拓展04 二次函数中的线段、周长、面积问题（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数中的线段、周长、面积问题，系统梳理单条线段最值、线段和差最值、周长转化及面积计算的核心知识，从坐标表示到几何模型构建形成递进学习支架，涵盖模型定义、方法步骤与典型应用。 资料以模型化梳理与分层训练为特色，通过典例变式强化数形结合思想，如铅垂高法求面积、将军饮马模型求线段和，培养学生推理能力与模型意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

拓展04 二次函数中的线段、周长、面积问题 1. 能够在二次函数图像中准确求出动点背景下线段的长度，掌握线段最值的常用求解思路。 2.理解周长问题转化为线段最值的处理方法，会利用对称、坐标分析求解周长的最大值与最小值。 3.练运用割补法求解二次函数中的图形面积，能够把面积问题转化为函数关系式进行计算。 4.综合运用数形结合思想，处理动点变化下线段、周长、面积的综合题型，规范书写解题步骤。 1. 利用二次函数求线段最值的问题： 模型定义 在平面直角坐标系中，以二次函数图像为动点轨迹，结合定点、定直线，求单条线段的长度最值。通过设动点坐标，将线段长度转化为关于动点横坐标的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解极值，是二次函数几何综合的基础题型。 核心结论与方法 坐标轴平行线段（最简型） 竖直线段：两点横坐标相同时，线段长 = 两点纵坐标差的绝对值； 水平线段：两点纵坐标相同时，线段长 = 两点横坐标差的绝对值； 此类线段可直接通过坐标作差表示，转化为一次或二次函数求最值。 任意斜线段（两点间距离） 设抛物线上动点 （ 满足抛物线解析式），定点 ，由两点间距离公式： 核心技巧：因根号具有单调性，求 的最值等价于求 的最值，代入 的表达式后，根号内为关于 的二次式，可直接配方求最值，避免开方运算。 点到直线的垂线段 抛物线上动点到定直线的距离，可通过距离公式转化为二次函数，开口向上时有最小值。 解题步骤 设动点横坐标为 ，代入抛物线解析式表示出纵坐标； 根据线段类型（水平/竖直/斜线），写出长度（或长度平方）的代数式； 整理为二次函数顶点式，结合自变量的取值范围； 代入顶点横坐标或端点值，求出线段最值及对应点坐标。 典型应用 抛物线上动点到定点的最短距离；动点到定直线的最小距离；平行于坐标轴的动线段长度最值。 2. 利用二次函数求线段和最值的问题： 模型定义 已知两个定点，一个动点在抛物线（或定直线）上运动，求两条线段长度之和的最小值；核心思路是通过几何对称转化或代数建模，将折线段和转化为可求解的二次函数或直线段，依据“两点之间线段最短”求解。 核心结论与方法 基础几何原理（将军饮马模型） 两定点在动点轨迹同侧：作其中一个定点关于动点轨迹的对称点，对称点与另一定点的连线长度，即为线段和的最小值，连线与轨迹的交点为取最值的点。 两定点在动点轨迹异侧：直接连接两定点，线段长即为和的最小值。 二次函数建模法 设动点横坐标为 ，分别表示两条线段的长度，求和得到关于 的函数； 若表达式可化为二次函数形式，通过配方求顶点处的最值；若含双重根号，优先用几何对称法简化计算。 多线段和拓展：通过平移、对称将多条折线段转化为连续线段，再结合二次函数验证最值。 解题步骤 确定定点位置与动点的运动轨迹； 同侧定点先作对称转化，将折线和拉直为直线段； 无几何捷径时，设动点坐标建立线段和的二次函数模型； 求解最值，验证取最值时点是否在轨迹范围内。 典型应用 抛物线对称轴上的点到两定点的距离和最小值；抛物线上动点到两定点的路径最短问题；折叠、平移背景下的线段和最值。 3. 利用二次函数求线段差最值的问题: 模型定义 已知两个定点，动点在抛物线或定直线上运动，求两条线段长度之差的最大值/最小值，依据三角形三边关系分析极值位置，结合二次函数坐标法验证与求解。 核心结论与方法 核心几何原理 三角形两边之差小于第三边：对任意动点 ，满足 ；当且仅当 、、 三点共线时， 取得最大值，最大值等于线段 的长度。 位置分类处理 两定点在动点轨迹同侧：直接延长直线 ，与动点轨迹的交点即为差最大的点； 两定点在动点轨迹异侧：作其中一点关于轨迹的对称点，转化为同侧后再延长连线求最大值； 线段差最小值：若 的垂直平分线与动点轨迹有交点，则差的最小值为 ；无交点则结合二次函数求取值范围内的最小值。 二次函数验证：设动点坐标，写出线段差的表达式，通过函数单调性与顶点分析最值，多用于复杂轨迹的验证计算。 解题步骤 判断两定点与动点轨迹的位置关系； 同侧直接延长连线，异侧先对称再连线，找到差最大的点； 用坐标法计算最值，结合自变量范围验证合理性； 求最小值时，先判断垂直平分线与轨迹是否有交点，再用二次函数分析。 典型应用 抛物线对称轴上的点到两定点的距离差最大值；抛物线上动点的线段差极值；结合三角形三边关系的范围判断。 4. 利用二次函数求周长最值的问题: 模型定义 三角形、四边形等几何图形的顶点包含抛物线上的动点，图形周长随动点位置变化。通过拆分周长为“定长线段+动长线段”，将周长最值问题转化为线段和最值问题，结合对称法与二次函数建模求解。 核心结论与方法 核心解题思路 先识别周长中的固定边长（定长），仅需求解动线段部分的最值，再加定长即可得到周长最值，实现问题简化。 常见题型分类 三角形周长最值：一条边为定长，另外两条边为动线段 → 转化为两条动线段的和最值，用将军饮马模型求解； 四边形周长最值：一组对边为定长，剩余两条边为动边 → 转化为动边和的最值；若两条邻边为定长，则拆分对角线转化。 二次函数建模 设动点横坐标为 ，用含 的代数式表示所有动边长度，求和得到周长关于 的二次函数，配方后求顶点处的最值。 解题步骤 拆分周长，计算固定边长的总长度； 将剩余动线段的和作为目标，转化为线段和最值问题； 用对称法或二次函数法求出动边和的最值； 动边最值加定长得到周长最值，验证点的位置是否符合要求。 典型应用 抛物线上两定点与一动点构成的三角形周长最小值；抛物线与坐标轴围成的四边形周长最值；动点形成的特殊图形周长极值。 5. 利用二次函数求面积最值的问题: 模型定义 平面直角坐标系中，三角形或四边形的顶点包含抛物线上的动点，通过坐标法将图形面积表示为关于动点横坐标的二次函数，利用二次函数性质求面积的最大值/最小值，是二次函数综合题的核心高频题型。 核心结论与方法 三角形面积核心方法：铅垂高法 对任意三点构成的三角形，取两点确定水平方向的距离为水平宽（两点横坐标差的绝对值），第三点到该两点连线的竖直距离为铅垂高，则： 该方法无需计算底和高的实际长度，仅用坐标差即可计算，适配所有坐标系中的三角形。 四边形面积处理 分割法：沿对角线拆分为两个三角形，分别用铅垂高法计算后求和； 割补法：用外接大矩形面积减去周围多余直角三角形的面积。 最值规律 面积表达式通常为开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值；若动点有取值范围限制，需结合端点值比较后确定最值。 简便特例：若三角形有边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接以该边为底，用坐标差求高计算。 解题步骤 设动点横坐标为 ，代入抛物线表示出纵坐标，确定所有顶点坐标； 选择铅垂高法/分割法/割补法，列出面积的代数式； 整理为二次函数一般式，配方得到顶点式； 结合自变量取值范围，求出面积最值及对应动点坐标。 典型应用 抛物线上一动点与两定点构成的三角形面积最大值；抛物线与坐标轴围成的图形面积计算；动点四边形的面积最值与范围。 题型01利用二次函数求线段最值的问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 【变式】如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值； (3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值是 (3)或 【分析】（1）将，，，分别代入抛物线，待定系数法求解析式即可求解； （2）由，当时，，则，，直线的解析式为．设，则，，求得，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）抛物线向上平移个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，②当抛物线经过点，时，分别代入即可求解． 【详解】（1）解:将，，，分别代入抛物线得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示:    由，当时，，则，， ，， 设直线的解析式为， ∴，解得， 直线的解析式为． 设，则，， ∴， 当时，的最大值是． （3）解：抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，则，解得． ②当抛物线经过点，时，，解得； 当抛物线经过点，时，，解得， ∴时，满足题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线和抛物线的交点问题，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型02利用二次函数求线段和最值的问题 【典例】在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C．已知．． (1)求此抛物线的解析式； (2)若M为线段上一点，过点M作轴，交抛物线于点D．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）由待定系数法即可求得直线的解析式，设，，得出的长，列出的表达式，化简成顶点式，即可求解； （3）作，交y轴正半轴于点G，作于点N，与x轴交于点P，当点C，P，N三点共线时，有最小值，即为的长，利用解直角三角形的性质即可求出最终结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， 代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：当时，，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点M为线段上一点，轴，点D在抛物线上， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴二次函数有最大值， 当时，有最大值， ∴． （3）解：如图，作，交y轴正半轴于点G，作于点N，与x轴交于点P， ∴， 当点C，P，N三点共线时，有最小值，即为的长， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为． 【变式】已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． (1)求抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为或 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）连接，首先确定该抛物线对称轴为，进而确定，；由对称性可得，，进而可得，再证明，易得为等腰直角三角形，可得，；证明为等腰三角形，可得，进而确定点坐标；根据对称性，确定当点在轴下方时的坐标，即可获得答案； （3）设 ，过点作于点，过点作于点，分点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方、点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方、点在该抛物线的对称轴的左侧三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，可得，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， 将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）存在， 当点在轴上方时，如下图，连接， ∵该抛物线对称轴为， ∴， ∴， 由对称性可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，当点在轴下方时，可得 综上所述，点F的坐标为或； （3）设 ，过点作于点，过点作于点，则， 分三种情况讨论， 情况1，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况2，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况3，当点在该抛物线的对称轴的左侧时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴此种情况下，符合题意的点不存在． ∵， ∴的最大值为． 题型03利用二次函数求线段差最值的问题 【典例】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为或或或； (3) 【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式； （2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨； （3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）直线与轴交于点， 令，则 点坐标为， 线段，直线与x轴交于B点， ， ∵抛物线与直线交于A点，与x轴交于B点， 将、坐标代入 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为， 即点的坐标， 又点在直线上， 解得（舍去），， 的坐标为． （Ⅰ）当为直角顶点时， 过作交轴于点，设， ∵直线与x轴交于点D， 令，则 ∴点坐标为， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ， ． （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于， 同理可证， ∴， ∵点坐标为，的坐标为 ∴ 即， ， ， ， ∴点坐标为． （Ⅲ）当为直角顶点时，设， 由，得， ∴， 由得， 解得，， 此时的点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或； （3）抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴直线的解析式为 由，得， ． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键． 【变式】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点在轴上移动，当△是直角三角形时，直接写出点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点，使||的值最大，求出点的坐标． 【答案】y=x2﹣x+1；（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；M（1．5，-0．5） 【详解】试题分析：首先根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式得出解析式；根据直角三角形的性质得出点P的坐标；首先得出抛物线的对称轴，则MC=MB，要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大，求出直线AB的解析式，直线AB与对称轴的交点就是点M． 试题解析： （1）直线与轴交于点得A（0，1），将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c 得， 解得， ∴抛物线的解折式为y=x2﹣x+1； （2）满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0） （3）抛物线的对称轴为 ∵B、C关于x=对称， ∴MC=MB， 要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大． 易知直线AB的解折式为y=﹣x+1 ∴由，得 ∴M（1．5,-0．5） 考点：二次函数的综合应用． 题型04利用二次函数求面积最值的问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上． (3)点D的坐标为或 【分析】（1）将点、点坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标，代入抛物线解析式，确定其是否在抛物线上； （3）过点作轴交于点，则可以以作为公共底边，点横坐标作为和高之和表示，代入面积关系式中，可解得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， ，， ，， 由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定． ①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或． 设直线解析式为，将，分别代入解析式，得 ，解得， 直线解析式为， 令直线交轴于点， ，， ， ， 点坐标为． 同理可得直线的解析式为， 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． ②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或． 令直线交轴于点， 同理，可得点坐标为，直线的解析式为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）． 故此时点坐标为． 最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上： 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 综上，只有点在抛物线上． （3），， ． 点为直线上方抛物线上一点， 设点D的坐标为，作轴交于点， 点在直线 上， 点坐标为， ， ， 解得或， 代入抛物线解析式得或， 点的坐标为或． 【变式】平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，过点作轴交直线于点，如图1，可得，运用二次函数性质即可求得答案； （3）根据轴对称性质可求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可得：抛物线解析式为， 当时，， ， 设，过点作轴交直线于点，如图1，则， ， ， 当时，取得最大值； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为， 如图2，连接， 对于直线，令，则，解得， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， 三点共线，， ， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去）或， 当时，， ． 题型05利用二次函数求周长最值的问题 【典例】已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）在对称轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在请求出点的坐标．若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，P(-1，) 【分析】（1）将点，和对称轴公式代入即可求出a、b、c的值，从而求出结论； （2）点A、B关于直线对称，连接AC交直线于点P，由对称的性质可得此时△PBC的周长=PB＋PC＋BC= PA＋PC＋BC=AC＋BC，根据两点之间线段最短即可求出此时△PBC的周长最小，利用待定系数法求出直线AC的解析式，即可求出结论． 【详解】解：（1）函数过点，，且对称轴为， 则： 解得： （2）答：存在 点A、B关于直线对称，连接AC交直线于点P， ∴PA=PB 此时△PBC的周长=PB＋PC＋BC= PA＋PC＋BC=AC＋BC 根据两点之间线段最短可得此时△PBC的周长最小 设直线AC为，代入和得： ， 解得：， 直线AC为： 将代入中， P（-1，） 【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式和轴对称性质的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和轴对称的性质是解决此题的关键． 【变式】如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=﹣1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）经过A，C两点，与x轴正半轴交于点B． （1）求一次函数及抛物线的函数表达式． （2）在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标． （3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2+x﹣2；（2）P（﹣1，﹣）；（3）S=﹣（m﹣1）2+，当m=1时有最大值． 【详解】试题分析：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解式、轴对称最短路径问题、三角形的面积公式、二次函数求最大值，综合性较强，（1）根据对称轴求出B点坐标是解题的关键；（2）中，要熟悉轴对称的性质；（3）要熟悉二次函数求最值． （1）根据待定系数法即可直接求出一次函数解析式，根据A点坐标和对称轴求出B点坐标，利用交点式即可求出二次函数解析式； （2）要使△PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．求出直线AC解析式，将x=﹣1代入即可求出P点纵坐标，从而求出P点坐标； （3）将S△PDE转化为S△AOC﹣S△DOE﹣S△PDC﹣S△PEA，再转化为关于x的二次函数，然后求二次函数的最大值． 试题解析：解：（1）∵y=﹣x+m经过点A（﹣3，0）， ∴0=2+m，解得m=﹣2， ∴直线AC解析式为y=﹣x﹣2， C（0，﹣2）． ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=﹣1，且与x轴交于A（﹣3，0）， ∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）， ∵抛物线经过 C（0，﹣2）， ∴﹣2=a•3（﹣1），解得a=， ∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2． （2）要使△PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如图1， 连接AC交x=﹣1于P点，因为点A、B关于x=﹣1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）． ∵A（﹣3，0）（，0），C（0，﹣2）， ∴直线AC解析式为y=﹣x﹣2， ∵xP=﹣1， ∴yP=﹣，即P（﹣1，﹣） （3）如图2： ∵设CD的长为m，△PDE的面积为S， ∴D（0，m﹣2）， ∵DE∥PC，直线AC解析式为y=﹣x﹣2， ∴设直线DE解析式y=﹣x+m﹣2， 当y=0时，x=m﹣3， ∴D（m﹣3，0）， S△PDE=S△AOC﹣S△DOE﹣S△PDC﹣S△PEA =3﹣×m×﹣×（3﹣m）×（2﹣m）﹣×m×1 =﹣m2+m =﹣（m﹣1）2+， ∴当m=1时有最大值． 考点：二次函数综合题． 【巩固训练】 1．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．根据定义可得抛物线与直线的“向心值”为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将问题转化为求同一横坐标下两个函数纵坐标差的最小值，利用配方法求二次函数的最小值即可． 【详解】解：设竖直距离为，则 ， 整理得， 配方得， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为，即两个函数的“向心值”为． 2．已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 3．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 5．如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点Q作，交的延长线于点E，证明，可得，从而得到，进而得到y关于t的函数解析式，即可． 【详解】解：连接，过点Q作，交的延长线于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 根据图2得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y最小，为， 即图象中最低点的坐标是． 6．下表给出了二次函数的自变量与函数的一些对应值，该函数的图象与轴交于、，两点，点为抛物线上一动点，连接、，若，则点的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据表格确定，抛物线的顶点，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：由图表可知抛物线过点，，， ∴对称轴为直线，顶点 ∵抛物线经过点 ∴抛物线经过点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点可以是抛物线的顶点，或与的两个交点，共3个． 7．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 8．已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图像的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点， 则与轴正半轴的交点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】令抛物线解析式中和，求出与坐标轴交点，计算得；再利用三角形面积关系，得出，进而推导出；接着令，分和两种情况，结合全等三角形（）、相似三角形（）的判定与性质，以及角平分线性质等，计算得出的最小值为． 【详解】解：对于抛物线，令，即， 解得， ， ， 令，则， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，， 在内，随m的增大而减小， 当，即时，有最小值， 平分， 在和中，， ， ， 而， ， ，即， 解得，； 当时，与上面的解题过程相同． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求解、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质。解题关键是通过证明（利用三角形面积关系建立等式），再结合角平分线性质推导全等与相似三角形，最后分区间用三角形三边关系及一次函数的性质确定的最小值． 10．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 11．已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 【答案】 8 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 12．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标． 【详解】解：直线与抛物线交于A、B两点， 联立，得或， ，， ． 过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示． ． 不变， 当三点共线时，最小，即的周长最小． ， ． 设直线的函数表达式为，将，代入得， ，解得， ， 当时，． ． 故填：． 13．如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 15．已知抛物线（，为常数）过点． （1）________；（用含的代数式表示） （2）若对于任意实数，都有成立，设抛物线与直线交于，两点，点为抛物线顶点，连接，，则的面积为________． 【答案】 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，整理即可得出答案； （2）由整理得到，令，利用判别式求出的值，进而得到抛物线的解析式为，得出顶点的坐标，再利用韦达定理求出的长，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）将代入得，， 整理得； （2）由（1）可知， ， ， 即， 令， 对于任意实数，都有成立， ， ， ， 抛物线解析式为， ， 令，即， 则，， ； ． 16．如图，在中，点D为上一点，作交于点E，相交于点F，记的面积为x，的面积为y．已知的面积为3，则y关于x的函数表达式为__________，若的面积为13，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，函数关系，由，推出，可得，即，推出；由，推出，可得，构建方程组求出x，y可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：，． 17．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把 代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 19．【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．点P为x轴下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)过点P作轴于点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①，②或 【分析】（1）将点与点代入抛物线中求解即可； （2）先求解出点A与点C的坐标，再由待定系数法求解即可； （3）①按照要求作图，得到点P，点N的坐标，表示出与，分类讨论m的取值，再由矩形的周长求解C关于m的函数解析式即可； ②根据二次函数对应的函数解析式，分别求解出对称轴，结合二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点，与x轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∵当时，有， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：①根据题意作图如下： ∵点P的横坐标为m，直线的解析式为， ∴点P的纵坐标为，即点， ∵点M的横坐标为m， ∴点N的纵坐标为，即点， 当时， 有，， ∴矩形的周长为， 当时， 同理可得，， ∴矩形的周长为， 即； ②∵当时， 由可得对称轴，且， 当C随m的增大而增大时，m的取值范围为； ∵当时， 由可得对称轴，且， 当C随m的增大而增大时，m的取值范围为； 综上，当或时，C随m的增大而增大． 21．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 22．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为 ， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设 ，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设 ， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 【强化训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，过点作于．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，过点作于，过点作于， 把代入，得， 解得， 二次函数解析式为， 令，， 解得或3， ， 令，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为4． 2．如图，已知抛物线线经过点，，与y轴交于点，P为上的一个动点，连接，则下列说法错误的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．y的最大值为 C． D．的最小值时，点P的坐标为 【答案】D 【分析】由抛物线与轴两个交点坐标可求对称轴；用待定系数法求出抛物线的函数关系式，可求其最大值；由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出，和，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角，根据直线的解析式为，可设点坐标为，再根据坐标系中两点距离公式得出，根据二次函数的最小值，OP取最小值时，可得P点横坐标为． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项A说法正确； 设抛物线关系式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线关系式为：， ∴当时，y有最大值，故选项B说法正确； ∴点B坐标为，点A坐标为， ∴． 当时，， ∴点坐标为， ∴，， ∵， ∴△ABC是直角三角形，且，故选项C说法正确； ∵点、点， ∴直线的解析式为， 设点坐标为， ∴， ∴当时，，此时取最小值为． 的最小值时，点P的坐标为，故选项D说法错误 3．已知抛物线与直线相交于，两点，若，则该抛物线顶点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线顶点的坐标，设直线与的交点为，再根据与轴的夹角为得，得到关于的表达式，根据二次函数性质结合的取值范围，求出的取值范围． 【详解】解：如图，设抛物线的顶点为， ∵抛物线中，，， ∴顶点横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为． 设直线与的交点为， 当时， ∴ 过点作于点，则 ∵与轴的夹角为 ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 即 ∴． ∵关于的二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 当时，， 当时，， ∴． 4．如图，在矩形中，点在边上，且，动点以每秒个单位的速度从点出发，在矩形中沿匀速运动，到达点时停止运动，以为底边作等腰直角三角形．设点运动的时间为秒，等腰直角三角形的面积为，关于的函数图象如图所示．若存在个时间，，所对应的面积均相等，则下列选项中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等腰直角以为底，则面积为，即，当到点时，代入得；在中，，解得，即可判断A；当到点时，得．矩形中，，在中列方程，解得，进而即可求出，即可判断B；在上运动时，面积为，是关于对称的抛物线，同一时，，，，进而即可判断C和D． 【详解】解：设，斜边上的高为， ∴， ∴， 设， ∵点P速度为1单位秒，t秒后， 在中，， ∴， ∴， 由图2可得，当（P到达B点）时，， ∴ 解得， ∴，故选项A正确； 当点P在运动时，过E作于F，如图， 在矩形中，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，t秒后， ∴， 在中， ∴， 当P到达C点时，此时，由图2可得，， ∴ 解得， ∴，，， 在中，，， ∴，故选项B正确； 当时，，此时抛物线随着t的增大而增大， 由题意得，， ∴当时， ， 当时，是先减后增的抛物线，顶点在， 由题意得，， ∵ ， ∴，． ∴，故选项D正确； ∴， ∴不恒成立，故选项C错误． 5．图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为，顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】先对原抛物线配方得到顶点A和与y轴交点B的坐标，再根据绕原点旋转的坐标变换规律得到新抛物线顶点C和交点D的坐标，利用在y轴的特点，将四边形面积拆分为两个三角形面积和，列出不等式求解a的取值范围． 【详解】解：∵ ∴顶点 ， 令，得， ∴ ， ∵图形绕原点旋转时，点旋转后对应点为， ∴旋转后新抛物线顶点 ，与y轴交点 ， ∵都在y轴上， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形的面积 ， ∵四边形的面积不小于6， ∴ ， ∴或． 6．在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先根据题意确定点的运动时间及位置分段点； 对于①，当时，判断点在上，利用三角形三边关系比较与的大小，进而与比较； 对于②，当时，点在上，点在上，利用平行线间距离处处相等求出的高，列出面积关于的函数关系式，利用一次函数性质求最大值； 对于③，分和两种情况，分别列出面积方程求解，判断解的个数． 【详解】解：由题意得，点到达点的时间为，到达点的时间为； 点到达点的时间为， 运动时间为． 对于①，当时，点在上， 此时，． 在中，， ，故①错误． 对于②，当时，点在上，点在上， 四边形是平行四边形， ， 点到的距离等于点到的距离． 如图，过点作于点， 在中，，， ， 的高为， ， ， ，随的增大而减小． 当时，最大，最大值为，故②正确． 对于③，当时，点在上，点在上，， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 令，整理得， 解得， ， （舍去）， 此时有一个解． 当时，点在上，点在上， 由（2）知，令，解得， ， 此时有一个解． 综上，有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确的结论有②③，共2个． 7．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】作轴于点H，利用可得，则转化为，求出点A，C的坐标，进而求出直线的解析式，用含m的式子表示出，转化为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：如图，作轴于点H， 令， 解得，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为； 点P的横坐标为m， 点P的坐标为，点E的坐标为， ，，， ， ， ， 的最大值为4． 8．给定抛物线，其顶点为点，其对称轴交轴于点，现给定一条过点的直线（直线除外）与抛物线交于两点，直线分别交轴于点，则的值为_____． 【答案】16 【分析】先配方求出抛物线的顶点D坐标和对称轴，得到点M坐标，设出过点R的直线l的表达式，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再求出直线与x轴的交点P、Q的横坐标，化简计算即可得到结果． 【详解】解：如图所示， ∵抛物线 ∴顶点，对称轴为，对称轴交轴于， ∴， 设过点的直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立直线与抛物线的方程得， 整理得， 由根与系数的关系得：，， 设，， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 将代入得，， 设直线与轴交点为，令，得 ∴， 同理可得，设，则． ∵的横坐标为， ∴，， 则 ， ∴的值为16． 9．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 10．如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】先求得、，易得，则是等腰直角三角形，即；由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得，．易得是等腰直角三角形，如图：过D作于N，过C作于M，证明可得，设，则，，即，解得：；然后用m表示出、，最后代入求值即可． 【详解】解：∵令时， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵令时，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的外心． ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图：过D作于N，过C作于M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴的面积； ∵过D作于N，， ∴， ∴的面积为， ∴． 11．如图，在矩形纸片中，，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，点为中点，连接、．有下列结论： ①垂直平分；②；③； ④若、分别为线段、上的动点（不包括端点），且，当面积最大时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【分析】对折使与重合，因为是对折折痕，所以利用矩形对折的性质判断与的位置关系和等分关系，验证结论①，沿折叠点到，根据折叠性质得、、，结合垂直平分得，在中利用直角三角形边角关系求的度数，再在中用三角函数判断和的数量关系，验证结论②；先求长度，结合是中点得相关线段长度，再计算等线段长度，判断的形状，结合与的度数关系，用三角形中位线定理或同位角相等判断与的平行关系，验证结论③；先确定的度数，设为参数，用表示，结合长度表示，利用三角形面积公式写出的面积关于参数的函数，用二次函数性质求面积最大时的值求出相关线段长度即可验证结论④． 【详解】结论①：因为对折矩形使与重合，折痕过中点，且 ， 所以垂直平分，①正确； 结论②：由折叠知，， 在 中，​， ∴，， 由折叠知， 在 中，， ，②错误，不符合题意； 结论③：由折叠性质得 ，由矩形的性质可知， ∴， ∵是中点， ∴， ∴； 在 中，，由折叠性质得 ， ∴ ， ∵ ，， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴ ，结论③正确； 选项④： 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作于点， 设，则，，， ∴面积为： 二次函数最大值在​时取得，此时，，，； ∴ ， ， ​所以 ④正确． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，中，，线段把图形（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是____． 【答案】1 【分析】连接，先分别求出与的面积，再求出线段与其上方抛物线构成图形的面积与线段与其上方抛物线构成图形的面积相等，则可得两部分面积之差的绝对值是，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 将代入得：，解得或， ∴，， ∴， 抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，， 由题意，可设点的坐标为，则， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，即其图象关于轴对称， ∴抛物线在轴上方的图象在轴的左右两侧部分的面积相等， ∴线段与其上方抛物线构成图形的面积与线段与其上方抛物线构成图形的面积相等， ∴两部分面积之差的绝对值是． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，线段与直线相交于点E．连接，线段与直线相交于点F．求的最大值及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，若线段在y轴上滑动（点M在点N上方），且线段，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)1； (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可； （2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用二次函数的性质即可求出点P的坐标； （3）设滑动后，的对应点分别为，，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当，，三点共线时，有最小值，得到有最小值，利用两点间距离公式求解即可； 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点，且当时，， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点 ，则，， ， 轴， ， ， 当取最大值时，取得最大值， ， 当时，取得最大值， 则， 的最大值为1，点的坐标为． （3）解：过点作的平行线，截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为定值， 当，，三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)QD的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的表达式为，设点，则点，得到．根据二次函数的性质进行解答即可； （3）分、、三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ， 把此点坐标代入得：， 即抛物线的解析式为：． （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把代入中，得， ∴点， 设直线的表达式为， 则， 解得：，， ∴直线：， 设点，则点， ∴． ∴当时，取最大值． （3）解：为直角三角形分三种情况： ①当时， 如图，过P作x轴的平行线，交y轴于N，过B作于M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设P点为，即， 解得：或， 即或， ②如图，当时，过P作轴于H，同理可得：， 即， 解得：， 即． ③当时，如图所示，同理知，， 即，解得：， 即． 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 16．如图，抛物线与轴相交于两点，抛物线上另一点在轴的下方，且使． (1)求线段的长度； (2)设直线与轴交于点，点是的中点，求直线和抛物线的解析式； (3)在（2）问条件下，直线的下方抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线解析式为：，抛物线解析式为： (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）令，求出的值，确定出与坐标，根据已知相似三角形得比例，求出的长即可； （2）根据为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，确定出的坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，把坐标代入抛物线求出的值，确定出二次函数解析式即可； （3）过作轴的垂线，交于点，设出与的横坐标为，分别代入抛物线与直线解析式，表示出纵坐标，相减表示出，四边形面积最大即为三角形面积最大，三角形面积等于与和横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得：， ∴， ， ， ， ， 则（负值舍去）； （2）解：∵是的中点，即为斜边的中线， ， 过点作， ∴， ∴点的横坐标为， 又， ∴， ∵点在轴下方， ， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ， 又∵点在抛物线上，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：点存在， 设点坐标为， 过点作轴交直线于点， 则， ， 在三个点为定点，故的面积为定值， ∴当面积最大时，四边形的面积最大， ， 当时，有最大值，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 17．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 18．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，过抛物线的顶点C作轴，交x轴正半轴于点D，交于点E，P为射线上一点，作点P关于直线的对称点Q，交于点F，连接，已知． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)当点P的纵坐标是1时，判断点Q是否落在抛物线上，并说明理由； (3)连接． ①若四边形的面积是的面积的4倍，求点P的坐标； ②设线段交抛物线于点M，若，，四边形的面积分别记为，，则 ． 【答案】(1)证明：∵是对称轴，； ∴， ∴， ∴， 当，则， 当，解得：，， ∴抛物线与x轴交点；；与y轴交点为， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)解：不在，理由如下：设直线为， ∵，， ∴， ∴，即直线为， 当时，，即E点为， ∵，则， ∴， 如图，连接， ∵由（1）得是等腰直角三角形． ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：，，，即Q坐标为， 当时，抛物线， 故Q点不在抛物线上． (3)①；② 【分析】（1）利用抛物线的对称轴求解，进一步求解，，即可得到结论； （2）求解直线为，，可得，如图，连接，结合轴对称的性质可得：，，，即Q坐标为，进一步求解即可； （3）①因为是等腰直角三角形，设，由E点坐标可得，用a表示和，根据四边形的面积是的面积的4倍，可知，列方程即可求出a，从而得到P点坐标． ②同（1）由①得：设，则P点坐标为，Q点坐标为，根据，利用三角形相似求出点M坐标，进而求出a的值，再根据面积的求法求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①由（2）可知是等腰直角三角形，，则P点坐标为， ∴Q点坐标为， ∵抛物线的顶点C为， ∴， ∴， 连接， ， ∵，四边形的面积是的面积的4倍， ∴， ∴， 整理得， 解得：（舍去），， 故P点坐标为； ②由①得：设，则P点坐标为， ∴Q点坐标为， ∵C点坐标为，E点坐标为， ∴， 作，垂足为H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴M坐标为， 又∵在抛物线上， ∴当时，则， 解得：，， 因为M点在的右边，所以M点为， ∴，解得：， ∴P点坐标为，Q点坐标为， ∴，， ∴， ， ∴. 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形面积综合、平面直角坐标系的点坐标变换、由直线围成的面积的求法，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点的求解，不规则的面积求法、点坐标变换的求法．明确直线上E与两个对称点构成等腰直角三角形表示坐标Q是解题的关键，也是求解本题的突破口． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展04 二次函数中的线段、周长、面积问题 1. 能够在二次函数图像中准确求出动点背景下线段的长度，掌握线段最值的常用求解思路。 2.理解周长问题转化为线段最值的处理方法，会利用对称、坐标分析求解周长的最大值与最小值。 3.练运用割补法求解二次函数中的图形面积，能够把面积问题转化为函数关系式进行计算。 4.综合运用数形结合思想，处理动点变化下线段、周长、面积的综合题型，规范书写解题步骤。 1. 利用二次函数求线段最值的问题： 模型定义 在平面直角坐标系中，以二次函数图像为动点轨迹，结合定点、定直线，求单条线段的长度最值。通过设动点坐标，将线段长度转化为关于动点横坐标的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解极值，是二次函数几何综合的基础题型。 核心结论与方法 坐标轴平行线段（最简型） 竖直线段：两点横坐标相同时，线段长 = 两点纵坐标差的绝对值； 水平线段：两点纵坐标相同时，线段长 = 两点横坐标差的绝对值； 此类线段可直接通过坐标作差表示，转化为一次或二次函数求最值。 任意斜线段（两点间距离） 设抛物线上动点 （ 满足抛物线解析式），定点 ，由两点间距离公式： 核心技巧：因根号具有单调性，求 的最值等价于求 的最值，代入 的表达式后，根号内为关于 的二次式，可直接配方求最值，避免开方运算。 点到直线的垂线段 抛物线上动点到定直线的距离，可通过距离公式转化为二次函数，开口向上时有最小值。 解题步骤 设动点横坐标为 ，代入抛物线解析式表示出纵坐标； 根据线段类型（水平/竖直/斜线），写出长度（或长度平方）的代数式； 整理为二次函数顶点式，结合自变量的取值范围； 代入顶点横坐标或端点值，求出线段最值及对应点坐标。 典型应用 抛物线上动点到定点的最短距离；动点到定直线的最小距离；平行于坐标轴的动线段长度最值。 2. 利用二次函数求线段和最值的问题： 模型定义 已知两个定点，一个动点在抛物线（或定直线）上运动，求两条线段长度之和的最小值；核心思路是通过几何对称转化或代数建模，将折线段和转化为可求解的二次函数或直线段，依据“两点之间线段最短”求解。 核心结论与方法 基础几何原理（将军饮马模型） 两定点在动点轨迹同侧：作其中一个定点关于动点轨迹的对称点，对称点与另一定点的连线长度，即为线段和的最小值，连线与轨迹的交点为取最值的点。 两定点在动点轨迹异侧：直接连接两定点，线段长即为和的最小值。 二次函数建模法 设动点横坐标为 ，分别表示两条线段的长度，求和得到关于 的函数； 若表达式可化为二次函数形式，通过配方求顶点处的最值；若含双重根号，优先用几何对称法简化计算。 多线段和拓展：通过平移、对称将多条折线段转化为连续线段，再结合二次函数验证最值。 解题步骤 确定定点位置与动点的运动轨迹； 同侧定点先作对称转化，将折线和拉直为直线段； 无几何捷径时，设动点坐标建立线段和的二次函数模型； 求解最值，验证取最值时点是否在轨迹范围内。 典型应用 抛物线对称轴上的点到两定点的距离和最小值；抛物线上动点到两定点的路径最短问题；折叠、平移背景下的线段和最值。 3. 利用二次函数求线段差最值的问题: 模型定义 已知两个定点，动点在抛物线或定直线上运动，求两条线段长度之差的最大值/最小值，依据三角形三边关系分析极值位置，结合二次函数坐标法验证与求解。 核心结论与方法 核心几何原理 三角形两边之差小于第三边：对任意动点 ，满足 ；当且仅当 、、 三点共线时， 取得最大值，最大值等于线段 的长度。 位置分类处理 两定点在动点轨迹同侧：直接延长直线 ，与动点轨迹的交点即为差最大的点； 两定点在动点轨迹异侧：作其中一点关于轨迹的对称点，转化为同侧后再延长连线求最大值； 线段差最小值：若 的垂直平分线与动点轨迹有交点，则差的最小值为 ；无交点则结合二次函数求取值范围内的最小值。 二次函数验证：设动点坐标，写出线段差的表达式，通过函数单调性与顶点分析最值，多用于复杂轨迹的验证计算。 解题步骤 判断两定点与动点轨迹的位置关系； 同侧直接延长连线，异侧先对称再连线，找到差最大的点； 用坐标法计算最值，结合自变量范围验证合理性； 求最小值时，先判断垂直平分线与轨迹是否有交点，再用二次函数分析。 典型应用 抛物线对称轴上的点到两定点的距离差最大值；抛物线上动点的线段差极值；结合三角形三边关系的范围判断。 4. 利用二次函数求周长最值的问题: 模型定义 三角形、四边形等几何图形的顶点包含抛物线上的动点，图形周长随动点位置变化。通过拆分周长为“定长线段+动长线段”，将周长最值问题转化为线段和最值问题，结合对称法与二次函数建模求解。 核心结论与方法 核心解题思路 先识别周长中的固定边长（定长），仅需求解动线段部分的最值，再加定长即可得到周长最值，实现问题简化。 常见题型分类 三角形周长最值：一条边为定长，另外两条边为动线段 → 转化为两条动线段的和最值，用将军饮马模型求解； 四边形周长最值：一组对边为定长，剩余两条边为动边 → 转化为动边和的最值；若两条邻边为定长，则拆分对角线转化。 二次函数建模 设动点横坐标为 ，用含 的代数式表示所有动边长度，求和得到周长关于 的二次函数，配方后求顶点处的最值。 解题步骤 拆分周长，计算固定边长的总长度； 将剩余动线段的和作为目标，转化为线段和最值问题； 用对称法或二次函数法求出动边和的最值； 动边最值加定长得到周长最值，验证点的位置是否符合要求。 典型应用 抛物线上两定点与一动点构成的三角形周长最小值；抛物线与坐标轴围成的四边形周长最值；动点形成的特殊图形周长极值。 5. 利用二次函数求面积最值的问题: 模型定义 平面直角坐标系中，三角形或四边形的顶点包含抛物线上的动点，通过坐标法将图形面积表示为关于动点横坐标的二次函数，利用二次函数性质求面积的最大值/最小值，是二次函数综合题的核心高频题型。 核心结论与方法 三角形面积核心方法：铅垂高法 对任意三点构成的三角形，取两点确定水平方向的距离为水平宽（两点横坐标差的绝对值），第三点到该两点连线的竖直距离为铅垂高，则： 该方法无需计算底和高的实际长度，仅用坐标差即可计算，适配所有坐标系中的三角形。 四边形面积处理 分割法：沿对角线拆分为两个三角形，分别用铅垂高法计算后求和； 割补法：用外接大矩形面积减去周围多余直角三角形的面积。 最值规律 面积表达式通常为开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值；若动点有取值范围限制，需结合端点值比较后确定最值。 简便特例：若三角形有边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接以该边为底，用坐标差求高计算。 解题步骤 设动点横坐标为 ，代入抛物线表示出纵坐标，确定所有顶点坐标； 选择铅垂高法/分割法/割补法，列出面积的代数式； 整理为二次函数一般式，配方得到顶点式； 结合自变量取值范围，求出面积最值及对应动点坐标。 典型应用 抛物线上一动点与两定点构成的三角形面积最大值；抛物线与坐标轴围成的图形面积计算；动点四边形的面积最值与范围。 题型01利用二次函数求线段最值的问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【变式】如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值； (3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围． 题型02利用二次函数求线段和最值的问题 【典例】在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C．已知．． (1)求此抛物线的解析式； (2)若M为线段上一点，过点M作轴，交抛物线于点D．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，直接写出的最小值． 【变式】已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． (1)求抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 题型03利用二次函数求线段差最值的问题 【典例】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【变式】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点在轴上移动，当△是直角三角形时，直接写出点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点，使||的值最大，求出点的坐标． 题型04利用二次函数求面积最值的问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【变式】平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 题型05利用二次函数求周长最值的问题 【典例】已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）在对称轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在请求出点的坐标．若不存在请说明理由． 【变式】如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=﹣1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）经过A，C两点，与x轴正半轴交于点B． （1）求一次函数及抛物线的函数表达式． （2）在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标． （3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【巩固训练】 1．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．根据定义可得抛物线与直线的“向心值”为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．下表给出了二次函数的自变量与函数的一些对应值，该函数的图象与轴交于、，两点，点为抛物线上一动点，连接、，若，则点的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 10．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 11．已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 12．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 13．如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 15．已知抛物线（，为常数）过点． （1）________；（用含的代数式表示） （2）若对于任意实数，都有成立，设抛物线与直线交于，两点，点为抛物线顶点，连接，，则的面积为________． 16．如图，在中，点D为上一点，作交于点E，相交于点F，记的面积为x，的面积为y．已知的面积为3，则y关于x的函数表达式为__________，若的面积为13，则的值为__________． 17．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 18．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 19．【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．点P为x轴下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)过点P作轴于点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 22．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【强化训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 2．如图，已知抛物线线经过点，，与y轴交于点，P为上的一个动点，连接，则下列说法错误的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．y的最大值为 C． D．的最小值时，点P的坐标为 3．已知抛物线与直线相交于，两点，若，则该抛物线顶点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点在边上，且，动点以每秒个单位的速度从点出发，在矩形中沿匀速运动，到达点时停止运动，以为底边作等腰直角三角形．设点运动的时间为秒，等腰直角三角形的面积为，关于的函数图象如图所示．若存在个时间，，所对应的面积均相等，则下列选项中错误的是（     ） A． B． C． D． 5．图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为，顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．或 6．在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为______． 8．给定抛物线，其顶点为点，其对称轴交轴于点，现给定一条过点的直线（直线除外）与抛物线交于两点，直线分别交轴于点，则的值为_____． 9．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 10．如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 11．如图，在矩形纸片中，，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，点为中点，连接、．有下列结论： ①垂直平分；②；③； ④若、分别为线段、上的动点（不包括端点），且，当面积最大时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，中，，线段把图形（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是____． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，线段与直线相交于点E．连接，线段与直线相交于点F．求的最大值及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，若线段在y轴上滑动（点M在点N上方），且线段，连接，，求的最小值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 16．如图，抛物线与轴相交于两点，抛物线上另一点在轴的下方，且使． (1)求线段的长度； (2)设直线与轴交于点，点是的中点，求直线和抛物线的解析式； (3)在（2）问条件下，直线的下方抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 18．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，过抛物线的顶点C作轴，交x轴正半轴于点D，交于点E，P为射线上一点，作点P关于直线的对称点Q，交于点F，连接，已知． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)当点P的纵坐标是1时，判断点Q是否落在抛物线上，并说明理由； (3)连接． ①若四边形的面积是的面积的4倍，求点P的坐标； ②设线段交抛物线于点M，若，，四边形的面积分别记为，，则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $