第21章 一元二次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册第21章一元二次方程单元复习卷，以真实情境与创新定义题设计，覆盖方程解法、应用及根的性质，适配单元能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、增长率、根与系数|农业科技情境（第2题）考查模型意识| |填空题|5/15|判别式、双循环赛制|第12题结合校园活动，体现应用意识| |解答题|8/75|解法综合、实际应用|含新能源汽车销售（22题）、新定义“倒方程”（21题），发展创新思维与运算能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 4．方程的根是（     ） A． B． C． D． 5．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 6．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 9．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 10．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 12．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 13．已知，则___________． 14．若方程组的两组解为，，则________． 15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 17．（8分）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 18．（8分）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 19．（8分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 20．（10分）关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 21．（10分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 22．（10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 23．（11分）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C A B D A C C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12．8 13．或 14．18 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分） （1）解：直接开平方，得， 或， ，；（2.5分） （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，；（5分） （3）解：移项，得． ， ， ， ，；（7.5分） （4）解：， ， ， ，．（10分） 17． （8分） （1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得．（3分） （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，，（4分） ∴， 解得，．（6分） ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴．（8分） 18．（8分） 解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得，（2分） 解得，，（5分） 当时，，符合题意；（6分） 当时，，不符合题意舍去．（7分） 答：的长为6米，的长为5米．（8分） 19．（8分） 解： ，（4分） 无论取何实数，总有， ，（6分） ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23．（8分） 20．（10分） （1）解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是．（3分） （2）解：解方程，得．（5分） ∵， ∴正整数的值为1，2，3．（6分） 当时，，不合题意，所以舍去；（7分） 当时，，不合题意，所以舍去；（8分） 当时，，得到方程的根为，，都是整数．（9分） ∴正整数的值是3．（10分） 21．（10分） （1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是；（1分） （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程，（3分） 得， 解得；（5分） （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程，（7分） 得， ∴．（10分） 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 22．（10分） （1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得，（3分） 解得，（负值不符合题意，舍去），（4分） 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；（5分） （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得，（7分） 解得，，（9分） 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元．（10分） 23．（11分） (1)不是（1分） (2)或（3分） （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴，（5分） ∵方程是“和积方程”， ∴，（6分） 当时， 整理得， 解得（舍去）或；（8分） 当时， 整理得， 解得或；（10分） ∴m的值为或或．（11分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 3．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 4．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 5．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 6．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 7．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 9．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 10．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 【答案】C 【分析】先由直线与双曲线无交点推出与异号，再分别判断两人说法的正误． 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 12．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 13．已知，则___________． 【答案】或 【分析】将两个已知等式作差分解因式，分和两种情况计算的值． 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 14．若方程组的两组解为，，则________． 【答案】 【分析】可把看作一元二次方程的两个根，另外由根的确定性可以得到两组解是方程的两个根互换，进而可以得到答案． 【详解】解：由方程组，可知和是一元二次方程的两个根， ∴两根之和，两根之积， ∵题目中两组解为和， ∴两组解是方程的两个根互换，即，，，， ∴， 代入，得：． 15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，；（2.5分） （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，；（5分） （3）解：移项，得． ， ， ， ，；（7.5分） （4）解：， ， ， ，．（10分） 17．（8分）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得．（3分） （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，，（4分） ∴， 解得，．（6分） ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴．（8分） 18．（8分）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得，（2分） 解得，，（5分） 当时，，符合题意；（6分） 当时，，不符合题意舍去．（7分） 答：的长为6米，的长为5米．（8分） 19．（8分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ，（4分） 无论取何实数，总有， ，（6分） ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23．（8分） 20．（10分）关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围． （2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是．（3分） （2）解：解方程，得．（5分） ∵， ∴正整数的值为1，2，3．（6分） 当时，，不合题意，所以舍去；（7分） 当时，，不合题意，所以舍去；（8分） 当时，，得到方程的根为，，都是整数．（9分） ∴正整数的值是3．（10分） 21．（10分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是；（1分） （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程，（3分） 得， 解得；（5分） （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程，（7分） 得， ∴．（10分） 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 22．（10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得，（3分） 解得，（负值不符合题意，舍去），（4分） 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；（5分） （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得，（7分） 解得，，（9分） 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元．（10分） 23．（11分）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是（1分） (2)或（3分） （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴，（5分） ∵方程是“和积方程”， ∴，（6分） 当时， 整理得， 解得（舍去）或；（8分） 当时， 整理得， 解得或；（10分） ∴m的值为或或．（11分） 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章一元二次方程·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是() A.x2-y=2 B.2X-2=X X C.ax2-3x+3=0 D.3x2-2x=2x2 2.随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优 质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究.某果农在两年前采用旧技术种植橙子， 每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多0.5吨.设每亩产量的年平均增长率为X, 根据题意，下列方程正确的是()· A.21+x2=2+0.5 B.21+x2=2+0.5 C.21+x=2+0.5 D.21+2x=2+0.5 3.甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为 -4和-5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是() A..x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 4.方程x(x-5)=x-5的根是() A.X1=X2=5B.X1=0,x2=5 C.x1=1,x2=5 D.X1=0,X2=-5 5.关于x的方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的值可以是下列哪个数() A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 6.新定义：若关于x的一元二次方程。X+bx+c=0a≠0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另 个根的，倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”.若关于×的一元二次方程mX-2m+nx+2n=0 是“倍根方程”，则代数式2m二”的值为(） m+2n 1/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 12 3或 2 B. 3或g D. 7.根据小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是( 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是 这个数的2倍？ A.1 B.4 c.-1 D.1或4 8.关于x的一元二次方程kx2-4x+5=0有实数根，则k的取值范围是() A.k≤4且k≠0 B.k2-4且k0 5 c.k号 D太号a:0 9.已知x=-2是方程mx2+m2x+6=0的解，则m的值是() A.m=3 B.m=-1 c.m=-1或3 D.m=-3或1 10.若直线y=mx(m≠0)和双曲线y=”(n≠0)在同一坐标系内的图象没有交点，则关于x的一元二次方 X 程mx2+bx+n=0的根的情况： 嘉嘉说：、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：x=0一定不是方程的根。 他俩的说法，正确的是() A.嘉嘉正确，琪琪不正确 B.嘉嘉不正确，琪琪正确 C.他俩说的都正确 D.他俩说的都不正确 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知关于x的一元二次方程kx2-6X-1=0没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值： 12.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环 赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有支 13.已知x=2y+5,y2=2x+5,则x+y+y= 14.若方程组x+y=7的两组解为x1=a,X,-02,则aa,+b,b, y=9 y1=b1y2=b2 15.若关于x的一元二次方程x+2x+3m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 三、解答题（共8小题，共75分） 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(10分)解方程. (四)x-3P=25(用直接开方法)： (2)-X-3x+1=0 (用配方法)： (3)5x-18=9x (用公式法)； (④3x2-9x+1=0 (用适当的方法). 17.(8分)关于x的一元二次方程x+(2k+1)x+k2+1=0 (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围. (2)若方程有两个实数根xx,且满足x2+X2=5求k的值. 18.(8分)为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点， 如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形ABCD且一边靠墙：这堵墙长10米，在垂直于墙的两 边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门.围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需 高度适当的板材14米.请求出这个快递投放点的边AB和BC的长. D 进口 出口 B 19.(8分)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例：已知x可 取任何实数，试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围. 解： 2x2-12x+14=2x2-6x+14=2X2-6x+32-32)+14 =2x-32-9+14=2x-3}-18+14=2x-32-4. :无论x取何实数，总有x-3≥0 315 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2x-32-4≥-4 即无论x取何实数，2x2-12x+14的值总是不小于-4的实 数、 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式-3x+12x+11的最值情况， 20.(10分)关于x的方程x2+4x+2m-3=0. (1)若方程有实数根，求m的取值范围： (2)若方程的两个根都是整数，求正整数m的值. 21.(10分)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理 解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx+bx+a=0是一元二次方程ax+bx+c=0的倒方程，其 中a,b,c为常数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方程是 (2)若x=-1是一元二次方程x-2x+c=0的倒方程的解，求出c的值； (3)若m是一元二次方程-6x+x+1=0的倒方程的一个实数根，求m+m-6m+2026的值. 22.(10分)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某 品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增， 3月份的销售量达到5.07万辆.某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一 款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售 出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96 万元. (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率： (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 23.（1分)材料一：定义：若关于x的一元二次方程aX2+bx+C=01a≠0有两个实数根X,X2:且满足 x+x=xx2则称此类方程为“和积方程”. 例如：父-gx+号-0可x-3k-引-0解符x=3% 2×2 2 :13+引=3×2引，-号x+号=0呢和积方程 2 4/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程。X+bx+C=0a≠0的两 个实数根为，X,则：X+X,=名xx=台，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦过 a 定理”· (1)方程x2-5x+6=0_(填是或不是)“和积方程”： (②若关于x的方程X-n+3X+3n=0是“和积方程”，则n= (3)若关于x的一元二次方程X2+2m+1x+m+2m=0是“和积方程”，求m的值. 515