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件的概率”的原理，通过试验频率估算理论概率，或结合样本估计总体数量，是概率与统计结合的实际应用题型。 核心结论与方法 核心原理：大量重复试验时，频率稳定于概率，可用频率估计概率；但少量试验的频率具有随机性，不能直接等同于概率。 两类核心应用 估计概率：多次重复试验，统计事件发生的频率，用稳定后的频率作为概率的估计值； 估计总体数量（标记重捕法）：先从总体中捕获m个个体标记后放回，再次捕获n个，其中带标记的有k个，则总体数量约为 。 频率与概率的区别：频率是试验值，会随试验次数波动；概率是理论定值，客观存在；试验次数越多，频率对概率的估计越准确。 解题步骤 明确试验总次数与事件发生的频数，计算频率 = 频数 ÷ 总次数； 观察频率的稳定趋势，用稳定后的频率估计事件的概率； 若为估计总体问题，利用“标记比例相等”列等式求解总体数量； 结合所得概率对实际问题进行判断与预测。 典型应用 抛硬币、掷骰子的频率验证试验；估计池塘中鱼的总数；产品合格率抽样估计；结合频率判断游戏公平性。 题型01游戏的公平性 【典例】【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【变式】一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． (1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ (2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 题型02转盘相关概率问题 【典例】春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 规则表 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【变式】周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 题型03列表法或树状图法求概率 【典例】有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 1 2 3 1 2 3 【变式】已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 题型04几何概率 【典例】如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【变式】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 题型05概率在比赛中的应用 【典例】小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【变式】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 题型06用频率估计概率的综合应用 【典例】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 【变式】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【巩固训练】 1．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 2．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 3．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（     ） A． B． C． D． √ × × × × × × × √ 4．湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（     ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 6．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 7．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D．       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 10．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，则被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为________． 11．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 12．某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 13．如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 14．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 15．从，，1，2四个数中任取两个数，分别记为a，b，则关于x的不等式组有解的概率是________． 16．将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为______． 17．某校对九年级全体学生进行基本素质测试，成绩评定分为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用表示 ），该校从九年级学生中随机抽取一部分学生的成绩，绘制成如下不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； (2)将上面的条形统计图补充完整，在扇形统计图中写出等级的百分比； (3)若从等级的5名学生中选出两名同学参加学校组织的提升训练，用树状图或列表的方法求出正好是1名男同学和1名女同学的概率． 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 18．2026年4月23日是第31个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有2，3，4，6，8，11，13，17的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是2的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于10，则小华去． (1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是3的倍数的是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 19．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； (2)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (3)现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 20．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 21．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（）、坎、离、艮（）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 22．某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行抽奖活动，凡在超市一次性消费满168元的顾客可获得一次抽食用油的机会，共有、、三个品牌的食用油可选，每个品牌均有六个种类的食用油：1．菜籽油，2．花生油，3．葵花籽油，4．大豆油，5．玉米油，6．橄榄油．活动规则如下：每位参与活动的顾客先从标有、、的三支签里随机抽取一支，记下字母后放回，所抽字母即代表所选品牌；抽完签的顾客再掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6）一次，向上一面的点数即代表所选食用油的种类．参与活动的顾客均可免费获得一桶所选品牌及种类的食用油． (1)若从标有、、的三支签里随机抽取一支，则抽到标有签的概率为__________； (2)若张阿姨这天参与了此次活动，请你用树状图或列表的方法，求张阿姨免费获得一桶品牌的花生油的概率． 23．甘肃被誉为“石窟艺术之乡”，拥有举世闻名的石窟群．为了弘扬传统文化，某博物馆策划了“遇见·甘肃石窟”数字化体验活动．在一个不透明的体验箱中，装有四张除图案和文字外其余完全相同的卡片，分别代表甘肃著名石窟：A：莫高窟，B：麦积山石窟，C：炳灵寺石窟，D：榆林窟． 活动规则如下；参与者随机从箱中抽取一张卡片进行数字化体验后，记录代表的石窟名称后放回箱中，混合均匀后再随机抽取第二张进行体验．两次抽到的卡片所代表的石窟位于同一个市州，即可获得石窟文创书签一张．已知莫高窟（A）和榆林窟（D）均位于酒泉市，其余石窟分别位于不同的市州． A．莫高窟                B．麦积山石窟 C．炳灵寺石窟            D．榆林窟 (1)随机抽取一张卡片，恰好抽到“莫高窟”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求参与者小言通过两次抽卡能够获得文创书签的概率． 【强化训练】 1．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（    ）种栽种方案． A． B． C． D． 3．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 4．将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示． A． B． C． D． E． 另外小单元有四个， 5．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　）    A． B． C． D． 7．在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 8．周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 9．一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有_______种走法． 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 11．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 1 2 1 2 12．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为______．    13．近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A类（非常满意）；B类（满意）：C类（基本满意）：D类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名游客； (2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B类所对应的圆心角的度数； (3)若该景区当天接待游客约人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数； (4)在D类游客中，有2名女游客和2名男游客，现准备从这4人中随机抽取2人进行深度访谈以改进服务，请用列表或画树状图的方法，求抽取的2人恰好是“一女一男”的概率． 14．某校开展研学前调查，对乌江寨国际旅游度假区（记为A）、洪关太阳坪景区（记为B）、苟坝会议会址（记为C）三个景点进行调研．现从10名同学对三个景点游玩的评分（满分10分），整理并绘制成如下折线统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)下列说法正确的是 （填序号）；①B平均数比C平均数大；②B的中位数为6分；③A的众数为9；④C更稳定； (2)你认为文旅局会从A，B，C三个景点中选择哪家向外来游客推荐？请说明理由（至少一条理由）； (3)本次调研中，有2名来自A景点，2名来自B景点的研学学员获得“优秀文旅宣传员”称号．从4名中随机抽取2名进行研学成果分享，用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名来自同一景点的概率． 15．《生物多样性公约》第十五次缔约大会（）于2021年10月11日在云南昆明举行，为了提高吉祥物的协调性、艺术性和代表性，拟确定大会吉祥物由“孔雀、金丝猴、山茶花、大熊猫和民族女孩”5个吉祥物形成的组合图案． 小昆同学将以上五幅图分别做成五张小卡片（卡片大小和背面花纹一样），随机将五张小卡片背面向上放置在桌子上． (1)从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是__________； (2)小明同学先随机抽取一张卡片，放回洗匀，再抽取第二张卡片，请用树状图法或列表法求抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率． 16．某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 17．在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展07 概率相关题型压轴 1. 能够熟练运用列表法、树状图求解复杂事件概率，准确区分放回与不放回模型。 2.会结合频率估计概率，理解频率与概率的联系和区别，处理试验类压轴情境。 3.读懂压轴题的实际背景，把现实条件转化为概率模型，规避审题不清带来的错误。 4.综合结合统计、方程知识解决概率综合题型，规范答题步骤，完整书写解题过程。 1. 游戏的公平性： 模型定义 通过计算游戏双方获胜的概率，判断游戏规则对双方是否均等的概率应用题型。核心判定标准为双方获胜概率是否相等，常结合“修改规则使游戏公平”的设问综合考察。 核心结论与方法 公平判定标准 游戏双方获胜的概率相等 → 游戏公平； 游戏双方获胜的概率不等 → 游戏不公平，概率更大的一方更有利。 常见不公平原因 双方获胜对应的结果数量不对等； 得分规则与获胜概率不匹配（如低概率事件得分反而更低）。 修改规则的通用思路 调整获胜条件，使双方获胜的概率相等； 调整得分权重，让双方的平均得分（期望）相等，概率小的获胜对应更高得分。 解题步骤 用列表法或树状图法列出所有等可能的结果； 分别统计双方获胜的结果数，计算各自获胜的概率或平均得分； 比较概率/得分，判断游戏是否公平； 若不公平，按题目要求设计公平的修改方案并验证。 典型应用 摸球、抽牌类游戏公平性判断；掷骰子类游戏公平性分析；修改游戏规则使双方获胜概率均等。 2. 转盘相关概率问题： 模型定义 以转盘为载体，通过区域份数、面积或圆心角的占比，计算指针指向指定区域的概率，可分为单转盘、多转盘组合、多次转动等类型，是几何概率与古典概型结合的经典题型。 核心结论与方法 等分转盘：转盘被等分为n份，指针指向每份的概率相等，指向某类区域的概率 = 该类区域的份数 ÷ 总份数。 不等分转盘：指针指向某区域的概率 = 该区域面积 ÷ 转盘总面积，也可通过对应圆心角的度数比计算。 多次转动/多转盘：每次转动为独立事件，总结果数用乘法计算，分步事件的概率用乘法公式求解。 注意：指针指向区域边界线的情况通常忽略不计，不影响最终概率结果。 解题步骤 确认转盘是否等分，确定总份数、总面积或总圆心角度数； 统计目标事件对应的区域份数、面积或圆心角度数； 单次转动直接用占比计算对应概率； 多次转动或多转盘组合，结合列表/树状图计算复合事件的概率。 典型应用 单转盘指定颜色、数字的概率；双转盘配紫色、数字和的概率；转盘游戏的得分计算与公平性分析。 3. 列表法或树状图法求概率： 模型定义 针对两步及两步以上的随机事件，通过列表法或树状图法不重不漏地列出所有等可能结果，再计算符合条件的结果数占总结果数的比值，是计算古典概型概率的核心通用方法。 核心结论与方法 核心概率公式 2. 方法适用场景 列表法：仅适用于两步试验，横、纵轴分别对应两个步骤的结果，展示清晰直观；- 树状图法：适用于两步及两步以上试验，可清晰展示分步过程，完美适配放回、不放回两类场景。 3. 放回与不放回的关键区分 放回试验：两次试验结果相互独立，总结果数为 $n \times n$；- 不放回试验：第二次结果受第一次影响，总结果数为 $n \times (n-1)$，结果总数更少。 4. 前提要求：所有列出的结果必须是等可能的，非等可能结果不能直接套用该公式。 解题步骤 判断试验的步骤数，明确是放回试验还是不放回试验； 选择列表法或树状图法，有序列出所有等可能结果，统计总结果数； 筛选出符合条件的结果，统计对应数量； 代入概率公式计算，化简得到最终结果。 典型应用 摸球（放回/不放回）概率计算；掷两枚骰子的点数概率；抽牌、组队类概率；两步及以上随机事件的概率求解。 4. 几何概率： 模型定义 将概率与几何图形的度量（长度、面积）结合，事件发生的概率等于对应区域的几何度量与总区域几何度量的比值，适用于结果有无限多个、但满足等可能性的随机试验。 核心结论与方法 核心公式 2. 两大常考类型 长度型：在线段上随机取点，落点在指定区间的概率 = 区间长度 ÷ 线段总长；- 面积型：在平面区域内随机投点，落在指定图形内的概率 = 指定图形面积 ÷ 总区域面积（转盘是面积型的典型特例）。 3. 易错提醒：几何概率仅与区域度量的大小有关，与点的具体位置无关；边界线的长度、面积可忽略，不影响概率计算结果。 解题步骤 确定总区域对应的几何度量（长度/面积）； 计算目标事件对应的区域度量； 代入几何概率公式计算比值； 验证结果合理性，确保度量单位统一。 典型应用 线段上随机取点的概率；方格、平面区域投点概率；飞镖命中靶心的概率；与三角形、圆结合的面积概率计算。 5. 概率在比赛中的应用： 模型定义 以体育比赛、竞技对局为背景，结合赛制规则（如三局两胜、五局三胜），计算某方获胜、晋级、获得特定比分的概率，是分类讨论思想与概率乘加公式的综合应用。 核心结论与方法 基本前提：单局比赛相互独立，每局获胜概率固定；分步发生的事件用乘法公式，分类发生的事件用加法公式。 赛制核心规律（以“n局m胜”为例，如三局两胜） 获胜方的最后一局一定获胜，前面的局数只需赢够(m-1)局； 例：三局两胜制中甲获胜，分两类：①前两局甲全胜（比分2:0）；②前两局1:1平，第三局甲胜（比分2:1）。 分类原则：按比赛进行的总局数分类，做到不重不漏；每类分别计算概率后相加，得到总概率。 拓展应用：可计算比赛打满局数的概率、某方以特定比分获胜的概率。 解题步骤 明确赛制规则与单局各方的获胜概率； 按目标结果（如甲最终获胜）分类讨论所有符合条件的比赛进程； 对每类进程用乘法公式计算单类情况的概率； 将各类概率相加，得到最终事件的总概率。 典型应用 三局两胜制的胜负概率；淘汰赛晋级概率；比赛特定比分的概率计算；结合胜负得分的期望分析。 6. 用频率估计概率的综合应用： 模型定义 基于“大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件的概率”的原理，通过试验频率估算理论概率，或结合样本估计总体数量，是概率与统计结合的实际应用题型。 核心结论与方法 核心原理：大量重复试验时，频率稳定于概率，可用频率估计概率；但少量试验的频率具有随机性，不能直接等同于概率。 两类核心应用 估计概率：多次重复试验，统计事件发生的频率，用稳定后的频率作为概率的估计值； 估计总体数量（标记重捕法）：先从总体中捕获m个个体标记后放回，再次捕获n个，其中带标记的有k个，则总体数量约为 。 频率与概率的区别：频率是试验值，会随试验次数波动；概率是理论定值，客观存在；试验次数越多，频率对概率的估计越准确。 解题步骤 明确试验总次数与事件发生的频数，计算频率 = 频数 ÷ 总次数； 观察频率的稳定趋势，用稳定后的频率估计事件的概率； 若为估计总体问题，利用“标记比例相等”列等式求解总体数量； 结合所得概率对实际问题进行判断与预测。 典型应用 抛硬币、掷骰子的频率验证试验；估计池塘中鱼的总数；产品合格率抽样估计；结合频率判断游戏公平性。 题型01游戏的公平性 【典例】【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 【变式】一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． (1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ (2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【答案】(1) (2) 解：游戏不公平，理由如下： 由（）可知，标有的数字是奇数的概率是，所以标有的数字是偶数的概率是，即小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平； (3)乙盒子获得奖励的概率更大 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）分别求出两人获胜的概率即可判断求解； （）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解； 本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种， ∴标有的数字是奇数的概率是； （2）略 （3）解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，； 当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，，，； 甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为；乙盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为， ∵， ∴乙盒子获得奖励的概率更大． 题型02转盘相关概率问题 【典例】春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 规则表 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)他获得20元和80元奖券的概率分别为， (2)需要将3个黄色区域改为红色 (3) 解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【分析】（1）分别确定转动转盘所有的情况数，及转到红色和黑色的次数，根据概率公式计算即可； （2）设需要将个黄色区域改为红色，根据题意列方程解答； （3）将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种， 指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， 答：他获得20元和80元奖券的概率分别为，； （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得， 答：需要将3个黄色区域改为红色； （3）略 【变式】周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）略 题型03列表法或树状图法求概率 【典例】有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【答案】 【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3号盒子恰好比2号盒子多1个球的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率． 【详解】解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次， 1 2 3 1 2 3 ∴共有种等可能的结果， 对单次操作，设抽取数字为时，2号盒子球的增量为，3号盒子球的增量为， 当时，，；当时，，；当时，，. ∵两次操作后，3号盒子恰好比2号盒子多个球，即满足. ∴设两次抽取中，抽的次数为，抽的次数为，抽的次数为， ∴，且：，， 代入条件得：. 联立方程， 其中为非负整数， ∴，，， 即符合条件的事件结果为和， ∴所求概率为． 【变式】已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果，再根据二元一次方程组有解的条件筛选出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：解方程组， 由第一个方程得， 将整理后的式子，代入第二个方程得， 整理得， 当即时，方程左边为， 此时由，可知， ∴右边，即方程右边与方程左边不相等，方程组无解， ∴方程组有解的概率，即抽取的两个小球上的数字之积不为的概率， 由题意，列表如下： a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 由表可知，共有12种等可能的情况，其中满足的情况共种，因此方程组有解的情况有种， ∴方程组有解的概率为． 题型04几何概率 【典例】如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 【变式】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 题型05概率在比赛中的应用 【典例】小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3) 不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）略． 【变式】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)，建议小明在第一题使用“求助” 【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案； （3）分别求出小明在第一题使用“求助”和在第二题使用“求助”顺利通关的概率，比较后即可求得答案． 【详解】（1）解：∵第一道单选题有3个选项， ∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：， 故答案为； （2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：； （3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C）， 画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1， 所以他顺利通关的概率=， 若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为， 而＞， 所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型06用频率估计概率的综合应用 【典例】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）平均数76，方差44； （Ⅱ）应购进17枝，理由如下： 当时，17枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式为 当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴当一天购进 17枝玫瑰花时，日利润的平均数为（元）； ∵当一天购进 16枝玫瑰花时，日利润的平均数为76元，且， ∴应购进17枝． 【分析】本题考查算术平均数和方差，概率公式，掌握算术平均数和方差的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）（Ⅰ）求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数和方差即可；（Ⅱ）先求出当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式，再求出当一天购进 17枝玫瑰花时的日利润，即可求解． 【详解】（1）解：当时，16枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； （2）解：（Ⅰ）当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴日利润的平均数为（元）； 日利润的方差为； （Ⅱ）解：略． 【变式】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【详解】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 【巩固训练】 1．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果只有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 2．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 3．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可； 【详解】解：左端、、三个铜线头中选两个连接，共有、、这3种情况， 根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 4．湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定总共有4条河流，其中经过常德市的河流有2条；再根据概率公式，用经过常德市的河流数除以河流总数，即可得到所求概率． 【详解】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条． 根据概率公式，P（游轮经过常德市） 故选：A． 5．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 6．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 7．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 8．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是，根据概率公式求解． 【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为， 所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率， 故选：B． 【点评】选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率． 9．如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得；根据菱形和余角性质，得，从而得；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图， ∵两个菱形相同 ∴ ∴ 又∵两个菱形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分面积， ∴部分重叠的两个菱形面积-阴影部分面积 ∴最后停留在阴影部分的概率 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、概率的性质，从而完成求解． 10．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，则被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为________． 【答案】 【分析】由题意知，给其中任意三个小正方形染色，染第一个小正方形时有25种选择，染第二个小正方形时有24种选择，染第三个小正方形有23种选择，故共有种情况．由于要求被染色的三个小正方形不同行不同列，所以染第二个小正方形时只有种选择，染第三个小正方形时只有种选择，故三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． 11．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 【答案】 【分析】先列举出所有满足取下吊灯前必须先取下吊灯这一条件的可能情况，然后找出吊灯第三个被取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可 【详解】解：由题意可知，取下吊灯前必须先取下吊灯， 所有可能的取下顺序为，共种等可能的结果， 其中吊灯第三个被取下的情况有，共种， 清洗时吊灯第三个被取下的概率是 ． 12．某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 【答案】 【分析】先画出树状图，统计出所有可能的结果总数，然后判定符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据如下树状图可得结果总数为9个，符合连续传递两次后，任务回到组的结果数为3个，所以概率为． 13．如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 【答案】 【分析】当时，电灯比更亮，列出树状图，找到所有等可能情况和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，电灯比更亮，画树状图如下： 根据列表可知，共有12种等可能情况，其中的情况共有4种， 故电灯比更亮的概率为． 14．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与几何概率的综合应用，解题核心是利用平行四边形的性质，结合线段比例关系，求出与平行四边形的面积比，即为所求概率． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 和同高， ， ， 点落在内的概率是． 15．从，，1，2四个数中任取两个数，分别记为a，b，则关于x的不等式组有解的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算和不等式组有解的条件，掌握列举法求概率的方法以及不等式组有解的判定条件是解题的关键． 本题根据列举法列出所有、的组合，以及不等式组有解的条件，得到关于的不等式组有解的概率． 【详解】解：从 ，，， 中任取两个不同的数作为 和 ， 所有可能的有序对有：、、、、、、、、、、、共有 种等可能的有序对， 不等式组有解的条件是， 当时，，即： ，无符合条件的， 当时，，即： ，符合条件的为， 当时，，即： ，无符合条件的， 当时，，即： ，符合条件的为， 综上，符合条件的有序对为：，，，共种， 故：． 故答案为：． 16．将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，首先分两种情况：①当时，方程组无解；②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得，，再由、都大于0可得，，求出、的范围，列举出，所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率． 【详解】解：①当时，即时，方程组无解； ②当时，即时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知，都为大于0的整数，则两式联合求解可得，， 使、都大于0则有，， 解得，或者，， ，都为1到6的整数， 可知当为1时，只能是1，2，3，4，5，6；或者为2，3，4，5，6时，无解， 这两种情况的总出现可能有6种； ， 掷两次骰子出现的基本事件共种情况，故所求概率为； 故答案为：． 17．某校对九年级全体学生进行基本素质测试，成绩评定分为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用表示 ），该校从九年级学生中随机抽取一部分学生的成绩，绘制成如下不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； (2)将上面的条形统计图补充完整，在扇形统计图中写出等级的百分比； (3)若从等级的5名学生中选出两名同学参加学校组织的提升训练，用树状图或列表的方法求出正好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】(1)50 (2)；等级C占的百分比为；等级的百分比为 (3) 【分析】（1）根据等级B中男女人数之和除以所占的百分比即可得到调查的总学生数； （2）根据总学生数乘以A占的百分比求出等级A中男女的学生总数，进而求出等级A男生的人数，求出等级D占的百分比，确定出等级C占的百分比，乘以总人数求出等级C的男女之和人数，进而求出等级C的女生人数，补全条形统计图即可； （3）根据列表法解答即可； 【详解】（1）解：根据题意得：（人）， 则本次调查了50名学生的成绩； （2）解：等级A的学生数为（人）， ∴等级A男生为人； ∵等级D占的百分比为； ∴等级C占的百分比为， ∴等级C的学生数为（人），即女生为人， 补全条形统计图，略 （3）解：等级的5名学生中有3名男生2名女生， 列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） ∵共有20种等可能的结果，恰为一男一女的有12种， ∴抽得恰好为“1名男同学和1名女同学”的概率为． 18．2026年4月23日是第31个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有2，3，4，6，8，11，13，17的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是2的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于10，则小华去． (1)任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是3的倍数的是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【答案】(1) 随机 (2) 不公平 【分析】（1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断事件类型即可； （2）分别数出满足小明和小华条件的结果个数，根据概率公式计算两人获胜的概率，比较概率是否相等即可判断游戏是否公平，概率相等则公平，否则不公平． 【详解】（1）解：∵共有8张卡片，其中是3的倍数的数字有3、6共2张，其余数字不是3的倍数， ∴任意抽取一张，可能抽到3的倍数，也可能不抽到3的倍数， ∴该事件是随机事件； （2）解：∵共有8张卡片，其中是2的倍数的数字有2、4、6、8共4张，数字大于10的有11，13，17共3张， ∴小明去的概率为，小华去的概率为， ∵， ∴小明去的概率比小华去的概率大， ∴这个游戏规则对双方不公平． 19．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动。下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为_______； (2)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (3)现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】(1)50；； (2)720 (3)概率为 【分析】（1）因为D组人数为10且对应扇形占比，所以用D组人数除以对应占比得到总抽取人数；再用总人数减去A组C组D组的人数得到B组人数为人，再补全直方图即可；用C组人数除以总人数再乘，即可得对应圆心角度数； （2）因为样本中不低于80分的是C组和D组，所以先计算样本中C、D组人数和占总抽取人数的比，再乘全校总人数1200； （3）用列表列出所有等可能的结果，再统计出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：由题可知，总人数为（人）； ∴B组的人数为（人）， 补全直方图略； C组占比为， ∴C组对应圆心角的度数为； （2）解：成绩不低于80分对应C组和D组，总人数为（人）， 全校1200名学生中，估计人数为：（人）； （3）解：记C组：男生，女生；D组：两名男生，，女生， 列表如下： 由表可知，共有6种等可能的结果，其中“一男一女”的结果有3种， ∴． 20．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 21．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（）、坎、离、艮（）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解； （2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，，根据列表法或画树状图法求解即可． 【详解】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， ∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 （2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，． 列表法： 第一卦象第二卦象 树状图： 由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 其中满足条件的结果有：，，，，，共6种． 所以所求概率为． 22．某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行抽奖活动，凡在超市一次性消费满168元的顾客可获得一次抽食用油的机会，共有、、三个品牌的食用油可选，每个品牌均有六个种类的食用油：1．菜籽油，2．花生油，3．葵花籽油，4．大豆油，5．玉米油，6．橄榄油．活动规则如下：每位参与活动的顾客先从标有、、的三支签里随机抽取一支，记下字母后放回，所抽字母即代表所选品牌；抽完签的顾客再掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6）一次，向上一面的点数即代表所选食用油的种类．参与活动的顾客均可免费获得一桶所选品牌及种类的食用油． (1)若从标有、、的三支签里随机抽取一支，则抽到标有签的概率为__________； (2)若张阿姨这天参与了此次活动，请你用树状图或列表的方法，求张阿姨免费获得一桶品牌的花生油的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用简单概率公式计算即可； （2）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数和符合条件的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从标有、、的三支签里随机抽取一支，共有3种等可能结果， 抽到标有签有1种结果， 则抽到标有签的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 则所有等可能的情况数有18种，其中得到B品牌的花生油的结果有1种， 因此，张阿姨免费获得一桶B品牌的花生油的概率为． 23．甘肃被誉为“石窟艺术之乡”，拥有举世闻名的石窟群．为了弘扬传统文化，某博物馆策划了“遇见·甘肃石窟”数字化体验活动．在一个不透明的体验箱中，装有四张除图案和文字外其余完全相同的卡片，分别代表甘肃著名石窟：A：莫高窟，B：麦积山石窟，C：炳灵寺石窟，D：榆林窟． 活动规则如下；参与者随机从箱中抽取一张卡片进行数字化体验后，记录代表的石窟名称后放回箱中，混合均匀后再随机抽取第二张进行体验．两次抽到的卡片所代表的石窟位于同一个市州，即可获得石窟文创书签一张．已知莫高窟（A）和榆林窟（D）均位于酒泉市，其余石窟分别位于不同的市州． A．莫高窟                B．麦积山石窟 C．炳灵寺石窟            D．榆林窟 (1)随机抽取一张卡片，恰好抽到“莫高窟”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求参与者小言通过两次抽卡能够获得文创书签的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用概率公式可得答案． （2）通过画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片“莫高窟”的结果有1种， ∴从中任意抽取一张卡片，恰好抽到“莫高窟”的概率是． （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片所代表的石窟位于同一个市州的结果有6种， ∴参与者小言通过两次抽卡能够获得文创书签的概率为． 【强化训练】 1．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上，据此讨论第三次抛的结果，进而确定第四次抛的结果；当第一次抛的结果是反面向上时，那么第二次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，据此讨论第二次抛的结果，进而确定第三次，第四次抛的结果；最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵一枚质地均匀的硬币连续抛4次，每次抛的结果都有两种， ∴抛4次一共有种结果， 当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上， 若第三次抛的结果为正面向上时，则第四次抛的结果一定是反面向上， 若第三次抛的结果为反面向上时，则第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上， ∴当第一次抛的结果是正面向上，一共有3种结果； 当第一次抛的结果是反面向上时， 若第二次抛的结果是反面向上时，则同理可知此时有3种结果； 若第二次抛的结果为正面向上时，则第三次抛的结果一定是反面向上， 那么第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，即此时一共有2种结果； 综上所述，没有两次连续正面向上的结果数有种， ∴没有两次连续正面向上的概率为， 故选：C． 2．一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（    ）种栽种方案． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画树状图，掌握分类讨论思想以及正确画出树状图是解题的关键． 根据，所种的种数相同和不同来分类，然后分别根据题意画出树状图，然后统计即可解答． 【详解】解：设4种不同的植物分别为甲、乙、丙、丁， 当，种同一种植物，根据题意画树状图如下： 共有36种栽种方案； 当，种不同的植物， 则有48种栽种方案． 综上，共有种． 故选：D． 3．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 4．将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示． A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求概率即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，每个小方格有种等可能情况， ∴一共有种等可能情况， 在如图中有种等可能情况， 另外小单元有四个， ∴共有种等可能情况， ∴有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是， 故选：C． 5．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【详解】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 6．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝a，则S正方形BEOF＝a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝a，解得x＝x，则S正方形MNGH＝a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a， ∵四边形BEOF为正方形， ∴CF＝OF＝BF， ∴S正方形BEOF＝（a）2＝a2， 设正方形MNGH的边长为x， ∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形， ∴CM＝AN＝MN＝x， ∴3x＝a，解得x＝a， ∴S正方形MNGH＝＝a2， ∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键. 7．在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 【答案】A 【分析】分别计算A，B，C三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷的概率，比较大小即可得出结果． 【详解】解：雷区总方格数为个，地雷总数为颗， A区域方格数为个，地雷数为颗， 则在A区域随机点击一格，踩到地雷的概率， B区域方格数为个，地雷数为颗，则在B区域随机点击一格，踩到地雷的概率， A，B两个区域重叠个方格， 则A，B区域覆盖的未翻开方格总数为个， 已翻开的方格和②共个，且无雷， 所以C区域的方格数为个， 设A，B重叠的方格内地雷数为（为或）， 则A，B区域内的地雷总数为，即颗或颗， 所以C区域的地雷数为颗或颗， 则在C区域随机点击一格，踩到地雷的概率或， 因为，，且， 所以最大，故答案为 8．周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 【答案】 【分析】利用树状图法求解即可． 找到同一排的所有情况，再除以总的情况数即可求解． 【详解】解：画出树状图，如图： 总的情况数为9，二人在同一排的情况数为3， 故小夏和小彦坐在同一排的概率为：． 9．一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有_______种走法． 【答案】74 【分析】本题考查了列表法求事件的种数， 问题核心：从走到，每次只能往右或往上走 格，且不能经过 “禁区”（横坐标，0，1且纵坐标，0，1的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）． 解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能右 / 上走）． 【详解】点的坐标 解：基础标数： （1）起点标 “1”（只有 1 种到起点的方法）； （2）（）和（）只能单向走，全标 “”． 逐点计算（重点标关键位置）： x\y 0 1 2 3 3 1 7 13 19 25 37 2 1 6 6 6 6 12 37 1 1 5 （禁区） （禁区） （禁区） 6 25 0 1 4 （禁区） （禁区） （禁区） 6 19 1 3 （禁区） （禁区） （禁区） 6 13 1 2 3 4 5 6 7 起点 1 1 1 1 1 1 结果：终点的走法数为 74． 故填：74． 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 【答案】//0.25 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如图，连接EG交BD于点P， ∵平分， ∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形 ∴∠MED＝90°， ∴∠AED＝180°－∠MED＝90° ∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ∴△ADE≌△MDE（ASA） ∴AE＝ME 同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADM＝45° ∴∠ADE＝∠MDE＝22.5° ∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45° ∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5° ∴∠EMD＝∠MPE ∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x 在Rt△EFG中，∠EFG＝45°， ∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中， ∴ ＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键． 11．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 12．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为______．    【答案】 【分析】连接BD、AC、OA、OC．先求得菱形ABCD的面积和△ACO的面积，然后可求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积，最后依据它们的面积比进行求解即可． 【详解】解：连接BD、AC、OA、OC，AC与BD相交于点E．    ∵ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∴BD＝AB＝． ∴AE＝ABsin60°＝×＝6． ∴AC=2 AE =12． ∴＝BD•AC＝24． ∴． 由旋转的性质可知OC＝OA，∠COA＝90°， ∴OC＝AC＝×12＝6． ∴△AOC的面积＝OC•OA＝36． ∴ ＝， ． ∴命中阴影部分的概率． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是几何概率问题，解答本题主要应用了菱形的性质、旋转的性质，求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积是解题的关键． 13．近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A类（非常满意）；B类（满意）：C类（基本满意）：D类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名游客； (2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B类所对应的圆心角的度数； (3)若该景区当天接待游客约人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数； (4)在D类游客中，有2名女游客和2名男游客，现准备从这4人中随机抽取2人进行深度访谈以改进服务，请用列表或画树状图的方法，求抽取的2人恰好是“一女一男”的概率． 【答案】(1) (2)， (3)人 (4) 【分析】（1）利用A类所占人数除以其所占百分比，即可得到抽取总人数； （2）利用总人数算出B类人数，补全条形统计图即可；再利用乘以B类所占比，即可得到圆心角； （3）利用乘以该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数的占比，即可解题； （4）画树状图得出共有种等可能的结果数，其中抽取的2人恰好是“一女一男”的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，即本次调查共随机抽取了名游客； （2）B类的人数为（名）， B类所对应的圆心角的度数为； （3）解：（人） 即估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数为人； （4）解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，抽取的2人恰好“一女一男”的结果有种， ∴抽取的2人恰好是“一女一男”的概率为． 14．某校开展研学前调查，对乌江寨国际旅游度假区（记为A）、洪关太阳坪景区（记为B）、苟坝会议会址（记为C）三个景点进行调研．现从10名同学对三个景点游玩的评分（满分10分），整理并绘制成如下折线统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)下列说法正确的是 （填序号）；①B平均数比C平均数大；②B的中位数为6分；③A的众数为9；④C更稳定； (2)你认为文旅局会从A，B，C三个景点中选择哪家向外来游客推荐？请说明理由（至少一条理由）； (3)本次调研中，有2名来自A景点，2名来自B景点的研学学员获得“优秀文旅宣传员”称号．从4名中随机抽取2名进行研学成果分享，用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名来自同一景点的概率． 【答案】(1)③ (2)解：推荐A景点（乌江寨国际旅游度假区）；理由如下： A景点的平均分最高，游客满意度最高，方差最小，评价最稳定； (3) 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数和方差的意义进行判断即可； （2）根据平均数相同，方差小的进行推荐即可； （3）根据题意画出表格得出所有等情况数，找出选出的2名来自同一景点的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：A景点的众数是9；平均数为， 方差为 ； B景点：中位数：； 平均数： 方差： ， C景点：平均分： ， 方差： 所以，①B平均数比C平均数小，故①错误； ②B的中位数为6.5分，故②错误； ③A的众数为9分，故③正确； ④A比C更稳定，故④错误； 所以，正确的序号是③； （2）略 （3）解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽到2名来自同一景点有4种情况，设恰好抽到2名来自同一景点记为事件A；则：． 答：恰好抽到2名来自同一景点的概率为． 15．《生物多样性公约》第十五次缔约大会（）于2021年10月11日在云南昆明举行，为了提高吉祥物的协调性、艺术性和代表性，拟确定大会吉祥物由“孔雀、金丝猴、山茶花、大熊猫和民族女孩”5个吉祥物形成的组合图案． 小昆同学将以上五幅图分别做成五张小卡片（卡片大小和背面花纹一样），随机将五张小卡片背面向上放置在桌子上． (1)从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是__________； (2)小明同学先随机抽取一张卡片，放回洗匀，再抽取第二张卡片，请用树状图法或列表法求抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的结果有9种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有五张小卡片：孔雀；金丝猴；山茶花；大熊猫；民族女孩， ∴从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是； （2）解：用字母A、B、C、D、E分别表示卡片孔雀；金丝猴；山茶花；大熊猫；民族女孩； 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的结果有9种， ∴抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率为． 16．某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【答案】 解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【详解】略 17．在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 【答案】(1)3 (2)D 【分析】（1）通过图2的折叠与分割，确定区域⑥的边长和区域⑦的边长关系，进而推出两者的周长关系； （2）根据概率与区域面积的关联，逐一判断各选项的正确性． 【详解】（1）解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长： ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3. 故答案为：． （2）解：A：找到宝藏的概率与区域面积有关，与形状无关，故错误，不符合题意； B：区域③是存在的区域，有找到宝藏的可能，故错误，不符合题意； C：宝藏藏在哪个区域是随机的，区域①不一定能找到，故错误，不符合题意； D：区域④⑥⑦的面积相等，因此找到宝藏的概率相同，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质、周长计算及概率的概念，掌握利用折叠的全等性分析线段长度，以及概率与区域面积相关的特点是解题的关键． 1 / 2 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