专题10 立方根（六大题型18道题）-2026-2027学年苏科版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

**基本信息** 以立方根概念为起点，通过六大递进式知识点（概念理解→求立方根→逆运算→规律探索→实际应用→综合应用）覆盖18道题，形成从基础到综合的知识逻辑链，突出运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题|判断/填空，考查立方根定义与性质|概念生成基础| |求立方根|3题|选择/计算，直接求数的立方根|概念到基本运算| |已知立方根求原数|3题|选择/解答，逆用立方根定义|运算逆向思维| |规律探索|3题|选择/规律归纳，立方根小数点移动规律|运算规律提炼| |实际应用|3题|几何体积/球体积计算，解决实际问题|数学模型应用| |综合应用|3题|与平方根结合的解答题，综合运算|知识横向联结|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题10 立方根（六大题型18道题）） 目录 知识点一立方根概念理解 1 知识点二求一个数的立方根 2 知识点三已知一个数的立方根，求这个数 3 知识点四与立方根有关的规律探索 5 知识点五立方根的实际应用 6 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 8 知识点一立方根概念理解 1．下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 2．若和都是的立方根，则 ___________， ___________． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了立方根的定义和解一元一次方程．先根据立方根的定义确定根指数，求出b的值，再利用两个立方根相等得到被开方数相等，求出a的值． 【详解】解：和都是的立方根， ，． 解得∶，． 故答案为∶6；1 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根解方程，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ， ． 知识点二求一个数的立方根 4．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 5．的平方根是___________；0.729的立方根是____________． 【答案】 【分析】是先化简，再根据定义计算，注意区分所求平方根是化简后的数的平方根． 【详解】解：∵，的平方根为， ∴的平方根是； ∵， ∴的立方根是． 6．已知实数，，，，且，互为倒数，的绝对值为，的算术平方根是8，求． 【答案】 【分析】先根据题意求得，，，的值，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ． 知识点三已知一个数的立方根，求这个数 7．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 8．若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 9．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 知识点四与立方根有关的规律探索 10．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 11．已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 12．观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1) 解：依题意，（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， （3）解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 知识点五立方根的实际应用 13．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 14．已知球的体积公式为(为球的半径)，若某小球的体积为，则该小球的半径为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵小球的体积为，即， ∴， 解得， ∴该小球的半径为， 故答案为：． 15．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 16．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 17．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 18．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质，解二元一次方程组，利用正数的平方根互为相反数建立方程，结合算术平方根的定义求解参数，再计算表达式的值求立方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，整理得 又的算术平方根是， 解方程组， 解得 则 的立方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题10 立方根（六大题型18道题）） 目录 知识点一立方根概念理解 1 知识点二求一个数的立方根 1 知识点三已知一个数的立方根，求这个数 2 知识点四与立方根有关的规律探索 2 知识点五立方根的实际应用 3 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 4 知识点一立方根概念理解 1．下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 2．若和都是的立方根，则 ___________， ___________． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 知识点二求一个数的立方根 4．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 5．的平方根是___________；0.729的立方根是____________． 6．已知实数，，，，且，互为倒数，的绝对值为，的算术平方根是8，求． 知识点三已知一个数的立方根，求这个数 7．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 8．若，则的立方根是__________． 9．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 知识点四与立方根有关的规律探索 10．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 11．已知，如果，则_____． 12．观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 知识点五立方根的实际应用 13．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 14．已知球的体积公式为(为球的半径)，若某小球的体积为，则该小球的半径为___________． 15．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 知识点六算术平方根和立方根的综合应用 16．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 17．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 18．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $