专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“性质-判定-综合应用”为主线，通过七类题型系统构建等边三角形解题方法体系，融合几何直观与推理能力，实现从基础到压轴的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|性质用三边等/三角60°/四心合一，判定用三边等/三角等/含60°等腰，作高线构30°直角三角形|从概念本质延伸至辅助线策略，明确易错点| |7类题型|每类1典例+3变式|求角用内角60°+外角定理，求边用√3/2边长关系，多解题分类讨论位置，多结论题逐一推理|从单一性质应用到性质判定综合，衔接含30°直角三角形、斜边中线定理| |压轴挑战|20题|动态探究中旋转全等、最值问题构建模型|整合中考高频考点，提升空间观念与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题9等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 题型二、根据等边三角形的性质求边 题型三、与等边三角形有关的多解题 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 题型六、含30°角的直角三角形 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。 -解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三角 形；常作高线构造含30°的直角三角形。 -易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件，忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定：30°直角 三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。 夙题型归纳一情讲夹型题法，务尖解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 典例1(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，△ACD是等边三角形，若∠BCA=∠EAD,BC=AE, ∠E=132°，则∠B=一°. 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。 2方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。 变式1-1(2026广东潮州一模)如图，D是等边三角形ABC中AB边上任意一点，以点C为中心，把 △CBD顺时针旋转60°得到△CAE.若AE⊥CE,则∠BCD= A E D B 变式1-2(25-26八年级上湖北十堰期末)如图，在等边△ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点， AD=8cm,点P是AD边上的一个动点，当PC+PE最小时，求∠CPE=. 变式1-3(25-26八年级上·江苏南通·阶段检测)如图，等边△ABC的边长为2，D是BC的中点，点E在线 段AD上，连接BE,在BE的下方作等边△BEF,连接DF,CF,则∠DCF的度数是 一，当△BDF 的周长最小时，∠DBF的度数是 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 题型二、根据等边三角形的性质求边 典例2(25-26八年级下·四川达州阶段检测)已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至 E,使CE=CD=1,连接DE,则BE=_ B 题型模版 1特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2倍边长。 2方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1：√3：2，列式求解。 变式2-1(25-26八年级下河南平顶山期末)如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且 MP L AB于点P,M1BC于点M,PWL4C于点N,老MB=15cm,CM的 cm 于点，若 “的长为 N M 变式2-2(25-26七年级下·海南海口·期末)如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一点，△ABC关于 AD成轴对称，则∠ADC的度数是°；点E是边AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，若 AD=4,则BE+EF的最小值是 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 变式2-3(25-26七年级下山西太原期末)请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点P是等边三角形 ABC内任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别是D,E,F,若AB=6,则AE+BF+CD的值为 E 题型三、与等边三角形有关的多解题 典例3(25-26七年级下四川成都期末)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上， 且ED=EC.若△ABC的边长为2，AE=4,则线段CD的长为 题型模版 1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。 2方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。 变式3-1(25-26八年级上河北秦皇岛期末)如图，等边△ABC边长为10cm,D为AB上一点，AD=8. 动点P由B出发以lcm/s的速度沿BC边向点C运动，同时动点Q由点C出发以acm/s的速度沿CA边向点A 运动.若存在某一时刻使得△DBP与△PCQ全等，则a=cms. D B 变式3-2(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)已知等边△ABC,点D为射线BA上一点，连接DC,作 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=DC BC AC=6,BE=2 交直线于点E.若 BD 则的长为 变式3-3(25-26七年级下江西九江·期末)在等边△ABC中，点E是△ABC的中线AD上一点， ∠AEB=105°，点P是△ABC边上一点，若BE=EP,则∠BEP的度数为 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 典例4(25-26八年级下广东梅州期中)如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都 是等边三角形，连接AE、CD交于点H,下列选项正确的序号是 ①AE=DC:②∠DHA=60°；③DH=HC:④连接HB,则HB平分∠AHC; 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。 2方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。 变式4-1(25-26七年级下·四川达州·阶段检测)分别以△ABC的两边AB、AC向形外作等边△ABD和等边 △ACE,BE、CD分别交AC、AB于点H、G,BE、CD相交于点F,连接AF并延长交BC于M点，则 下列结论中正确的是·（填序号） ①△ADC≌△ABE;②BE=CD;③∠DFB=6O°；④AM平分∠BAC;⑤FM平分LBFC. B 变式42(25-26八年级上河南南阳阶段检测)如图，已知等边三角形ABC,AB=2，点D在AB上，点 F在AC的延长线上，BD=CF,DE⊥BC于点E,FG⊥BC于点G,DF交BC于点P,则下列结论：① 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=CG:②△EDP≌aGFP:③∠EDP=6O°：④EP=L.其中一定正确的是 (填序号) D CG 变式43(25-26八年级上河南开封期中)如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D,E是线段AD上一点， F是边AB上一点，且满足CE=EF,G是BF的中点，连接EG,则下列四个结论：①BD=DC;② ∠CEF=120°；③∠ACE=∠BFE;④AE=2GE;⑤当∠AEF=15°时，∠BEC=150°.其中正确的结论 是 (填序号) G D 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 典例5(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°，点D是△ABC外一 点，连接AD、CD,DA=DC,过点D作DE∥BC分别交AB、AC于点E、F. (I)求证：△AEF是等边三角形： (2)连接BD交AC于点G,若AB=15,DE=10,求AE的长. 题型模版 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。 2方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。 变式5-1(25-26八年级下·内蒙古期末)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足 为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的，连接DF,已知EF过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的度数： (2)若EC=2,求AE的长度： (3)求证：△CEG是等边三角形. 变式5-2(25-26八年级下江西吉安·阶段检测)如图1，点C为线段AB上一点.△ACM,△CBN是等边 三角形，线段AN,MC交于点E,线段BM,CN交于点F,连接EF. M C 图1 图2 (I)求证：AN=BM: (2)求证：aCEF为等边三角形： (3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，如图2.试判断第(1)、(2)两小题的结论 是否仍然成立（不要求证明）. 变式5-3(25-26八年级上辽宁大连期末)在△ABC中，∠ABC=2∠ACB=2a,AD是高，E是BC上一点. DE DE 图1 图2 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若AE平分∠BAC, ①求∠DAE的度数；（用含a的式子表示） ②求证：AC=CE+2DE」 BF (②)如图2，当a=150,∠C4E=45时，若点F在射线BA上，且CF=CE,求AB+AE的值. 题型六、含30°角的直角三角形 典例6(26-27八年级上·全国开学考试)如图，己知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在 边OB上，PM=PN.若MN=2,则OM的长是一 y 0460 B 题型模版 1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1：√3：2。 2方法：利用特殊角边比关系，己知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。 变式6-1(25-26八年级上河北期末)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD,AB=BD, ∠ABD=120°，BC=4m,则AB的长度为m. 变式6-2(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30°， 则△ABD的面积为 30° 变式6-3(25-26八年级下·辽宁铁岭期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,∠ABC=60°」 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC的平分线AD交BC于点D,E、F分别是AD和AC上的动点，则CE+EF的最小值是 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 典例7(26-27八年级上江苏无锡开学考试)如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部 件的尺寸.已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度分别为2,8，则CD的长为 D B T中中 0123456789 题型模版 1特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。 2方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。 变式7-1(25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点A和顶 点B分别在y轴正半轴及x轴正半轴上运动，若AB=8,AC=6,则在运动过程中，线段OC的最大值是 B 变式7-2(25-26八年级上：江苏泰州阶段检测)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6, 线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动，且DE=5,若点M,N分别是DE,AB的中点， 则MN的最小值为一 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C E B 变式7-3(25-26八年级上四川绵阳阶段检测)如图，△ABC中，∠BAC=135°，AB,AC的垂直平分线 相交于点P,分别交BC于点E,F,与AB,AC分别交于点D,G.PH⊥BC,若△AEF的周长是12Cm, 则PH= cm 同压轴挑战一攻克离难压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26九年级上云南曲靖期未)在△ABC中，∠C=90°，∠A=30,BC=2,则AB的长为() A.2 B.4 C25 D.45 2.(25-26八年级上贵州黔南期末)如图，在等边△ABC中，点D,E分别在AB,BC上，且 BD=CE,AE与CD相交于点F,则∠AFD的度数为() D A.30° B.60° C.45° D.50° 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上北京西城期末)如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=120°，P,Q分别是边 AC,BC BP,P 上的两个动点，连接 ·若当BP PO AC 的和最小时，的长为1，则的长为() B A A.3 B.4 C.6 D.8 4.(25-26八年级上山东临沂期末)如图，在等边△ABC中，P为边AB上的一点，若∠APE=30°，D 为边AC上的一点，连接PD交BC的延长线于点Q,当PA=CO时，DE=I,则△ABC的周长为() D B A.5 B.6 C.7 D.8 5.(25-26八年级上黑龙江齐齐哈尔期末)等边△ABC,点D、E分别是BC、AC上的点且 BD=EC,连接AD、BE相交于点P,以下结论： ①△ABD≌aBCE;②∠I=∠2；③△ABE≌aCAD;④∠3=∠PAE: D 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，点D为等腰△ABC底边BC上一点，且AD=BD,如果 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=120°，BC=5,则AD= D 7.(25-26八年级上·云南昆明期末)数学活动课上，同学们将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的 方式放置，若∠ADC=60°，点E,F表示的刻度分别为2,6，则线段AF的长为一 03456 8910 /D 8.(25-26八年级上天津西青·期末)如图，已知等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线 上一点，且CE=CD,作DM⊥BC,垂足为M,连接DE,若AB=12,则BM的长度为一 B F 9.(25-26八年级上陕西西安·月考)在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，点E是AB边上一点，若 △BDE为等腰三角形，则∠EDA= 10.(25-26八年级上·天津期中)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A 向点C运动（与A,C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方 向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D. (1)若设AP=x,则PC= :(用含x的式子表示) ∠BQD=30°， CQ= (2)当 时，求 (③)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上：湖南长沙期末)如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边上一点，延长BC至 E,使CE=AD.若点D是AC的中点. (I)求证：BD=DE: (2)延长ED交AB于点F,若BF+CE=15,求AF的长. 12.(2026八年级全国·专题练习)将两个大小不同的含30°角的直角三角板ABC和ADC按右图所示的方 式摆放，∠ABD的平分线交AD于点E,交AC于点F. (I)求证：AF=EF」 (2)若CF=5,求DE的长. 13.(25-26八年级上河南洛阳月考)如图，已知AE1BC,∠ADB=120°，∠CAE=30° D (I)求证：△ACD为等边三角形： 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠B=42°，求∠BAC的度数. 14.(25-26八年级上：广东汕头·期末)如图1，△ABC是等边三角形，延长AB至点D,过点D作 DE∥BC,交AC的延长线于点E B 图1 图2 (I)求证：△ADE是等边三角形 (2)如图2，延长DE至点F,使得EF=AB,连接CF,CD.求证：CF=CD, 15.(25-26八年级上安徽阜阳期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC,D是BC边上动点 (不与B,C重合)，点E在AC边上，连接AD,DE,AD=AE,AF平分∠BAD交BC于点F,连接EF. (I)当△AEF为等边三角形时，求∠EDC的度数： (2)探究∠BAF与∠EDC之间的数量关系，并说明理由. 16.(25-26八年级上·山东德州期末)如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线 AC上，且AE=BD 图1 图2 (I)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G,求∠CGE的度数： (2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由.如变化，请求出∠CGE的度数， 17.(24-25八年级上河南信阳期中)如图，点O是△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110° ∠BOC=a,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°，连接OD (I)求证：aOCD是等边三角形； (2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当x为多少度时，△AOD是等腰三角形 18.(25-26八年级上：广东湛江·期中)如图，在△ABC中，AB=AC=BC=9cm,点M、N分别从点A、 点B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度是lcm/s,点N的速度是2cms,当点N第一次到达 B点时，M、V同时停止运动 M ←-NB (I)点M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？ (②)点M、N同时运动几秒后，可得到等边△AMN? (3)点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN,如果能，请求出此时M、N运动 的时间. 19.(25-26八年级上·河北衡水期末)操作探究：已知△ABC是等边三角形，点P是边AC上一点 ←OB O B 图1 图2 图3 (I)如图1，过点P作PF∥BC,交AB于点F,图中有一个等边三角形： 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2，点P在AC上运动（不与AC重合），点是CB延长线上一点，且BQ=AP,过P作PE⊥AB于 豆，连接P0交1B于D:试说明：在点p运动的过程中，线段ED的长是定值仰DE=4), (3)若将条件中“△ABC是等边三角形”改为“△ABC是等腰三角形，CA=CB”,如图3所示，(2)中 的结论是否还成立？请说明理由 20.(25-26八年级上辽宁大连期中)(1)在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且满足 DE=EF,∠DEF=60° B D D B D N (1) (2) (3) ①如图(I),若△ABC为等边三角形，求证：BD=CE: ②如图(2)，若∠A=90°，∠B=60°，且AD=5,CE=8,求BE的长： (2)如图(3)，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，BC=CD.过点C分别作AB,AD的垂线， AB 垂足分别为M,N.若BM=2DN,求AD的值. 16/16 专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 题型二、根据等边三角形的性质求边 题型三、与等边三角形有关的多解题 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 题型六、含30°角的直角三角形 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。 - 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三角形；常作高线构造含30°的直角三角形。 - 易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件；忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定；30°直角三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 典例1（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则_____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型模版 1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。 2.方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。 变式1-1（2026·广东潮州·一模）如图，是等边三角形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转得到．若，则________． 【答案】/30度 【分析】根据等边三角形的性质可知，由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得． 【详解】解：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， ， ． 变式1-2（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 变式1-3（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【详解】解： 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：；． 题型二、根据等边三角形的性质求边 典例2（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2倍边长。 2.方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1:√3:2，列式求解。 变式2-1（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，， 设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 变式2-2（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，在等边中，点是边上的一点，关于成轴对称，则的度数是________°；点是边上任意一点，点是边上任意一点，若，则的最小值是________． 【答案】 90 4 【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵关于成轴对称， ∴． 如图，过点作于点，交于点， 连接， ∵关于成轴对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点与点重合，点与点重合时，的长为的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是4． 变式2-3（25-26七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 题型三、与等边三角形有关的多解题 典例3（25-26七年级下·四川成都·期末）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】点在直线上，需分两种情况讨论，分别是点在线段的延长线和点在线段的延长线，过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质计算的长度． 【详解】解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 则； 当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 则， 综上，的值为或． 题型模版 1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。 2.方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。 变式3-1（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 设运动时间为，用含有t的式子将表示出来，再根据题意，分为和两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为，则，，， 如图当时， 可得，， ，， ； 当时， 可得，， ， ， ； 综上所述，为或． 故答案为：或． 变式3-2（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边，点D为射线上一点，连接，作，交直线于点E．若，则的长为_______． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质． 过点作于点，然后分两种情况讨论，点在线段上时或点在线段延长线上时，根据角直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或8． 变式3-3（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。 变式4-1（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点H、G，、相交于点F，连接并延长交于M点，则下列结论中正确的是______．（填序号） ①；②；③；④平分；⑤平分． 【答案】①②③⑤ 【分析】由等边三角形的性质可得，，，从而可得，再利用“”证明，即可判断①正确；由全等三角形的性质可得，即可判断②正确；由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理并结合对顶角相等即可判断③正确；作于，于，则，证明，再结合角平分线的定义即可判断⑤正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质即可判断④错误． 【详解】解：①和都为等边三角形， ∴，，， ，即， 在和中， ， ∴，①正确； ②， ，②正确； ③， ， 又，，， ，③正确； ⑤作于，于，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分，⑤正确； ， ， ，，只有时，，而不一定等于， 不一定等于，④不正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 变式4-2（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知等边三角形，点在上，点在的延长线上，于点于点交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是____．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，可以证，进而得出，据此可判断①，证明，，可知，可得，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，则可判断③． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， , ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴． ∵ ∴，即．故④正确． 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 变式4-3（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是________．（填序号） 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，如图，根据等边三角形的性质可得①符合题意；证明，可得，结合，进一步可得②符合题意；证明，可得， 可得③符合题意；证明，进一步可得④符合题意；求解，进一步可得⑤符合题意． 【详解】解：连接，如图    ∵是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，，故①符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③符合题意； ∵，是的中点， ， 故④符合题意； ， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：①②③④⑤． 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 典例5（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。 2.方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。 变式5-1（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 变式5-2（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． (3)结论（1）成立，结论（2）不成立 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 变式5-3（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 题型六、含30°角的直角三角形 典例6（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1:√3:2。 2.方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。 变式6-1（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． 变式6-2（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 变式6-3（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，连接，证明，将转化为，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，取得最小值，即点到的距离． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点、、在同一条直线上且时，有最小值， 即的最小值为点到的距离， 过点作于点，则即为所求最小值， 在中，，， ， 在中，，，， ， 的最小值为． 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 典例7（26-27八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【分析】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 题型模版 1.特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。 2.方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。 变式7-1（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．取的中点E，连接，当O，E及C三点共线时，最大，此时，由勾股定理求出，，即可得出结论． 【详解】解：取的中点E，连接， 则， 当O，E及C共线时，最大， ，， ， ， ， 故答案为：． 变式7-2（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得 ，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值， ∵，，，点M、N分别是，的中点， ∴ ，， ∴的最小值为． 故答案为：. 变式7-3（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）在中，，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边的长为斜边长的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接，此时，，，即与的和最小，，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质分别求出、即可求得的长． 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接， 此时，，，即与的和最小， ∵在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于． ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ∵ ， 的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 5．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）等边， 点 、分别是 、上的点且，连接、 相交于点 ，以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，找出对应的等量关系是解题的关键． 由为等边三角形，得出，，结合，可证结论①，由结论①可证出结论②，由角度和边长的等量关系，通过线段和差证出，即可证明结论③，由结论③证出结论④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 即，故结论②正确； ∵，， ，， ∴， ∵，， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有个， 故选D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，点D为等腰底边上一点，且，如果，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，推出为含30度角的直角三角形，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点D为等腰底边上一点，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和，等边三角形的判定和性质，两点间的距离；由得，由三角形内角和得，证得是等边三角形，再根据两点间的距离即可解答． 【详解】解：由图可知， ∴， ∵直角三角板中， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E，F表示的刻度分别为2，6， ∴， ∴， 故答案为4． 8．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在等边中，是边上的中线，点是边上一点，若为等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质，可得垂直于，且．分类讨论为等腰三角形的三种情况：、、，其中不可能，故只考虑前两种情况，分别计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， 当时， 则， ∴； 当时， 计算得， ∴； 当时，点不在边上，舍去； 综上，或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·天津·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则 ；（用含的式子表示） （2）当时，求 ； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 【答案】 不变， 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解，根据即可求解； （3）过点作的平行线交于点，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． （3）当点、运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点作的平行线交于点，   ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 故答案为：不变，． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是等边三角形，点D是边上一点，延长至E，使．若点D是的中点． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质即可证明； （2）首先易得，再由含度角直角三角形的性质得，，进而得，，由建立方程可求得． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ； （2）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 12．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点． （1）通过角度计算证明是等边三角形从而得出边相等； （2）利用含角的直角三角形的性质结合求出，再根据角度关系得出的长度即可． 【详解】（1）证明：由题意，得，． 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ． 又， ， ， ． ， ． 13．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边三角形性质和平行线的基本性质可得，进而得证； （2）通过等边三角形性质和线段的和差关系得到，，再利用证得，进而可得证． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明和是等边三角形， ，， ， 即， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，且是边上动点（不与重合），点E在边上，连接平分交于点F，连接． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，则，根据等边对等角得到，根据三角形内角和求出，根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可得到． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 又平分， ， ， ， ， 又， ； （2）解：．理由如下： ∵，， ， 设，则， ， ， ， ， 平分， ， ． 16．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，已知在等边三角形中，点D、E分别在直线AB、直线上，且． (1)当点D、E分别在边、边上时，如图1所示，与相交于点G，求的度数； (2)当点D、E分别在边CA、边的延长线上时，如图2所示，的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出的度数． 【答案】(1)60° (2)不变；60° 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到, 推出, 根据全等三角形的性质得到, 根据三角形外角的性质即可得到结论： （2）由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到, 利用等角的补角相等得到夹角相等，利用得到与 全等，利用全等三角形的对应角相等得到, 利用外角性质及等量代换即可得证 【详解】（1）证明：为等边三角形， , 在和中 , , , , , , , （2）证明：为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 18．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 19．（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 20．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）（1）在中，点D，E，F分别在边上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值． 【答案】（1）①证明见解析；②的长为6；（2） 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得，由全等三角形的性质即可得出． ②在取点G，使得，连接．同（1）得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出，设 则，，．由含30度直角三角形的性质得出，代入即可求出x． （2）延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接．先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：（1）①∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴ ②解：在取点G，使得，连接． 同（1）得， ∴，， ∵，且． ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 同理可证∶，， ∴，， ∵， 设，，， 则，，， ∵，，， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $