专题09 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题09 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 题型二、一元二次方程的解求参数的值 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：方程中含字母系数，围绕根的定义、判别式、韦达定理及根与系数关系设问。 - 解题方法：根据条件列方程或不等式；利用韦达定理整体代换；注意隐含条件（二次项系数不为0、判别式非负）。 - 易错提醒：忽略二次项系数为零的分类讨论；判别式适用前提是已化为一般式；韦达定理只适用于有实根情况。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 典例1．（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：含参数方程需满足“一元”（只含一个未知数）且“二次”（最高次数为2，二次项系数不为0）。 2.方法：由次数为2列方程求参数，并检验二次项系数不为0，同时排除使一次项消失（若要求一元）的情况。 变式1-1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 变式1-2．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 变式1-3．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 题型二、一元二次方程的解求参数的值 典例2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 题型模版 1.特征：已知方程的一个或两个解（根），反求方程中待定的字母系数。 2.方法：将解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组），解出参数并验证是否满足原方程。 变式2-1．（2026·安徽安庆·一模）若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 变式2-2．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 变式2-3．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 典例3．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 题型模版 1.特征：已知方程的解（根），求由这些根构成的代数式（如对称式、分式）的值。 2.方法：利用韦达定理（根与系数关系）求两根和与积，再将代数式变形为含“和”与“积”的形式代入计算。 变式3-1．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 变式3-2．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 变式3-3．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 典例4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 题型模版 1.特征：已知方程根的情况（两不等实根、两相等实根或无实根），反求参数范围。 2.方法：使用判别式 Δ = b² - 4ac，根据 Δ>0、Δ=0、Δ<0 列不等式（或等式）求解参数。 变式4-1．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 变式4-2．（25-26八年级下·山东威海·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 综上可得的取值范围是且． 变式4-3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 典例5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 题型模版 1.特征：已知方程两根之间的某种关系（如相等、互为倒数、满足某等式），反求参数。 2.方法：利用韦达定理写出x1+x2和x1x2，将已知关系转化为含参数的方程，解之并验证判别式。 变式5-1．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 变式5-2．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 变式5-3．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，只需将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程，结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，且， 整理，得且， 解得． 4．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 5．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 7．（25-26九年级下·吉林·期中）若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 8．（2026·江苏徐州·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，由已知可得，，，，从而建立关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意可得， 解得． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 10．（25-26八年级下·北京·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 【答案】 且 2 【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大于0，据此求出的取值范围； 若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合的取值范围求出最小整数即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实根， ∴该方程为一元二次方程，可得， ∵方程有两个不相等的实根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且； 若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式必须是完全平方数，即 为完全平方数 设（为正整数），则， 当时，，不符合，舍去， 当时，，符合条件， ∴整数的最小值为． 三、解答题 11．（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 12．（2026·安徽淮北·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 即， 解得． 实数的取值范围是． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，． 则 ， ∵， ∴，即， ∴ 或， ， 当时，． 13．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 14．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【详解】（1）解方程， 因式分解得， 解得，， ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； （2）解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； （3）设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法， 夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 题型二、一元二次方程的解求参数的值 题型三、 一元二次方程的解求代数式的值 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：方程中含字母系数，围绕根的定义、判别式、韦达定理及根与系数关系设问。 解题方法：根据条件列方程或不等式：利用韦达定理整体代换；注意隐含条件（二次项系数不为0、判 别式非负)。 -易错提醒：忽略二次项系数为零的分类讨论：判别式适用前提是已化为一般式：韦达定理只适用于有实 根情况。 ◆◆ 夙题型到归纳一精讲典型题法，寿尖解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 典例1. （25-26八年级全国暑假作业)关于x的方程(m+3列x7+x-1= 是一元二次方程，则为 题型模版 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：含参数方程需满足“一元”（只含一个未知数)且“二次”（最高次数为2，二次项系数不为 0)。 2方法：由次数为2列方程求参数，并检验二次项系数不为0，同时排除使一次项消失（若要求一元）的情 况。 变式1-1.(25-26八年级下浙江台州期中)若关于x的方程x1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值 为 变式1-2。(25：26八年级下安徽阜阳阶段检测)若关于*的方程(m-3列x+2x-5= 是一元二次方程， 则m= 座式13.(2526八年级下山东东营阶段检测)关于x的方程m+2)r+m+1=0是一元二次方程， 则m的值为一 题型二、一元二次方程的解求参数的值 典例2.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是x=1 则m的值为 题型模版 1特征：已知方程的一个或两个解（根），反求方程中待定的字母系数。 2方法：将解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组），解出参数并验证是否满足原方程。 变式21，(2026安微安庆一模)若一元二次方程a-2)r-2x+1=0 的一个解为x=1,则“的值为 变式2-2. （2026江西上饶三模)已知关于x的一元二次方程a-2列r-3x+a-4= 有一个根为x=0, 则a= 变式23.(2026四川宜宾一模)已知关于x的一元二次方程a+1)r-2x+a+a=0有 有一个根为术=0， 则a的值为 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 典例3.(25-26八年级下北京期末)若x=2是关于x的一元二次方程a2-bx+4=0的一个根，则 2026-2a+b的值是 题型模版 1.特征：己知方程的解（根），求由这些根构成的代数式（如对称式、分式）的值。 2方法：利用韦达定理（根与系数关系）求两根和与积，再将代数式变形为含“和”与“积”的形式代入 计算。 变式3-1.(2026甘肃天水中考真题)已知m是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则代数式 2m2+4m 的值是 变式3-2.(25-26八年级下福建福州期末)已知x=a是方程x2+3x-1=0的一个根，则代数式 a2+3a+V5 的值为 变式3-3.(25-26八年级全国暑假作业)已知a是关于x的一元二次方程x2-2012x+1=0的一个根，则 a2-2011a 2012 a2+1的值为 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 典例4.(25-26八年级下山东淄博·期末)若关于x的方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为 题型模版 1.特征：已知方程根的情况（两不等实根、两相等实根或无实根），反求参数范围。 2.方法：使用判别式△=b2·4c,根据△>0、△=0、△<0列不等式（或等式）求解参数。 变式4-1.(25-26八年级下·吉林期末)已知关于x的一元二次方程2x-4x+a=0有两个不相等的实数根， 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则a的取值范围是 变式42.(25-26八年级下·山东威海期末)若关于x的一元二次方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数 根，则a的取值范围是 x2-(2k+1)x+k=0 变式4-3.(25-26八年级下·山东泰安期末)若关于x的一元二次方程 有两个不相等 的实数根，则k的取值范围为 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 典例5.(25-26八年级下·山东青岛期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实 数根， (I)求m的取值范围； (②若5-(：+)=m2-15 求m的值. 题型模版 1.特征：己知方程两根之间的某种关系（如相等、互为倒数、满足某等式），反求参数。 2方法：利用韦达定理写出+x和x1,将已知关系转化为含参数的方程，解之并验证判别式。 变式5-1.(25-26八年级下·山东威海期末)已知关于x的一元二次方程x2-2ac-3a+1=0有两个不相等 的实数根 (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根： (2若“， B 2+B2=26 a 是该方程的两个根，且 ,求的值 x2+(2m-1)x+m2-1=0 变式5-2.(25-26八年级下·山东济南期末)已知关于'的一元二次方程 有实数根」 (1)求实数m的取值范围； 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若方程的两实数根分别为 ,,且满足3+6+)= ,求实数m的值. x2+bx+c=0(a≠0) 变式5-3.(25-26八年级下·安徽毫州期末)若关于x的一元二次方程 的两根为 戈，则+5= .c 。5=。这就是一元二次方程根与系数的关系 0-元=次方转2×-5-10附两根为、、，则+5 ,xX2= -； (2)已知关于x的一元二次方程2-(2k+1)x+号k2-2=0. 2 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： ②若方程的两个实数根为、与，满足+6=25+5 求k的值. 同压轴挑战一支克满障压轴，变破思维上很 一、单选题 1.(2526九年级上湖南张家界期末)关于*的方程(m-2刃r-5x-1=0是一元二次方程，那么m的 值为() A.2 B.-2 C.+2 D.±3 2.(25-26八年级下浙江绍兴期末)关于x的一元二次方程x2-x+k+1=0中，k>0,则该方程的根的情 况是() A.两实数根之和为1 B.两实数根之积为1 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 3.(25-26八年级下黑龙江绥化阶段检测)已知=0是一元二次方程 m-2)x2+4x+4-m2=0 的一个根， 则m的值为() A.-2或2 B.-2 C.2 D.0 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026四川广元中考真题)若关于x的一元二次方程x2+bx+3=0有两个相等的实数根，则b的值为 () A.26 +2W3 B C v3 D.3 5,(25-26八年级下重庆期末)已知关于的一元二次方程-3rx+m+7m=0 X1 X2 的两个实数根为，， 且满足58 m ,则的值为()· A.-9 B.2 C.2或-9 D.-2或9 二、填空题 6,（25-26九年级上：全国期末)若关于x的方程n-3列x+-1= 是一元二次方程，则n= 7.(25-26九年级下·吉林期中)若x=2是关于x的一元二次方程am2+bx-2=0(a≠0)的解，则代数 式11-4a-2b的值是一 8.(2026江苏徐州二模)若关于x的一元二次方程x2+4x-2m=0有两个相等的实数根，则m= 9.(25-26八年级下浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个不相等的实数根m和 m2+n2=6 b= ,且 则 x2-(2k+1)x+k=0 10.(25-26八年级下·北京阶段检测)关于的方程 有两个不相等的实根，则的取 值范围是 若该方程的两个实根均为有理数，则整数k的最小值为 三、解答题 11.(25-26九年级上·北京海淀期末)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+2cx-c2=0的一个根，求代 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数式e+3c-3)+c(e-4的值. 12.(2026安徽准北二模)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-2m-3=0有两个实数根. (I)求实数m的取值范围； ②设，是方程的两个实数根，若+发=2， 求实数m的值 mx2-(2m+2)x+m+2=0 13.(25-26八年级下·北京期末)已知关于x的方程 (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根， mx2-（2m+2)x+m+2=0 (2)若关于x的方程 根均为正整数，求整数m的值. （m+1)x2-2mx+m-1=0 14.(25-26八年级下·浙江丽水·期末)已知关于x的方程 (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解： (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根： X1一无2 ②己知x和，是该方程的两个根，求出2的值。（用含m的代数式表示） 15.(25-26八年级下·浙江杭州期种)如果关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根，且 其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x+x=0的两个根 是=05= ，则方程+x=0 “邻根方程”. (1)通过计算，判断方程x2+3x+2=0是否为“邻根方程”. (2)已知关于x的方程 x2-(m+2)x+2m=0 是“邻根方程”，求m的值. 3)若关于*的方程+bx+2=0(a>0 是“邻根方程”，令=12a-,试求'的最大值. 7/7