专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以六类等腰三角形综合题型为核心，通过解题通法提炼与分层训练，系统培养几何直观与推理意识，构建从性质应用到综合探究的完整能力链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套通法总结|性质用“等边对等角”“三线合一”，判定用“等角对等边”，强调分类讨论与方程思想|从核心性质到判定方法，明确易错点（顶角底角分类、三边关系等）| |题型归纳|6类题型（每类1典例+3变式）|求角设未知数列方程，求边用三线合一构直角三角形，多解题分类验证，多结论题逐一说理|从基础计算（角、边）到复杂应用（多解、多结论、三线合一、性质判定综合），层层递进| |压轴挑战|11道综合题（选择/填空/解答）|结合旋转、对称等变换，综合全等、勾股定理等知识|对接中考压轴题考法，提升空间观念与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题8等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 -解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等 边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 -易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角)；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计 算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 夙题型归纳一精讲典型题法，寿夫解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,若∠A=36°，则∠B的度数 为 1/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2方法：设顶角或底角为x,利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1(25-26八年级上浙江杭州期末)如图，等腰Rt△ABC,∠ABC=90°，AD=BD=AB,则 ∠CDB= D B 变式1-2(25-26七年级上山东烟台期末)如图，AB‖CD,AB=AC,BE⊥AC于点E,若∠CBE=25°， 则∠BCD的度数为」 D E 变式1-3(25-26八年级上·浙江金华期末)如图，在△ABC中，已知AB=BC,∠ABC的角平分线BD交 AC于点D,DE∥BC交AB于点E.若∠BDE=70°，则∠A的度数为 D B 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2(25-26八年级下广东佛山阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，DE是AB的垂 直平分线， BC=l2cm,则CE的长度为 B 题型模版 1特征：己知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式21(25-26八年级下广东深圳期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线 分别交AB,AC于点D,E,若AE=6,则EC的长为 D B 变式22(25-26八年级上四川绵阳期末)如图，在△ABC中，∠ABC=120°，D是AC边上的点， BD⊥BC,点D在AB的垂直平分线上，DB=2,则AC的长为一 D B 变式2-3(25-26八年级上湖北武汉阶段检测)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=120°，点D 为线段BC上一点，DE⊥AB,DF⊥AC,若BC=I6,则DE+DF的值为 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3(25-26八年级下·江西九江·期末)将Rt△ABC绕直角边AC的中点H旋转，得到△EFD.且△EFD 的直角顶点D落在△ABC的斜边AB上，EF所在直线与AC所在直线交于点G,如图，若△EGH是等腰三 角形，则∠A的度数为. 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2方法：分类讨论（如锐角钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1(25-26七年级下江西吉安期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，点P在直线AC 上，连接BP,在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，∠APB的度数为 B 变式3-2(25-26八年级下河南郑州·期末)如图，在RIAABC中，∠A=60°，将边AC绕点C顺时针旋转 a(0°<a<I80°)得到线段CD,CD的垂直平分线m交直线BC于点E,在旋转过程中，当A,D,E 三点共线时，心的度数为一… 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4(25-26八年级上福建厦门期中)如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E,过点B 作BF⊥AE,垂足为点F,并交AD于点G.若AF=BF,则下列结论中： D万 ①∠ABF=45°；②△AFG≌△BFE:③AG+CE=AC:④BC=BG+2GF 正确的是 （写出所有正确结论的序号) 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式41(25-26八年级上北京丰台期中)在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,将△ABC按如图所示的方 式依次折叠： A B CB 有下面四个结论： ①DE平分∠FDC;②BF=AD;③∠ADB=3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长.所有正确结论的序 号为一 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式42(25-26八年级上·吉林长春·期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边BCAC上，AB=AD, AF是∠BAD的平分线，EF=EC.给出下面四个结论：①AF⊥BD;②AE=EF;③若∠C=30°，则 △AEF是等边三角形：④若AD平分∠FAC,则DE=DF.上述结论中，正确结论的序号有一· 变式43(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC,点D为BC 中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点，下列结论：①aDEF是 等腰直角三角形：②AE=CF;③aBDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是 B 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5(25-26七年级下·河北张家口期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,点F在ED 上，AC=AD,∠BAF=∠EAD,∠ACB=∠ADB (I)求证：AB=AF: 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC⊥BD,求证：∠BAF=2∠DAF 题型模版 1特征：己知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1(25-26七年级下山东东营期末)己知：如图，在等腰△DBF中，DE⊥BF,点A是线段BD延 长线上一点，点c在线段邵上，连接AC交Dr于点M,A=)<BDF。 D (I)求证：AC⊥BF: (2)若∠B=50°，求∠AMD的度数 变式5-2(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC、BC于 点D、E,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,点G在BE上，连接FG,∠GFE与∠C互余. G (1)判断FG与DE的位置关系，并说明理由. (2)若BA=BE,EC=10,求AF的长。 变式5-3(25-26七年级下山西运城期末)综合与探究：如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE, ∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点 P: 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)求证：AD=BE: (2)试说明AD平分∠BAE: (3)如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由. 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6(25-26八年级下·广东深圳期末)如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上， DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证：△ABC是等腰三角形： (2)若∠EDB=30°，EB=3,求AE的长. 题型模版 1特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1(25-26八年级下陕西西安期末)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交边 C于点D,点A与点E关于BC所在直线对称，连接证，C正，延长AD交BE于点刀，求证： B BC BE,CE 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC 变式6-2(25-26八年级下山东烟台期末)己知在△ABC中，AC=BC,分别过A,B两点作互相平行的 直线AM,BN,过点C的直线分别交直线AM,BN于点D,E. D M E 图1 图2 (I)如图1，若AM⊥AB,求证：CD=CE: (2)如图2，∠ACB=∠DEB=60°，判断线段AD,DC与BE之间的关系，并说明理由. 变式6-3(25-26七年级下福建泉州期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC, M 图1 图2 图3 (I)AE平分∠BAC,交BC于点E,点M为CA延长线上的一点. ①如图1，当点N为线段AB上一点时，连接MN,若MN∥AE,则△AMN是 三角形； ②如图2，当点N为线段AB的延长线上一点时，若ME=E，,求证：AN=2AC+AM; (2)如图3，在BC上取点D,使得CD=CA,连接AD,将△ACD沿CD翻折，点A的对应点为A',取CD 的中点F,连接AF,过点C作CP⊥AF,垂足为H,CP交AD于点P,连接PF, ①请补全图形： ②求证：A'F=CP+PF, 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克离障压轴， 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级上河北秦皇岛期末)在等腰△ABC中，若∠A=110°，则∠B的度数为() A.35 B.110° C.110°或35 D.70 2.(25-26八年级下·全国课后作业)若等腰三角形的顶角为120°，腰长为3cm,则这个等腰三角形的底 边长为() A.12cm B. 3v3cm C.3cm D 6v3cm 3.(25-26八年级上四川绵阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC 于点P,交AB于点F,若AF=2,BF=3,则CE的长度为() A.7 B.7.5 C.8 D.8.25 4.(25-26八年级上湖南郴州期末)约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示 的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并 可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若LBDE=66°，则∠AOB的度数是 () D A.22 B.33° C.44° D.66° 5.(25-26八年级上北京大兴期末)如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=45°，BD⊥AC于点D, 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE LAB于点E,BD与CE相交于点F.给出下面三个结论：①LEBF=22.5°；②CF=2AE;③ BC=BD+DF,所有正确结论的序号是() D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 6.(2025八年级上全国专题练习)在△ABC中，∠A=∠B=60,BC=4,则AC=】 7.(25-26八年级上山西忻州月考)如图，等腰三角形△ABC中，AB=AC,在AC上取一点F,使 FC=BC,过点F作FD⊥BC交BC于点D,过点C作CE L AB交AB于点E,CE交DF于点O.若 ∠AFD=152 ∠EOF= ,则 0 E D 8.(25-26八年级上辽宁营口期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为BC的中点， 点E为CA延长线上一点，连接DE交AB于点G,过点D作DF⊥DE,与AB的延长线相交于点F,若 BF=4,AG=2,△DGF的面积是36，则BD的长为一 G D 9.(25-26八年级上：陕西商洛·月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=140°，△AEC和△AEF关 于直线AE对称，∠BAF的平分线交BC于点D,连接DF.当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时， 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DEF的度数为， 10.(25-26八年级上江西抚州月考)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方 形，点4，C的坐标分别为4(100)，C0,),点D是0A的中点，点P在BC上运动，当△0DP是腰长为 5的等腰三角形时，点P的坐标为 A 三、解答题 11.(25-26八年级上广东汕头期末)如图，△ABC中，AB=AC,∠B的平分线交AC于D,AE∥BC 交BD的延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F. B (I)若∠BAC=40°.求∠AFE的度数； (2)若AD=CD,AF=2,求BF的长 12.(25-26八年级上·上海普陀期中)如图，已知：在△ABD中，∠BAC=100°，AD平分∠BAC(D为 △ABC外一点)，∠ADB=80°， 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABD是等腰三角形： (2)如果CD⊥AC,求证：AB=2AC. 13.(24-25八年级下·广东清远期中)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作 DE∥AB交AC于点E. E D B (I)求证：△AED是等腰三角形： (②)若∠C=110°，∠B=30°，求∠AED的度数. 14.(25-26八年级上广西南宁期中)己知，△ABC中，∠BAC=a,AB=AC,点D,E分别在BC,AC 边上(D不与B、C重合)，且∠BAD=∠CDE. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=60°，则∠B= °；若AD平分∠BAC,则∠ADE的度数为 (2)如图2，若a=90°，且点D是BC边上的任意一点. ①当AD=DE时，求证：△ABD≌△DCE: ②求证：∠ADE的度数为定值.（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值） (3)如图3，若a=100°，当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形？ 13/13 专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 - 解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 - 易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角）；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 题型模版 1.特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2.方法：设顶角或底角为x，利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 变式1-2（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，，，于点，若，则的度数为_________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，直角三角形的性质．根据直角三角形两锐角互余求得的度数，利用等边对等角求得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，已知，的角平分线交于点，交于点．若，则的度数为____________． 【答案】/20度 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，得到，进而得到，根据等腰三角形的性质，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，利用直角三角形的性质可得，由，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型模版 1.特征：已知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2.方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线性质可得，所以，然后求出，最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2-2（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即得到，，进而根据直角三角形的性质得到，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-3（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】解：，， ， ，， 和是直角三角形， ，， ， 故答案为：8． 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3（25-26八年级下·江西九江·期末）将绕直角边的中点旋转，得到．且的直角顶点落在的斜边上，所在直线与所在直线交于点，如图，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】先求出，，则，进而可得，，再分三种情况：①，②，③，根据等腰三角形的性质建立等式，据此求解即可． 【详解】解：∵点为直角边的中点， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ③当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2.方法：分类讨论（如锐角/钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． 变式3-2（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为______．   【答案】或 【分析】先由中算出，分点在上方、下方两种情况，均先由旋转得求出，再由的垂直平分线得推出，接着结合图形用角的和差表示出，列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在旋转过程中，当，，三点共线时，分两种情况讨论： ①当点在上方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得； ②当点在下方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； 综上，当，，三点共线时，的度数为或． 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，谁教学大纲等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据，，得出，可判断①；根据证明，可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据平分，得出，证出，即可得，可判断③；得出，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，①正确； ∵ ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，③正确； ∵， ， ∴， ∴，④错误． 故答案为：①②③． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26八年级上·北京丰台·期中）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为_____． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿着直线折叠得到， ，， 平分，故①正确； 沿着直线折叠得到， ，， ，， ， ， ， ，， 沿着折叠得到， ，， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长，故④正确； 故答案为：①③④． 变式4-2（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 故①符合题意； ②∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故③符合题意； ④若平分， ∵无法判断是否 ∴无法证明． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 变式4-3（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 故正确； ，， 是等腰直角三角形， 故正确； ，， ， 故正确； ， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2)∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用证明，从而证得； （2）根据等腰三角形三线合一得到，结合可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 1.特征：已知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2.方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1（25-26七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰中，，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：是等腰三角形，， ， 又， ， ， ∵， ∴； (2) 【分析】由等腰三角形的性质得，进而得到，即得，再根据平行线的性质即可求证； 由等腰三角形和直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：等腰中，，， ， 由（1）知：， ． 变式5-2（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作于点，点在上，连接，与互余． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，根据三角形内角和得到，根据余角的定义得到，即，可知； （2）根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形三线合一求出为中点，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵，， ∴． 变式5-3（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明平分； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一） (3)不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 题型模版 1.特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2.方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 变式6-2（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：延长交于点，如图， ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：，理由如下： 在上截取，连接，如图， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， 又， ，即． 【分析】（1）添加辅助线，延长交于点，根据平行线的性质以及角边角的证明方法证明和全等，由此可证； （2）添加辅助线，在上截取，连接，先得到是等边三角形，再由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再利用边的关系进行转化即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 变式6-3（25-26七年级下·福建泉州·期末）在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作于F点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)①如图： ②证明：如图，过D点作交的延长线于G点，则， ∵中，，， ∴， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得是等腰三角形． ②作于F点，根据证明，，从而可得，．由即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D点作交的延长线于G点，先根据证明，则可得，．由可得．再根据证明，则可得，由可得． 【详解】（1）①解：∵平分， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②略 （2）①略 ②略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）在等腰中，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此为顶角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，且为钝角， ∴ 是顶角，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得，，结合三角形外角性质得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出，然后得到为等腰直角三角形，则，再由角的和差求解，即可判断①；证明，则，，再由等腰三角形三线合一得到，即可判断②；而，结合即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 二、填空题 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定：等角对等边．根据等角对等边即可得到． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 【答案】62 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出，进而求出，再根据等边对等角得，即可得然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：62． 8．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到的面积是解题的关键． 连接，先证，得到，进而得到，再由，得到，再结合三角形面积公式求出的长． 【详解】连接， 在中，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ , ∴，即， 解得． 故答案为：8． 9．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据折叠的性质与全等三角形的性质得出，结合是以为腰的等腰三角形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：，， ． ∵和关于直线对称， ∴，， ∴ ∵的平分线交于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若．求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可知，再根据角平分线以及垂直关系即可求解； （2）根据平行条件，可证明,从而可知为等边三角形，进而可知的长度． 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ． 答：的度数为． （2），， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 答：的长为4． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 13．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·广西南宁·期中）已知，中，，点D，E分别在，边上(不与、重合)，且． (1)如图1，若，则___________；若平分，则的度数为___________． (2)如图2，若，且点是边上的任意一点． ①当时，求证：； ②求证：的度数为定值．（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值） (3)如图3，若，当等于多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)60；60 (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，则可得，由此即可得； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据定理即可得证； ②先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； （3）先根据等腰三角形的性质可得，再设，则，，，然后两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质可得的值，在中，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：若，则， ∵， ∴； ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60；60． （2）证明：①∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为定值． （3）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时； 综上，当等于或时，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $