4.5.2等边三角形的性质与判定（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.5.2等边三角形的性质与判定 （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 题型三 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等 题型四 利用等边三角形的性质求最值 题型五 证明等边三角形 题型六 等边三角形中的多结论问题判断正误 能力提升题 题型一 探究等边三角形中的折叠问题 题型二 探究等边三角形中的动态问题 题型三 探究等边三角形中线段或角度之间的关系 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 1．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，为等边三角形，D是边上一点，在边上取一点F，使，在上取一点E，使，则 ． 3．如图，等边中，是高，延长到点E，使，则 °． 4．如图，是等边三角形，P点在外部，Q点在内部，若将绕点B顺时针旋转可得到，则的度数为 度． 5．如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等边的边上各取一点，使，，相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 9．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 10．若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 11．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 12．如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 13．如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则 ． 14．如图，，点，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，，均为等边三角形，若，则 ． 15．如图，． (1)求证：； (2)当，时，求点A到点的距离． 题型三 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等 16．如图，是等边三角形，是中线，延长到点，使，连接，则和是否相等?为什么? 17．如图，是等边三角形，是上一点，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 18．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 19.如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 题型四 利用等边三角形的性质求最值 20．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 21．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 22．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 23．如图，等边三角形中，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，， 则的最小值为 （用含有m或n的式子表示）． 题型五 证明等边三角形 24．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 25．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 26．已知a，b，c为的三边边长，且满足方程组，则是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 27．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    28．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形． 29．如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 30．如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 31．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 32．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 题型六 等边三角形中的多结论问题判断正误 33．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 34．如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；．其中正确的有（     ） A． B． C． D． 35．如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 36．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（    ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 39．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 ． 题型一 探究等边三角形中的折叠问题 40．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 41.如图，等边边长为3，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点A折叠，使点B与C重合，得折痕交于F，然后展开；再过点D折叠，折痕交于点E，使点A落在折痕所在的直线上，记为点P，两折痕与交于点O． (1)求证：； (2)点D在运动过程中，始终是等边三角形吗？请说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，求的长． 42.已知△ABC中，∠B= 60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ABE沿DE折叠，点A对应点为F点. (1)如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形； (2)如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小； (3)如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长. 题型二 探究等边三角形中的动态问题 43.．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为 秒． 44．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 45．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 46．（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 题型三 探究等边三角形中线段或角度之间的关系 47．已知与均为等边三角形，点在的同侧．   (1)如图，点在上，写出线段之间的数量关系，并证明； (2)如图，若点在的延长线上，其他条件不变，直接写出之间的数量关系． 48．（1）如图1，如果和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求的度数； （2）如图2，如果和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； （3）探究：如图3，若将题干改为和均为等腰三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接，请探究与的大小关系，并说明理由． 49．如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 50．如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 51．老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． (1)求证：． (2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 52．是等边三角形，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，，． (1)如图1，过点E作．交边于点F，求证：； (2)如图2，点D在边上时，连接交边于点G，若，，求的长； (3)当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若，试探究的值（用含k的代数式表示）． 53．如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2等边三角形的性质与判定 （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 题型三 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等 题型四 利用等边三角形的性质求最值 题型五 证明等边三角形 题型六 等边三角形中的多结论问题判断正误 能力提升题 题型一 探究等边三角形中的折叠问题 题型二 探究等边三角形中的动态问题 题型三 探究等边三角形中线段或角度之间的关系 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 1．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，为等边三角形，D是边上一点，在边上取一点F，使，在上取一点E，使，则 ． 【答案】 【分析】先证明，再根据， ，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 3．如图，等边中，是高，延长到点E，使，则 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度一般．根据等边三角形的性质得，，结合，以及三角形外角的性质解答即可， 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：30 4．如图，是等边三角形，P点在外部，Q点在内部，若将绕点B顺时针旋转可得到，则的度数为 度． 【答案】60 【分析】首先由绕点B顺时针旋转可得到，得出，再由是等边三角形得出，通过等量代换可求出的度数． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等量代换，熟练掌握等边三角形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：绕点B顺时针旋转可得到，由旋转性质得： ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 5．如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 6．和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握运用以上知识是解决本题的关键．首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角之间的关系可得最终结果． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ， ， 又， ， ， ， 则 解得， 故选：B． 7．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ， 故选：A． 8．如图，在等边的边上各取一点，使，，相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、三角形外角性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的判定定理即可证得结论； （2）利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质即可得到． 【详解】（1）证明：在等边中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 9．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点； （2）解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 10．若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，由此即可计算． 【详解】解：∵等边三角形的边长是， ∴的周长． 故选：A． 11．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 12．如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 【答案】1 【分析】根据题干条件和三角形的内角和等于，推断出，判定，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证明． 13．如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形全等的判定和性质．由已知可证是等边三角形，可得，由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可证，可得，，结合线段的和差关系，等量代换，即可得的长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．如图，，点，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，，均为等边三角形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，等边三角形的性质，三角形的外角性质，先求出，同理，，，所以，从而求解，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 故答案为：． 15．如图，． (1)求证：； (2)当，时，求点A到点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形和等边三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，然后再根据即可证明结论； （2）连接，由全等三角形的性质可得，然后证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得的长即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即点A到点的距离为4． 题型三 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等 16．如图，是等边三角形，是中线，延长到点，使，连接，则和是否相等?为什么? 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．由为等边三角形，是中线，得到，，由得到，再由是的外角，利用外角的性质得到，利用等角对等边即可得证． 【详解】解：，理由如下： 是等边三角形，是中线， ，（等腰三角形“三线合一”）． 又， ． 又， ， ． ． 17．如图，是等边三角形，是上一点，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，而，，可根据“”证明，得，则，所以． （2）由，证明平分，因为是等边三角形，所以，则，由全等三角形的性质得，所以． 此题重点考查等边三角形的性质、平行线的判定等知识，证明是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由：是等边三角形，是上一点， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴． （2）解：， 理由：， 平分， 是等边三角形， ， ， 由（1）得≌， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。 18．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状． （1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到； （2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． （2）证明：， ， 即， ， 为等边三角形． 19.如图，已知点D为等腰直角内一点，，E为延长线上的一点，且． (1)求证：平分． (2)若点M在上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，进而根据三角形的外角性质求得，即可证明平分∠； （2）连接，证明是等边三角形，结合（1）的结论，证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形 ， ， ， ， 又 ， ， 平分； （2）证明：连接，如图，    是等边三角形 ， ，， ，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 题型四 利用等边三角形的性质求最值 20．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 21．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：B． 22．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 连接，交于点P，利用等边三角形的性质可得，，从而得到当点B，P，E三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 即当点B，P，E三点共线时，取得最小值， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 23．如图，等边三角形中，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，， 则的最小值为 （用含有m或n的式子表示）． 【答案】n 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质．连接，证，可得，作点D关于的对称点G，连接、，则，， ，当B、F、G三点共线，的最小值为，再证明得． 【详解】解：连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、，则，， ， ∴，， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 题型五 证明等边三角形 24．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可． 【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 25．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 26．已知a，b，c为的三边边长，且满足方程组，则是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式、非负数的性质等知识点，掌握因式分解是解题的关键． 先变形，再进行因式分解，然后运用完全平方公式的变形，最后根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵a、b、c为的三边， ∴，故， ∴，即， ∴，即是等边三角形． 故选：A． 27．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 28．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定定理、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，最后由等边三角形的判定定理即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：平分，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 29．如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 30．如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 31．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 32．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型六 等边三角形中的多结论问题判断正误 33．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证明，再根据全等三角形的性质和大角对大边进行判断． 【详解】解：①为等边三角形， ，． ， ， ， 无法判断，故①说法不正确； ②， ， 故②说法正确； ③，， ， 即， 故③说法正确； ④，， ， ． 综上所述，说法正确的为②③④， 故选：D． 34．如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；．其中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形，是等边三角形， ，，，， ∵是角平分线， ， ，故①正确，， ，，故②正确 ，故③正确， 故选：D． 35．如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键．根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；由，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ，， ， ， 又， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③正确． 故选：B． 36．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（    ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过点作的延长线于点，作于点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 37．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由三角形内角和定理并结合角平分线的定义计算即可判断①；证明，得出，，即可判断②；延长交于点，证明，得出，进而可得，结合，得出，即可判断③；证明，得出，即可判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形， 故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 38．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质及，利用全等三角形的性质可得，由折叠可得，于是对①作出判断；可证出，进而对②作出判断；由可得出，再根据，等量代换对③作出判断；由全等三角形和轴对称的性质可得，进而得出是等边三角形，从而对④作出判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 因此①正确； 由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴，， 因此②正确； ∵，， ∴， 因此③正确； 由和折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 因此④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 39．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． ． 题型一 探究等边三角形中的折叠问题 40．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 41.如图，等边边长为3，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点A折叠，使点B与C重合，得折痕交于F，然后展开；再过点D折叠，折痕交于点E，使点A落在折痕所在的直线上，记为点P，两折痕与交于点O． (1)求证：； (2)点D在运动过程中，始终是等边三角形吗？请说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质和直角三角形的性质． （1）根据轴对称的性质证明，，即可证明； （2）由，推出，即可证明为等边三角形； （3）分或两种情况，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，与关于直线成轴对称， ， 又与关于直线成轴对称， ， ∴， ∴； （2）解：点D在运动过程中，始终是等边三角形，理由如下： 为等边三角形， ． 由（1）可知，， ， ， 为等边三角形； （3）解：始终为等边三角形， ， ∴分或两种情况， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②当时， 同理可得， 即． 综上所述，当是直角三角形时，或． 42.已知△ABC中，∠B= 60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ABE沿DE折叠，点A对应点为F点. (1)如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形； (2)如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小； (3)如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长. 【答案】（1）见解析（2）40°（3）3 【分析】（1）根据DE∥BC，∠B=60°得到∠ADE=∠B=60°，根据折叠的性质得到∠FDE=∠ADE=60°，从而得到△BDF 是等边三角形 （2）根据CF=EF ，设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x，根据折叠得到∠A=∠DFE=2x ，再由（1）同理可得到△BDC 是等边三角形，再利用△ABC内角和即可列出方程求解 （3）同（1）可得△BDG 是等边三角形，根据BF⊥AB 得到∠BFD=30°，得BD=DF，再根据折叠的性质得到DF=AD，故BD=AD=AB=×9=3，即可求出BG的长. 【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∠B=60° ∴∠ADE=∠B=60° ∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF ∴∠FDE=∠ADE=60° ∴∠BDF=180°-60°-60°=60°    在△BDF 中，∠B=∠BDF=60° ∴△BDF 是等边三角形. （2）解：∵CF=EF ∴设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x ∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF ∴∠A=∠DFE=2x 同（1）可得△BDC 是等边三角形 ∴∠BCD=60° 在△ABC 中，∠A+∠B+∠BCA=180° ∴2x＋60°＋（60°＋x）=180° 解得：x=20° ∴∠A=2x=40°. （3）解：同（1）可得△BDG 是等边三角形 ∴∠BDG=60°，BG=BD ∵BF⊥AB ∴∠DBF=90° ∴∠BFD=90°－60°=30° ∴BD=DF   又∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF ∴DF=AD ∴BD=AD=AB=×9=3 ∴BG=3. 【点睛】此题主要考查等边三角形与折叠的综合，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、折叠的性质定理. 题型二 探究等边三角形中的动态问题 43.．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为 秒． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的性质，由等边三角形的性质得，得出，由全等三角形的性质得，再根据“时间=路程÷速度”求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 44．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 45．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 46．（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）当，或，时，与全等 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，根据同角的余角相等，得到，根据等腰直角三角形的概念解答； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据等边三角形的判定定理证明； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：为等边三角形， ． 在和中， ， ，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形； （3）解：当时，， ，， ，； 当时，，， ，， ，， 答：当，或，时，与全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． 题型三 探究等边三角形中线段或角度之间的关系 47．已知与均为等边三角形，点在的同侧．   (1)如图，点在上，写出线段之间的数量关系，并证明； (2)如图，若点在的延长线上，其他条件不变，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（）根据等边三角形的性质得到，，，，进而得到，再根据“”证明得到，进而根据线段的和差关系即可求证； （）同理（）解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，证明如下：   ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ∴， ∴， ∴． 48．（1）如图1，如果和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求的度数； （2）如图2，如果和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； （3）探究：如图3，若将题干改为和均为等腰三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接，请探究与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形可得，，，进而有，从而有，得到，再根据即可求解； （2）同（1）思路即可求解； （3）同（1）思路得到，进而有，根据等腰三角形的性质求出，从而可得，再根据求出，即可得到． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∴． （3）．理由如下： ∵和均为等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 49．如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 50．如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定及性质，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ， 综上，的度数为，线段与 的数量关系为； 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍成立，证明如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）解：是等边三角形， ， 当旋转时，B、C、D三点共线且最大，，此时； 当旋转时，B、C、D三点共线且最小，，此时； ∴长的取值范围为． 51．老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． (1)求证：． (2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点有三角形面积公式（，a为底，h为高）、等腰三角形的性质（）、等边三角形的性质（三边相等）．解题用到的思想是转化思想，通过将三角形的面积进行分割转化，把线段和的关系转化为面积的关系来证明．方法是利用面积法，借助不同的三角形面积组合来推导线段之间的等量关系．解题关键是正确连接辅助线（如连接、、），将大三角形的面积拆分为几个小三角形的面积之和．易错点在于对三角形面积公式的应用不熟练，以及在分割面积时遗漏或错误选取三角形，导致推导错误． （1）要证明，思路是利用面积法．连接，把的面积拆分为和的面积之和，然后根据三角形面积公式分别表示出这三个三角形的面积，再结合的等腰三角形性质，通过等式变形得出． （2）对于等边三角形内一点的情况，猜想有类似结论．证明思路同样是面积法，连接、、，把的面积拆分为、和的面积之和，再根据等边三角形三边相等的性质，结合三角形面积公式，通过等式变形得出． 【详解】（1）连接． ， ． 又， ． （2）．理由如下： 连接、、． ， 由于是等边三角形，所以， ． 52．是等边三角形，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，，． (1)如图1，过点E作．交边于点F，求证：； (2)如图2，点D在边上时，连接交边于点G，若，，求的长； (3)当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若，试探究的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论； （2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，可得结论； （3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点E作．交射线于F，证明和，即可解答． 【详解】（1）证明∶∵是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作交边的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， 设，则， 如图3，过点E作，交射线于F， 同理得：， ∴， ， 同理得：， ∴， ∴． 如图4，过点E作，交于F， 同理得： ， ∴，， 同理得：， ∴， ∴． ∴的值为或 ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 53．如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当点与点重合时，过点作于点于点，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 本题考查了等边三角形的性质、三角形的面积，运用等面积法建立等式是解题关键． 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 理由： 过点作于点于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：． 证明：如图（2），连接，则， ∴， 即， 又∵是等边三角形 ； （3）证明：连接， 则， 即 ∵是等边三角形， 两边同时除以2024得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $