专题12 平方根与立方根的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以五类核心题型为框架，通过解题通法+题型模版构建“概念性质-应用综合-规律拓展”的三阶突破体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|平方根非负性/符号规则/开方互逆|从概念本质到运算规则，夯实基础| |题型归纳|5题型（每题型1典例+3变式）|双重非负性应用/相邻平方数定位/规律代数式归纳|从单一性质到综合应用，层层递进| |压轴挑战|14道综合题|跨知识点整合/复杂规律推导|对接中考命题趋势，提升问题解决能力|

专题05 平方根与立方根的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 题型三、平方根与立方根的综合问题 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 题型五、与立方根有关的规律探索题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：求非负数的平方根、算术平方根及任意数的立方根，常与方程结合求参数或解方程。 - 解题方法：平方根（a≥0），算术平方根取正；立方根符号保持；解方程时方程两边同时开方或开立方，注意开方要加。 - 易错提醒：忽视被开方数非负导致增根；混淆平方根与算术平方根（如=3，而非3）；开立方时丢掉负号；根号内带分数计算时未化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 典例1 （25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：含算术平方根，且被开方数非负、根式值非负，常用于求字母范围或方程取值。 2.方法：利用双重非负性，即被开方数≥0且√a≥0；若多个非负数之和为0，则各项均为0。 变式1-1（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知实数a，b满足，则________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，两个非负数相加等于0，则两个算术平方根各自为0，列出二元一次方程组，解出a、b的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴． 变式1-2（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 变式1-3（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若实数x，y满足，则____． 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 解得：， ∴． 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 典例2 （25-26七年级下·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 题型模版 1.特征：求无理数的整数部分与小数部分，需判断该数在哪两个连续整数之间。 2.方法：找到与算术平方根相邻的两个完全平方数，较小者为整数部分，原数减整数部分得小数部分。 变式2-1（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，进而得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，， ， 不等式同乘得，， 不等式两边同时加得， ， 是的整数部分， ， 是的小数部分， ， ． 变式2-2（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 变式2-3（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 【答案】21或5 【分析】本题考查了平方根，估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据平方根的定义求出的值，估算出的范围，求出、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是4的平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 同理， ∵是的整数部分， ∴， ∴或， 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 题型三、平方根与立方根的综合问题 典例3 （25-26七年级下·河北保定·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据定义列出关于的方程组，求解得到的值； （2）将的值代入计算得到的值，最后根据平方根的定义求得结果． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， 联立得方程组， 解得； （2）解：将，代入，得 ， ∵， ∴的平方根是． 题型模版 1.特征：同时涉及平方根与立方根运算，利用开方与乘方互逆关系求值或化简。 2.方法：先分别开方或立方，再合并同类项；或设方程利用平方根、立方根定义互为逆运算求解。 变式3-1（25-26七年级下·陕西·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) 的值为6，的值为6 (2) 【分析】(1)根据平方根与立方根的定义分别列出关于的方程，解方程即可； (2)把(1)中求得的值代入，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， ∵的立方根是3， ∴，解得， ∴的值为6，的值为6； （2）解：由(1)知， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 变式3-2（25-26七年级下·湖北孝感·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，的值分别是6，3 (2)3 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）由（1）及立方根可进行求解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ， 的立方根是， ， ∴， ； ，的值分别是6，3； （2）解：， ∴， 的立方根是3． 变式3-3（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义可求出，根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求解； （2）根据平方根及立方根的定义求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵非零实数的算术平方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：，， ∵是的平方根与的立方根之和， ∴， ∴或， ∴或， ∴的立方根是． 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 典例4 （25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 题型模版 1.特征：观察一组算术平方根的运算规律（如递推、整数部分变化），求第n项或猜想。 2.方法：列举前几项，寻找递推公式或周期，将规律用代数式表示，再代入n求解或验证猜想。 变式4-1（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数 (2)①，，3，，，；②对于任意实数． 【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答； （2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答． 【详解】（1）解：①，，， ， ， . ②对于任意非负数. （2）解：①，， ， ，，. ②归纳总结：对于任意实数. 变式4-2（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【答案】(1)15.6；158；； (2)；15； (3)这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【分析】（1）根据表中数据结合算术平方根的特点求解即可； （2）求解，，再进一步求解即可； （3）设长方形宣传栏的宽是，则长是，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ∴, ； ， ∴， ． （2）解：∵， 的平方根是； ∵， ∴与最接近的整数是； （3）解：设长方形宣传栏的宽是，则长是， ∴， ∴， 结合表中数据可得：， ∴， ∴这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 变式4-3（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【分析】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 题型五、与立方根有关的规律探索题 典例5 （25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】(1)①两；②9；③3，39 (2)①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：观察一组立方根的运算规律（如符号变化、递推），求第n项或猜想结论。 2.方法：列举前几项，分析底数或指数的变化模式，用代数式表示通项，再验证后代入求解。 变式5-1（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 变式5-2（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 变式5-3（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 4．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 5．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 6．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 7．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 10．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 11．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 14．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平方根与立方根的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 题型三、平方根与立方根的综合问题 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 题型五、与立方根有关的规律探索题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：求非负数的平方根、算术平方根及任意数的立方根，常与方程结合求参数或解方程。 - 解题方法：平方根（a≥0），算术平方根取正；立方根符号保持；解方程时方程两边同时开方或开立方，注意开方要加。 - 易错提醒：忽视被开方数非负导致增根；混淆平方根与算术平方根（如=3，而非3）；开立方时丢掉负号；根号内带分数计算时未化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 典例1 （25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 题型模版 1.特征：含算术平方根，且被开方数非负、根式值非负，常用于求字母范围或方程取值。 2.方法：利用双重非负性，即被开方数≥0且√a≥0；若多个非负数之和为0，则各项均为0。 变式1-1（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知实数a，b满足，则________． 变式1-2（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 变式1-3（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若实数x，y满足，则____． 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 典例2 （25-26七年级下·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 题型模版 1.特征：求无理数的整数部分与小数部分，需判断该数在哪两个连续整数之间。 2.方法：找到与算术平方根相邻的两个完全平方数，较小者为整数部分，原数减整数部分得小数部分。 变式2-1（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 变式2-2（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为________． 变式2-3（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 题型三、平方根与立方根的综合问题 典例3 （25-26七年级下·河北保定·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型模版 1.特征：同时涉及平方根与立方根运算，利用开方与乘方互逆关系求值或化简。 2.方法：先分别开方或立方，再合并同类项；或设方程利用平方根、立方根定义互为逆运算求解。 变式3-1（25-26七年级下·陕西·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 变式3-2（25-26七年级下·湖北孝感·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 变式3-3（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 典例4 （25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 题型模版 1.特征：观察一组算术平方根的运算规律（如递推、整数部分变化），求第n项或猜想。 2.方法：列举前几项，寻找递推公式或周期，将规律用代数式表示，再代入n求解或验证猜想。 变式4-1（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 变式4-2（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 变式4-3（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 题型五、与立方根有关的规律探索题 典例5 （25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 题型模版 1.特征：观察一组立方根的运算规律（如符号变化、递推），求第n项或猜想结论。 2.方法：列举前几项，分析底数或指数的变化模式，用代数式表示通项，再验证后代入求解。 变式5-1（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 变式5-2（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 变式5-3（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 4．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 6．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 7．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 三、解答题 9．（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 10．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 11．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 14．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $