专题08 一元二次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题08 一元二次方程的解法的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 题型二、配方法解一元二次方程 题型三、公式法解一元二次方程 题型四、用因式分解法解一元二次方程 题型五、换元法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含一个未知数、最高次为2，通常化为一般式ax2+bx+c=0。 - 解题方法：优先考虑因式分解（十字相乘）法；系数复杂时用公式法；缺常数项用直接开平方或提公因式；缺一次项用直接开平方。 - 易错提醒：先化为标准形式；注意a≠0；公式法须先算判别式；开平方要带号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 典例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 题型模版 1.特征：方程可化为x2=p或(ax+b)2=p（p≥0）的形式，缺一次项。 2.方法：直接对两边开平方，得x=或ax+b=，再解一次方程。 变式1-1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 变式1-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 变式1-3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 题型二、配方法解一元二次方程 典例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，或可通过变形凑成完全平方式。 2.方法：移常数项，加一次项系数一半的平方配方，写成(x+n)2=p，再开方求解。 变式2-1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； (1) (2)． 变式2-2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 变式2-3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型三、公式法解一元二次方程 典例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 题型模版 1.特征：适用于所有一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，无需特殊形式，通用解法。 2.方法：代入求根公式x=，先计算判别式=b2-4ac再求根。 变式3-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 变式3-2．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 变式3-3．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 题型四、用因式分解法解一元二次方程 典例4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积（提公因式、十字相乘、平方差等）。 2.方法：移项使右边为0，左边因式分解，令各因式为0，得两个一元一次方程求解。 变式4-1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 变式4-2．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 变式4-3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 题型五、换元法解一元二次方程 典例5．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 题型模版 1.特征：方程含有相同或对称的重复结构（如高次、分式、根式），通过整体代换可化为二次方程。 2.方法：设重复部分为新未知数（如设 t = x + ），解出t后，再代回解原未知数。 变式5-1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 变式5-3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 6．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 8．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 三、解答题 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 10．（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 11．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 12．（26-27八年级·上海·暑假作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 13．（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 14．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 15．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次方程的解法的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 题型二、配方法解一元二次方程 题型三、公式法解一元二次方程 题型四、用因式分解法解一元二次方程 题型五、换元法解一元二次方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含一个未知数、最高次为2，通常化为一般式ax2+bx+c=0。 - 解题方法：优先考虑因式分解（十字相乘）法；系数复杂时用公式法；缺常数项用直接开平方或提公因式；缺一次项用直接开平方。 - 易错提醒：先化为标准形式；注意a≠0；公式法须先算判别式；开平方要带号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法解一元二次方程 典例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 题型模版 1.特征：方程可化为x2=p或(ax+b)2=p（p≥0）的形式，缺一次项。 2.方法：直接对两边开平方，得x=或ax+b=，再解一次方程。 变式1-1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 变式1-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 变式1-3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （3）（4）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得，； （2）解： ， ， ， 解得，； （3）解： ，即或， 解得，； （4）解： ，即或， 解得，． 题型二、配方法解一元二次方程 典例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 题型模版 1.特征：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，或可通过变形凑成完全平方式。 2.方法：移常数项，加一次项系数一半的平方配方，写成(x+n)2=p，再开方求解。 变式2-1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 变式2-2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）（2）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （4）先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可． 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，， ， 解得，． 变式2-3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 题型三、公式法解一元二次方程 典例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 【详解】（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 题型模版 1.特征：适用于所有一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，无需特殊形式，通用解法。 2.方法：代入求根公式x=，先计算判别式=b2-4ac再求根。 变式3-1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数解； (3)，． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 变式3-2．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 变式3-3．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 题型四、用因式分解法解一元二次方程 典例4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 题型模版 1.特征：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积（提公因式、十字相乘、平方差等）。 2.方法：移项使右边为0，左边因式分解，令各因式为0，得两个一元一次方程求解。 变式4-1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 变式4-2．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【详解】（1）解：因式分解，得， ，； （2）解：提取公因式，得， 即， ，． 变式4-3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 题型五、换元法解一元二次方程 典例5．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 题型模版 1.特征：方程含有相同或对称的重复结构（如高次、分式、根式），通过整体代换可化为二次方程。 2.方法：设重复部分为新未知数（如设 t = x + ），解出t后，再代回解原未知数。 变式5-1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 变式5-3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 6．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 8．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 三、解答题 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 10．（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 11．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 12．（26-27八年级·上海·暑假作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 解得或 所以，原方程的根是，． （2）解： 整理得 或 解得或 所以，原方程的根是，． （3）解： 移项，得 或 解得或 所以，原方程的根是，． 13．（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】(1)①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立 (2)， 【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； （2）正确利用配方法进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）解：二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 14．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 15．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $