专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建等腰三角形性质与判定的系统化训练，通过分类题型提炼可迁移方法，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|性质用“等边对等角”“三线合一”，判定用“等角对等边”，强调分类讨论与辅助线构造|从核心概念到方法应用，建立性质与判定的双向推理链| |六类题型|6典例+18变式|求角设元列方程、求边用勾股定理、多解题分类验证、多结论题逐一推理、三线合一构造全等、性质判定综合论证|按“基础计算→多解讨论→结论判断→综合证明”梯度进阶，覆盖中考高频考法| |压轴挑战|16题|综合旋转、折叠、动态问题，融合全等与轴对称，提升空间观念与创新意识|从单一知识点到跨知识综合，突破思维上限，对接中考压轴题命题趋势|

专题08 等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 - 解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 - 易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角）；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 题型模版 1.特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2.方法：设顶角或底角为x，利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． 变式1-2（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 变式1-3（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，，都是等腰三角形，，，若，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据等边对等角得出，，再根据三角形内角和定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，利用直角三角形的性质可得，由，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型模版 1.特征：已知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2.方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式2-1（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线性质可得，所以，然后求出，最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2-2（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即得到，，进而根据直角三角形的性质得到，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-3（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】解：，， ， ，， 和是直角三角形， ，， ， 故答案为：8． 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3（25-26八年级下·江西九江·期末）将绕直角边的中点旋转，得到．且的直角顶点落在的斜边上，所在直线与所在直线交于点，如图，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】先求出，，则，进而可得，，再分三种情况：①，②，③，根据等腰三角形的性质建立等式，据此求解即可． 【详解】解：∵点为直角边的中点， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ③当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2.方法：分类讨论（如锐角/钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． 变式3-2（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为______．   【答案】或 【分析】先由中算出，分点在上方、下方两种情况，均先由旋转得求出，再由的垂直平分线得推出，接着结合图形用角的和差表示出，列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在旋转过程中，当，，三点共线时，分两种情况讨论： ①当点在上方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得； ②当点在下方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； 综上，当，，三点共线时，的度数为或． 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，谁教学大纲等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据，，得出，可判断①；根据证明，可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据平分，得出，证出，即可得，可判断③；得出，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，①正确； ∵ ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，③正确； ∵， ， ∴， ∴，④错误． 故答案为：①②③． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26八年级上·北京丰台·期中）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为_____． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿着直线折叠得到， ，， 平分，故①正确； 沿着直线折叠得到， ，， ，， ， ， ， ，， 沿着折叠得到， ，， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长，故④正确； 故答案为：①③④． 变式4-2（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 故①符合题意； ②∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故③符合题意； ④若平分， ∵无法判断是否 ∴无法证明． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 变式4-3（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 故正确； ，， 是等腰直角三角形， 故正确； ，， ， 故正确； ， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2)∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用证明，从而证得； （2）根据等腰三角形三线合一得到，结合可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 1.特征：已知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2.方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1（25-26七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰中，，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：是等腰三角形，， ， 又， ， ， ∵， ∴； (2) 【分析】由等腰三角形的性质得，进而得到，即得，再根据平行线的性质即可求证； 由等腰三角形和直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：等腰中，，， ， 由（1）知：， ． 变式5-2（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作于点，点在上，连接，与互余． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，根据三角形内角和得到，根据余角的定义得到，即，可知； （2）根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形三线合一求出为中点，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵，， ∴． 变式5-3（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明平分； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一） (3)不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 题型模版 1.特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2.方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 变式6-2（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：延长交于点，如图， ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：，理由如下： 在上截取，连接，如图， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， 又， ，即． 【分析】（1）添加辅助线，延长交于点，根据平行线的性质以及角边角的证明方法证明和全等，由此可证； （2）添加辅助线，在上截取，连接，先得到是等边三角形，再由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再利用边的关系进行转化即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 变式6-3（25-26七年级下·福建泉州·期末）在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作于F点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)①如图： ②证明：如图，过D点作交的延长线于G点，则， ∵中，，， ∴， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得是等腰三角形． ②作于F点，根据证明，，从而可得，．由即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D点作交的延长线于G点，先根据证明，则可得，．由可得．再根据证明，则可得，由可得． 【详解】（1）①解：∵平分， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②略 （2）①略 ②略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】过点作于点，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：由作图步骤可得平分， 如图，过点作于点． ， ∴垂直平分， ，关于对称， 作点关于的对称点，则点N落在上，连接， ， 的最小值为的长． ，平分， ，， ，， ∴ ， ∴的最小值为． 5．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D是的中点，，则_______． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 7．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，为中点，点，分别是，上的动点，若的面积为12，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：，为中点， 垂直平分， ， 如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ， 即的最小值为． 8．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 9．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 10．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 【答案】2个 【分析】首先利用三角形内角和及角平分线性质计算的度数判断①；其次通过证明得出判断②；再次通过延长构造全等三角形，结合三角形边角关系判断③；最后利用全等三角形面积相等及中线性质进行面积转化判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，平分， ∴是的中线， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的结论有②④，一共2个． 三、解答题 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，且． (1)若，求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）根据垂线段最短得出时，最小，根据角平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于， ∵点是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分，，，， ∴， ∴的最小值为． 12．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， 由（1）得， 又， ， ，， ，是边上的中线， 是的角平分线， ， ，即； 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）由等边对等角得，由三线合一得，再由三角形外角的性质求解； （2）先证，由平行线的性质得，，由三线合一得是的角平分线，等量代换得出；证明，推出，再证，即可证明． 【详解】（1）解：中，，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． （2）略 13．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知是等腰三角形，，，点是边上一点，连接并延长与经过点的直线相交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)当是的中点，过点作的平行线与经过点的直线相交于点，点在延长线上，连接． 若，求证：； 若，求证：且． 【答案】(1)； (2)证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交延长线于点，连接，过作交延长线于点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∴， ∵， ∴，即． 【分析】过作，交于点，证明，所以，故有； 连接，由，，得，故有垂直平分，则，根据等边对等角得，设，则，，，则，所以，从而有，所以； 过作交延长线于点，连接，过作交延长线于点，证明，所以，由得，所以，又，所以，则有，故有，即为中点，从而得，因为，所以，即． 【详解】（1）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数为； （2）略；略． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据等边对等角先得出，结合三角形内角和定理得到，再根据角的和差求解即可； （2）①先得出，，再得出，根据平行线的判定即可得证；②过点作于点，得出，即平分，根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①略． ②解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴，即平分， 又∵，， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴， 即点到的距离为． 15．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图1，在中，，点D是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接． (1)试说明； (2)如图2，点F是线段上一点，且，连接．试说明； (3)如图3，若，，求的度数． 【答案】(1)因为在中，， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以； (2)由（1）得，，即， 在和中， 所以，所以； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理推出，由，即可得到结论； （2）证明，即可得到； （3）取的中点为G，连接，证明，得到，再由，，得到，结合，得到，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取的中点为G，连接，则， 因为，所以， 由（1）得，即． 在和中， ， 所以 所以． 因为，， 所以，因为．所以， 所以．所以．所以 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E为线段上一点，且，D为线段中点，作射线，过点E作交射线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过A点作射线，使，过点D作交射线于点G，连接，，求证：； (3)如图3，过点F作于点M，连接． ①求证：； ②若，的面积为6，当周长最小时，求线段的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵D为线段中点， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴； (2)证明：连接，如图， 由（1）可知，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，即D为线段中点， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (3)①证明：过点A作交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴H为线段中点， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由角角边的证明方法证明与全等即可； （2）添加辅助线，连接，得到为的垂直平分线，从而得到，再使用边角边的证明方法证明与全等，由此可得； （3）①添加辅助线，过点A作交于点H，证明与全等，即可得到，再利用等腰三角形三线合一的性质可得，由此可证明； ②先由的面积求出的长度，再添加辅助线，利用平移与对称的性质将边进行转化，得到若使周长最小，则只需最小，再根据边的关系，使点，点M，点三点共线时，最小，为，先证明与全等，由此可得，，再证明与全等，得到点为的中点，从而求解的长度，由此可解线段的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②解：∵，的面积为6， ∴，即，可得， ∵， ∴， ∵周长为， 若使周长最小，则只需最小， 平移至，使点E与点M重合，点A与点重合，连接，， 作点A关于的对称点为点，连接交于点，连接，如图， 由平移的性质可得，， 由对称的性质可得，， 则， 若使最小，则需最小， 则点，点M，点三点共线时，最小，为， 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴， ∵，即， ∴ 故当周长最小时，线段的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题8等腰三角形的性质与判定问题的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 题型二、根据等腰三角形的性质求边 题型三、与等腰三角形有关的多解题 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及边、角、周长的计算与证明，常与三线合一、全等、轴对称结合，考查分类讨论能力。 -解题方法：性质用“等边对等角”及三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高）；判定用“等角对等 边”；常作底边高或顶角平分线构造全等。 -易错提醒：顶角与底角分类讨论（如未明确哪个是顶角)；三线合一的前提是等腰；等腰三角形外角计 算时混淆内角；周长问题忽略三角形三边关系。 夙题型归纳一精讲典型题法，寿夫解题根基 题型一、根据等腰三角形的性质求角 典例1(25-26七年级下·上海浦东新期末)如图，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AB=AF,CB=CD,则 ∠DBF的度数为， 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1特征：已知等腰三角形的两腰或顶角/底角关系，求各角度数，利用等边对等角。 2方法：设顶角或底角为x,利用内角和为180°列方程，结合等边对等角及外角定理求解。 变式1-1(25-26八年级下四川泸州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AC边上的高为BD 则∠CBD的度数为 变式1-2(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC 交BC于点D,则∠ADC的度数为. A B D 变式1-3(25-26八年级下·贵州毕节·期末)如图，△ABC,△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=DE, 若∠AED=30°，∠ACB=75°，则∠CAD的度数是 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、根据等腰三角形的性质求边 典例2(25-26八年级下广东佛山阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，DE是AB的垂 直平分线， BC=l2cm,则CE的长度为 B 题型模版 1特征：己知等腰三角形一腰长、底角或顶角，求底边或腰长，常结合三线合一与勾股定理。 2方法：作底边上的高（三线合一），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理列方程求解。 变式21(25-26八年级下广东深圳期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线 分别交AB,AC于点D,E,若AE=6,则EC的长为 D B 变式22(25-26八年级上四川绵阳期末)如图，在△ABC中，∠ABC=120°，D是AC边上的点， BD⊥BC,点D在AB的垂直平分线上，DB=2,则AC的长为一 D B 变式2-3(25-26八年级上湖北武汉阶段检测)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=120°，点D 为线段BC上一点，DE⊥AB,DF⊥AC,若BC=I6,则DE+DF的值为 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、与等腰三角形有关的多解题 典例3(25-26八年级下·江西九江·期末)将Rt△ABC绕直角边AC的中点H旋转，得到△EFD.且△EFD 的直角顶点D落在△ABC的斜边AB上，EF所在直线与AC所在直线交于点G,如图，若△EGH是等腰三 角形，则∠A的度数为. 题型模版 1.特征：未明确哪边为腰或哪个角为顶角，导致多个满足条件的三角形。 2方法：分类讨论（如锐角钝角三角形、腰与底边互换），按不同情况分别设未知数列方程求解并验证。 变式3-1(25-26七年级下江西吉安期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，点P在直线AC 上，连接BP,在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，∠APB的度数为 B 变式3-2(25-26八年级下河南郑州·期末)如图，在RIAABC中，∠A=60°，将边AC绕点C顺时针旋转 a(0°<a<I80°)得到线段CD,CD的垂直平分线m交直线BC于点E,在旋转过程中，当A,D,E 三点共线时，心的度数为一… 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 题型四、与等腰三角形性质与判定的多结论题 典例4(25-26八年级上福建厦门期中)如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E,过点B 作BF⊥AE,垂足为点F,并交AD于点G.若AF=BF,则下列结论中： D万 ①∠ABF=45°；②△AFG≌△BFE:③AG+CE=AC:④BC=BG+2GF 正确的是 （写出所有正确结论的序号) 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，判断正误，综合等腰三角形的性质与判定进行推理。 2方法：利用等边对等角、三线合一及判定定理，逐一推理论证或举反例排除错误结论。 变式41(25-26八年级上北京丰台期中)在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,将△ABC按如图所示的方 式依次折叠： A B CB 有下面四个结论： ①DE平分∠FDC;②BF=AD;③∠ADB=3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长.所有正确结论的序 号为一 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式42(25-26八年级上·吉林长春·期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边BCAC上，AB=AD, AF是∠BAD的平分线，EF=EC.给出下面四个结论：①AF⊥BD;②AE=EF;③若∠C=30°，则 △AEF是等边三角形：④若AD平分∠FAC,则DE=DF.上述结论中，正确结论的序号有一· 变式43(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC,点D为BC 中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点，下列结论：①aDEF是 等腰直角三角形：②AE=CF;③aBDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是 B 题型五、根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 典例5(25-26七年级下·河北张家口期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,点F在ED 上，AC=AD,∠BAF=∠EAD,∠ACB=∠ADB (I)求证：AB=AF: 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC⊥BD,求证：∠BAF=2∠DAF 题型模版 1特征：己知等腰三角形，利用顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合的性质解题。 2方法：作底边上的高（即中线），将等腰三角形分为两个全等直角三角形，用勾股定理或全等证明求解。 变式5-1(25-26七年级下山东东营期末)己知：如图，在等腰△DBF中，DE⊥BF,点A是线段BD延 长线上一点，点c在线段邵上，连接AC交Dr于点M,A=)<BDF。 D (I)求证：AC⊥BF: (2)若∠B=50°，求∠AMD的度数 变式5-2(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC、BC于 点D、E,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,点G在BE上，连接FG,∠GFE与∠C互余. G (1)判断FG与DE的位置关系，并说明理由. (2)若BA=BE,EC=10,求AF的长。 变式5-3(25-26七年级下山西运城期末)综合与探究：如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE, ∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点 P: 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)求证：AD=BE: (2)试说明AD平分∠BAE: (3)如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由. 题型六、等腰三角形的性质和判定综合应用 典例6(25-26八年级下·广东深圳期末)如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上， DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证：△ABC是等腰三角形： (2)若∠EDB=30°，EB=3,求AE的长. 题型模版 1特征：综合运用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）进行证明与计算。 2方法：先由边相等得角相等，或由角相等证边相等，再结合全等三角形或勾股定理完成综合解题。 变式6-1(25-26八年级下陕西西安期末)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交边 C于点D,点A与点E关于BC所在直线对称，连接证，C正，延长AD交BE于点刀，求证： B BC BE,CE 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)△BDF是等腰三角形； (2)AB+BD=2AC 变式6-2(25-26八年级下山东烟台期末)己知在△ABC中，AC=BC,分别过A,B两点作互相平行的 直线AM,BN,过点C的直线分别交直线AM,BN于点D,E. D M E 图1 图2 (I)如图1，若AM⊥AB,求证：CD=CE: (2)如图2，∠ACB=∠DEB=60°，判断线段AD,DC与BE之间的关系，并说明理由. 变式6-3(25-26七年级下福建泉州期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC, 图1 图2 图3 (I)AE平分∠BAC,交BC于点E,点M为CA延长线上的一点. ①如图1，当点N为线段AB上一点时，连接MN,若MN∥AE,则△AMN是 三角形； ②如图2，当点N为线段AB的延长线上一点时，若ME=E，,求证：AN=2AC+AM; (2)如图3，在BC上取点D,使得CD=CA,连接AD,将△ACD沿CD翻折，点A的对应点为A',取CD 的中点F,连接AF,过点C作CP⊥AF,垂足为H,CP交AD于点P,连接PF, ①请补全图形： ②求证：A'F=CP+PF, 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 夙压轴挑战一支克高章压轴， 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级下陕西咸阳期末)等腰三角形的一个外角是80°，则它的顶角的度数为() A.80° B.80°或50° C.100° D.100°或50° 2.(25-26七年级下·上海浦东新期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADC=2LB.若AC=5, BC=6,则△ACD的周长为() A.10 B.11 C.15 D.16 3.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上，延长AC至点 D,使得CD=CE,连接DE,CF是△CDE的中线，若∠FCE=52°，则∠A的度数为() D A.38 B.28 C.32 D.34 4.(23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试)如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取APA0,使 AP=AO PO ∠BAC AR .再分别以点P,O为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R,作射线， 交C于点D.已知B=BC-61D-35若点MN分划是我段D和线段B上的动点.则BM+ 的最小值为() 10/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R 6+3V5 A.12-6V3 B 2 C.35 D.6 5.(22-23八年级上·全国期末)如图，在Rt△ABC中，AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠，使AB落 在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F,连结DE、EF,下列结论：①图中 有4对全等三角形：②若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；③BD=BF:④ SE=SaA0F,上述结论中正确的个数是(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(2627九年级上全国误后作业)如图。在AMBC中，点D是AB的中点，CD-4B,则∠4CB= D 7.(25-26七年级下·辽宁本溪·期末)如图，在△ABC中，AB=AC=5，,D为BC中点，点P,Q分别是 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AC △ABC CP+PO 上的动点，若 的面积为12，则 的最小值为 P 8.(25-26七年级下辽宁辽阳期未)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别 是BC边、AB边、AC边上的动点，连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若△AEF是等腰三角形， 那么∠BED的度数为 6 9.(25-26七年级下辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=150°，△AED和△ABD关于 直线AD对称，∠EAC的平分线交BC于点F,连接EF,当△DEF为等腰三角形时，∠EDF的度数为 10.(25-26八年级上四川南充期中)如图，AD,CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于 G,AE平分∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE.有下列结论：① 1 ∠CMA=120;②aABC是等腰三角形：③BC=BH+2MH:④SaAW+Saw+Sacw=2SaMc.其中， 2 正确结论的个数有 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 三、解答题 11.(25-26七年级下陕西咸阳·阶段检测)如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,AD是△ABC的角平 分线，且DE⊥AB E D (1)若∠B=48°，求∠ADC的度数： (2)若DE=5,点F是AC上的动点，求DF的最小值. 12.(25-26七年级下·上海期末)如图，已知在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，点E为AB 边上一点，CE与AD交于点F,BG⊥BC,BG交CE的延长线于点G. (I)如果CE平分∠ACB,∠ABC=40°，求∠AFC的度数： (②)如果点E是边AB中点，连接AG,求证：AG=CF. 13.(25-26八年级下·四川成都期末)已知△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，AC=BC,点D是边AC 上一点，连接BD并延长与经过点A的直线相交于点P,连接PC. 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠APB=90°，求∠BPC的度数： (2)当D是AC的中点，过点D作BC的平行线与经过点C的直线相交于点E,点F在AB延长线上，连接 EF ①若EF⊥EC,求证：EF=EC: ②若∠ECF=45°，求证：EF=EC且EF⊥EC 14.(25-26七年级下·陕西咸阳·期末)已知△ABC和△ADC均为等腰三角形，且AB=AC=AD B 图1 图2 (1)如图1，若∠D=22°，∠BAC=26°，则∠DCB的度数为： (2)如图2，当∠CBA=2∠ADC时， ①求证：AD∥CB: ②过点D作DE⊥CA,交CA的延长线于点E.若DE=IOcm,求点D到AB的距离. 15.(25-26七年级下·辽宁辽阳期末)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是边BC上一点，连接AD, 在AD上取一点E,使得∠BEA+∠BAC=18O°，连接CE. 图1 图2 图3 (I)试说明∠ABE=∠CAD； (2)如图2，点F是线段BE上一点，且BF=AE,连接AF.试说明AF=CE: 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，若∠BAC=90°，BE=2AE,求∠AEC的度数. 16.(25-26七年级下四川成都期末)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=Q,点E为线段BC上一点，且 BE<CE ,D为线段CE中点，作射线1D,过点B作 CE FAC AD」 ”交射线于点F B G 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AC=EF: ☒a图2，过A点作别线AP:使∠PD-0,过点D作DG L4D交别线AP于点G,连接BG:EG: 求证：BG=EG, 3)如图3，过点F作FM⊥BC于点M,连接AM. ①求证：AM-BC, ②若BC=6,△ABC的面积为6，当△AEM周长最小时，求线段BE的值. 15/15