专题3.1 勾股定理的探究（8题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学勾股定理的探究，以“观察—猜想—归纳—验证”为学习支架，系统梳理定理内容（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、面积法验证（赵爽弦图、总统证法等）及应用（已知两边求第三边、图形面积、折叠问题等），构建从探究到应用的完整知识脉络。 该资料亮点在于通过探究过程培养推理意识，借助面积法验证发展几何直观（数学眼光），融入赵爽弦图等历史背景渗透文化价值，丰富题型（网格、折叠问题）提升应用意识（数学语言）。课中辅助教师引导学生主动建构知识，课后通过分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题3.1 勾股定理的探究 教学目标 1. 经历“观察—猜想—归纳—验证”的探究过程，探索并掌握勾股定理，能运用定理进行简单计算与说理，发展推理能力。 2. 理解用“面积法”证明勾股定理的多种方法（如赵爽弦图、总统证法），感悟“以形助数”的数形结合思想。 3. 了解勾股定理的历史背景与文化价值，在动手操作中积累活动经验，增强学习信心，激发民族自豪感。 教学重难点 教学重点 1. 引导学生经历勾股定理的探索与发现过程，理解直角三角形三边之间的数量关系。 2. 掌握并运用勾股定理解决已知直角三角形两边求第三边的简单问题。 教学难点 1. 用割补、拼接等面积法验证勾股定理，尤其是将斜边不在格线上的图形转化为可计算面积的图形。 2. 从三个正方形面积关系抽象出三边数量关系，实现“形”与“数”的转化，体会数形结合与从特殊到一般的数学思想。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【即学即练1-1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【答案】 【分析】在 中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 【详解】 解：∵在 中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 【即学即练1-3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求和的长． 【答案】(1) 如图，为所求； (2) 【分析】本题考查了作垂线，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可解答； （2）先结合勾股定理算出的长，再运用等面积法，得，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴ 由（1）得， ∴， 则 ∴． 知识点02 勾股定理验证 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【即学即练2-1】（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)的长为 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解即可． 【详解】（1）另一种是个直角三角形和中间小正方形的面积和为，根据面积相等得， 故答案为：，； （2）方法一： 在中，∵， ∴， 的面积有两种求法：一种是的面积为， 另一种是的面积为， 根据面积相等得：， 解得：， 方法二：在中，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得，， 的长为． （3）设， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 的长为． 题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 【变式1】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 题型02 已知直角三角形的两边，求第三边长 【典例2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）已知一直角三角形的斜边长为，一直角边长为，则这个直角三角形的面积为______ ； 【答案】 【分析】利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可求解． 【详解】解：设另一条直角边的长度为， 由勾股定理得：， 整理得， 解得（负值舍去）； 所以这个直角三角形的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知直角三角形的直角边长分别为和，那么这个直角三角形的斜边长为________． 【答案】13 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理，得， ， 因为三角形边长为正数，因此 所以斜边长为． 【变式3】（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 已知某直角三角形一条直角边长为，斜边长为，通过几何公式计算，另一条直角边的长度为__________． 【答案】 【详解】解：设另一条直角边的长度为， ∵直角三角形一条直角边长为，斜边长为， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴另一条直角边的长度为． 题型03 等面积法求直接斜边上的高问题 【典例3】（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等即可求出斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为 由题意得， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·阶段检测）若直角三角形的两直角边分别为、．则斜边上的高线长______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理求出斜边长，根据三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， 设斜边上的高为h， 则， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，，，，垂足为D，则斜边上的高______. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积；根据勾股定理求得，进而根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 题型04 勾股定理与网格问题 【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题． 【详解】解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于__________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格的运用，根据勾股定理求出、、的长，即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得，， ， ， 则的周长， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，在小正方形的边长都为的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)试说明：是直角三角形． (2)求点到的距离． 【答案】(1) 证明：由勾股定理得，，，， ∵， ∴是直角三角形； (2) 【分析】（）利用勾股定理及其逆定理即可求证； （）设点到的距离为，利用三角形的面积解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：点到的距离为， 由（）可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 题型05 勾股定理与折叠问题 【典例5】（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 【变式2】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 【变式3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 题型06 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例6】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 【变式1】（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】(1)说明见解析 (2)平方和的方和倍的值是1或7 (3) 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； （3）解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 【变式3】（25-26八年级下·广东潮州·阶段检测）如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF． (1)若AC=，AE=，求BE的长； (2)在（1）的条件下，求△ABD的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题． （2）设，则，在中，根据勾股定理得：，列出方程求出，即可求出△ABD的面积． 【详解】（1）解：∵AB＝AC，AC＝， ∴AB＝， ∵BE⊥AD，AE＝， ∴在Rt△AEB中，； （2）解：设，则， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即, 则， 则. 题型07 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例7】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1) ， 另一方面， 即， ； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是____________． 【答案】(1) (2) 如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）略 （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 题型08 勾股定理的验证方法 【典例8】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5； (2) 证明：由图可知： ， 整理得：． 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）略 【变式1】（23-24七年级下·全国·暑假作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】 证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】略． 【变式2】（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【答案】(1) (2)， (3) 证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法： （1）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可； （2）根据梯形的面积公式以及梯形的面积等于三个直角三角形的面积进行求解即可 ； （3）根据（2）中两种表示方法表示的面积相等列式证明即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为； 根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为， 故答案为：，； （3）略 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，， ∴ 斜边为的对边，，为两条直角边， 根据勾股定理得 ． 2.（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意得：， ∴， 即所代表的正方形的边长为10． 4．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 6．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 7．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． 8．（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，，则的长度是______． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意，得出，在中，根据，列出方程，解方程即可求解． 【详解】设， ∵，， ∴， ∵是边上的高， 在中，， 即， 解得， 故答案为：3． 三、解答题 9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2) 证明：直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）略 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． (1)求公路的长度． (2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1) (2)（万元） 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及其应用，解题的关键在于利用勾股定理计算直角三角形的边长，通过三角形面积的不同表示方法建立等式求解未知量，最终计算所需费用，体现了数学知识在实际问题中的综合运用． （1）利用直角三角形中勾股定理求； （2）先通过与的长度差得到，再利用三角形面积的两种表示方法建立等式求出，最后计算费用． 【详解】解：（1）由题意，得， 所以由勾股定理，得，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以修建公路的费用为（万元）． 11．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) 证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 12．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解； （2）由折叠的性质可得：，，设，则，在中，根据勾股定理求出x，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴的面积为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2.（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】A 【分析】过点C作于点E，利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，传感器A距地面的高度为米，人高米， 如图②，过点C作于点E，则人离墙的距离为，则米， ∴（米）， 当人离传感器A的距离米时，灯发光， 在中，根据勾股定理可得，米， 故一个身高1.5米的学生要走到离墙4米远的地方灯刚好发光 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 9．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 10．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1) 证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 13．（24-25八年级上·福建三明·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，若，，求空白部分的面积； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积； (4)如图4，将八个直角边分别为、，斜边为的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则________． 【答案】(1)； (2)28； (3)24； (4) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． （1）分别求得小正方形的面积和大正方形的面积，进而可求解； （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可； （3）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】（1）解：当，时， 小正方形的面积为，大正方形的面积为， ， 故答案为：． （2）解：由题意得： 空白部分的面积为； （3）解：如图3，由题意，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 则， 解得， ∴该风车状图案的面积是 ； （4）解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形的一个三角形的面积设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； (3) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可； ②利用等面积法得到，化简即可； （2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可． （3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）略； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 15．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？ 【答案】 【方法理解】 【方法运用】解：根据题意得：， ， 由题意得，正方形的面积和四边形的面积相等， 则， 即； 【方法迁移]】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【方法理解】观察图形发现，将大正方形面积减去四个直角三角形的面积为正方形的面积，据此列式计算即可； 【方法运用】观察图形，根据正方形的面积公式得到正方形的面积，四边形的面积等于和的面积之和，列出表达式，再根据正方形的面积和四边形的面积相等，列式证明即可； 【方法迁移】假设，在和中，由勾股定理分别表示出，解出，进而求解线段的长度即可． 【方法理解】解：根据题意得： 故答案为：； 【方法运用】略 【方法迁移】解：根据题意得，在中，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 则， 解得， 因此， 即， 答：线段的长度是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1勾股定理的探究 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01勾股定理 2.知识清单 知识点02勾股定理验证 题型01以直角三角形三边为边长的图形缅积 题型02已知直角三角形的两边，求第三边长 题型03等面积法求直接斜边上的高问题 勾股定理的探究 题型04勾股定理与网格问题 3.题型精讲 题型05勾股定理与折叠问题 题型06利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型07利用勾股定理证明线段平方关系 题型08勾股定理的验证方法 基础白测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.经历“观察一猜想一归纳一验证”的探究过程，探索并掌握勾股定理，能运用定理 进行简单计算与说理，发展推理能力。 2.理解用“面积法”证明勾股定理的多种方法（如赵爽弦图、总统证法），感悟“以 教学目标 形助数”的数形结合思想。 3.了解勾股定理的历史背景与文化价值，在动手操作中积累活动经验，增强学习信 心，激发民族自豪感。 教学重点 1.引导学生经历勾股定理的探索与发现过程，理解直角三角形三边之间的数量关系。 教学重难点 2.掌握并运用勾股定理解决已知直角三角形两边求第三边的简单问题。 教学难点 1.用割补、拼接等面积法验证勾股定理，尤其是将斜边不在格线上的图形转化为可计 1/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 算面积的图形。 2. 从三个正方形面积关系抽象出三边数量关系，实现“形”与“数”的转化，体会数 形结合与从特殊到一般的数学思想。 知识清单 知识点01勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为4b,斜边长为C,那么+b=c2 斜边 直角边 直角边 注意：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 (2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目己知的线段长可以建立方程求解，这样 就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的， (3)理解勾股定理的一些变式：a=c2-b°，b=c2-a2,c2=(a+b}-2ab 运用：1.己知直角三角形的任意两条边长，求第三边： 2.用于解决带有平方关系的证明问题： 3.利用勾股定理，作出长为Vn的线段 【即学即练1-1】(25-26八年级下河北唐山期末)如图，A、C两地的距离为8km，B、C两地的距离 为6km,∠C=90°，则A、B两地的距离为() B C A.2√7km B.12km C.10km D.100km 【即学即练1-2】(25-26八年级下重庆荣昌期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,AB=3, 2/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则BC= 【即学即练1-3】(25-26八年级上甘肃武威期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90° A B (I)尺规作图：作BC边上的高AD(保留作图痕迹，不写作法)： (②)若AB=5,AC=12,求BC和AD的长. 知识点02勾股定理验证 (1)邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1)所示的正方形. 图(1）中Em=(a+b=c2+4×b,所以。2+62=c2. 1 2 (2)赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形 图（②）中M=G=6-+4X，a0,所以2=+2 2 (3)总统证法：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 S落形A3C2= +a+创-2xb+22,所以。2+2=c2 2 2 【即学即练2-1】(25-26八年级上山东济南·期中)勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载， 数学家赵爽首次给出了该定理的证明.如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明 思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式，请你运用“双求法”解决下面 的问题. 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)利用图1的赵爽弦图（其中b>a),完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）： 证明：大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形 的面积和为 ∴根据面积相等得 整理得：a2+b2=c2 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,求CD的长度： (3)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,求BD的长度. 题型精讲 题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例1】(25-26八年级下·安徽滁州期中)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的 边长是() 64 36 A.100 B.28 C.9 D.10 【变式1】(25-26八年级下·云南普洱期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为边 作正方形.若AB=6,正方形ADEC的面积为9，则正方形BCFG的面积为() 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.27 B.24 C.21 D.15 【变式2】(25-26八年级下陕西榆林期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC,BC为边向外 作正方形ADEC,正方形CBGF,若AB=16,则正方形ADEC和正方形CBGF的面积和为() D C A.150 B.200 C.225 D.256 【变式3】(25-26八年级下甘肃庆阳期末)如图，已知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正 方形C的面积为() B A.1 B.5 C.7 D.25 题型02已知直角三角形的两边，求第三边长 【典例2】(25-26八年级下·福建厦门·期末)直角三角形两边分别为6cm,8cm,那么该直角三角形的斜 边长为 cm 【变式1】(25-26八年级下·北京期中)已知一直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则这个直角 三角形的面积为一： 【变式2】(25-26八年级下·全国暑假作业)已知直角三角形的直角边长分别为5cm和12cm,那么这个直 角三角形的斜边长为 cm 【变式3】(25-26八年级下·新疆昌吉·期中)已知某直角三角形一条直角边长为9，斜边长为15，通过几 何公式计算，另一条直角边的长度为 题型03 等面积法求直接斜边上的高问题 【典例3】(25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中)已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么 这个直角三角形斜边上的高为一· 5/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(24-25八年级下辽宁葫芦岛阶段检测)若直角三角形的两直角边长分别为6,12，则该直角 三角形的斜边上的高为 【变式2】(24-25八年级上全国·阶段检测)若直角三角形的两直角边分别为10、24.则斜边上的高线长 【变式3】(24-25八年级上浙江温州阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6, AD⊥BC,垂足为D,则△ABC斜边上的高AD= B D 题型04勾股定理与网格问题 【典例4】(24-25八年级上陕西西安·期末)如图，这是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个项 点都在格点（网格线的交点）上，则边BC上的高是 【变式1】(23-24八年级上福建泉州期末)如图，在3×3正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都 为1，△ABC的三个顶点均在网格点上，则△ABC的周长等于 【变式2】(24-25八年级下广东广州期末)如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段AB的 长度是 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上河北保定阶段检测)如图，在小正方形的边长都为1的网格中，△ABC的顶点 都在格点（网格线的交点）上 (1)试说明：△ABC是直角三角形. (2)求点C到AB的距离. 题型05勾股定理与折叠问题 【典例5】(24-25八年级下·云南大理期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5cm, AC=13cm,将△ABC折叠，沿DE折叠，使点C与点A重合，则△ABE的周长等于_cm. D C 【变式1】(2026江苏徐州一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,将点A沿DE折叠，恰 好可以落在点B处，则CD=一， A B 【变式2】(25-26八年级下福建南平期中)如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠， 使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=4,AD=8,则AE的长为 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(23-24八年级下·海南省直辖县级单位阶段检测)如图，纸片ABCD为长方形纸片，把纸片 ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上的E处，折痕为AF,已知AB=I0,AD=8. D B (I)求DE的长. (2)求BF的长. 题型06 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例6】(25-26八年级上广东深圳开学考试)【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题. 例：求代数式+32+V12-x}+2的最小值. 分析：√+32和V(12-x}+2是勾股定理的形式，√+3？是直角边分别是x和3的直角三角形的斜 边，V(12-x}+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和 △DEF,并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这 时CF=X+12-X=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？” 根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值， 12-x B(E)12-x 2 图1 图2 图3 【模型应用】 (1)代数式V2+32+V12-x)}'+22的最小值为： (2)变式训练：利用图3，求代数式Vx+4+V(5-x+1的最小值： 【变式1】(2026安徽阜阳二模)综合与实践， 【项目主题】特殊三角形的再探究 8/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方 的和是否等于最大边的平方， 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想. ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍(k为正整数)，那么这个三角形叫做k倍 “平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”· 例如：AMBC三边长分别为3,4,5时，：2+4=5x(5,AABC是5信平方和三角形，方和倍等于 5. 又：42+(5=21≠32的正整数倍，32+(5=14≠4的正整数倍，△4BC仅仅是5倍平方和三角形. 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2,3,3，试说明该三角形是1倍平方和三角形： (2)在平方和△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°，a2=20,c2=80,求方和倍 的值： (3)在4倍平方和△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a>b,求a2:b2:c2的 值. 【变式2】(24-25八年级下·陕西西安·期中)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，AD⊥BC.若AB=5,BD=3,CD=6,则AC= 问题探究 (2)如图2，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且AC⊥BD 求证：BC2+AD2=AB2+CD2 问题解决 (3)如图3，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B=90°，AB=600米，AD,DE是两条小道，D为 BC的中点，DE⊥AC于点E.该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF,且满足EF=EC, ∠AFE=90°.请根据上述条件，求骑行小道AF的长。 图1 图2 图3 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级下·广东潮州阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,D为线段BC的延长线上 一点，且DB=DA,BE⊥AD于点E,取BE的中点F,连接AF. ()若AC-=V5,AE=V3,求BB的长： (2)在(1)的条件下，求△ABD的面积. 题型07 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例7】(25-26八年级下·安徽准北期中)在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°， 如图1，由勾股定理可得结论：(a2+b2=c2;若∠C<90°（如图2）或∠C>90°（如图3）时，请你完成 下列探究： 图1 图2 图3 (猜想：(i)若∠C<90°，则a2+b2 c2;(填“=”“>”或“<”) (ii)若∠C>90°，则a2+b2 c2;(填“=”“>”或“<”) (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性. 【变式1】(2425八年级上全国期末)如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成， 每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b,斜边长为c. 图1 图2 (1)如图1请你用它验证勾股定理. 10/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2四边形ABCD中AC⊥BD于点O,AB=6,BC=5,CD=2,请直接写出AD=_ 【变式2】(24-25八年级上江苏常州期中)在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=C,若∠C=90,如图①， 则有a2+b2=c2;若△ABC是锐角三角形，小明猜想d2+b>c2,理由：如图②，过点A作AD⊥CB, 垂足为D,设CD=x.在Rt△ADC中，AD=b-x2,在RtAADB中，AD2=c2-(a-x, ∴b2-x2=c2-(a-x,整理得a2+b=c2+2amx,a>0,x>0,2a>0,÷a2+b2>c2，∴当 △ABC是锐角三角形时，口2+b>c2,∴小明的猜想是正确的. A D a a ① ② ③ ()请你猜想，△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时，口2+b一c2(填“>”“<”或“=”)； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的. (3)若AB=15,AC=13,BC=4,则△ABC的面积是 【变式3】(25-26八年级上安徽宿州阶段检测)我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形. D B H 图1 图2 ()如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求证：a2+c2=b2+dP, (②)如图2，在长方形ABCD中，AB=10,AE⊥BD分别交BD,BC于点F,E,AD:BE=4:L,求BE的长. (3)在(2)的条件下，求AF的长. 题型08勾股定理的验证方法 【典例8】(24-25八年级上陕西宝鸡阶段检测)我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）·数学家还发现：在一个直角三 角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和 b,斜边长度是c,那么a2+b2=c2 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直 D 斜 边 a 边 直角边 E a B (图①) (图②) (1)直接填空：如图①，若a=3,b=4,则c= ;若a+b=4,c=3.则直角三角形的面积是 (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边ABEB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系， 试说明a2+b2=c2, 【变式1】(23-24七年级下·全国·暑假作业)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其 中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时， 都可以用“面积法”来证明勾股定理. 下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图(1)所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2+b2=c2 E b 36 b a B 图(1) 图(2) 【变式2】(23-24八年级下·河南许昌·期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务 勾股定理的证明.勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数 学和其他学科中也有着极为广泛的应用.正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入 的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证 明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一， 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理.其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为 佳话.他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的 面积)的两个代数式相等”进行证明.任务： 12121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 b a (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为和 (3)根据(2)中的结果，写出证明过程， 【变式3】(26-27八年级全国·暑假作业)在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解 形”的研究策略， Q b B C B D 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C,观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 即可完成勾股定理的证明.请你结合图形尝试证明：a2+b=c2: (②)【结论运用】如图2，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°.若BC=5,AB的长比AC的长大1，求 AB的长： (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃ABC,其中AB=13米，BC=14米，AC=15米， 计划在这块花圃中起一道栅栏AD,将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 强化训练 基础自测 一、单选题 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26八年级下湖北襄阳阶段检测)在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对应边分别是a, b,c,则下列式子成立的是() A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.a2+b2=2c2 D.b2+c2=a2 2.(25-26八年级下·重庆巫山期末)已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为() A.13 B.15 C.17 D.20 3.(25-26八年级下广西南宁·期中)如图，分别以直角三角形的三边为边长，向外作三个正方形，数字 代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为() 64 36 A A.4 B.6 C.8 D.10 4.(25-26七年级上'山东东营期中)如图，在△CDE中，∠CDE=90°，DE=12cm,CE=13cm,以 CD为边作正方形ABCD,则正方形ABCD的面积是() D 12cm 13cm B C A.5cm2 B.25cm2 C.144cm2 D.169cm2 二、填空题 5.(25-26八年级下云南曲靖期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,AB= 6.(25-26八年级上广东茂名期中)已知一直角三角形的两直角边的长分别是8和15，则这个三角形的 周长为 7.(25-26七年级下河北张家口·期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1,BC=2,则正方形 ADEC的面积是 E D B 8.(24-25八年级下·全国阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,BD为AC边上的高， BD=4,CD=2,则AD的长度是 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 三、解答题 9.(25-26八年级上·浙江金华阶段检测)勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称 “算两次”)，即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理. 如图， a 6 ()要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得一，用分割计算面积得一 (2)请尝试验证勾股定理， 10.(25-26八年级上·全国课后作业)如下图，现从A地分别向C,D,B三地修了三条笔直的公路 AC,AD和AB,且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一 条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直.已知 AC =9km.AB=15km,BD 5km H D B (I)求公路BC的长度， (2)若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的费用. 11.(23-24九年级上安徽开学考试)如图，在Rt△ABC中，己知∠A=90°，D是斜边BC的中点， DE⊥BC交AB于点E,连接CE. E ▣ D (1)求证：BE2-AE2=AC2: 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC=6,BD=5,求△ACE的周长 12.(23-24八年级上陕西西安·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm, 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C'点. B D (1)求AC的长： (2)求△ADC的面积. 能力提升 一、 单选题 1.(25-26八年级下·安徽准南期中)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,那么下列结论正确的 是() D B A.OA2+0C2=0B2+0D2 B.AD2+CD2=AB2+BC2 C.AD2+BC2=AB2+CD2 D.AB2+OC2=CD2+0A2 2.(25-26八年级下·甘肃庆阳期末)如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙 上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5米的学生要走到离墙 多远的地方灯刚好发光？() A 4.5m 4.5m 门 D 图① 图② A.4米 B.3米 C.5米 D.7米 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下·云南昆明期末)如图，以Rt△ABC的两边往外作的正方形，其面积分别为S,S2, 若S=100,S2=36,则BC边长为() S B A.64 B.16 C.8 D.4 4.(25-26八年级下湖南长沙~期末)下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（) a 5.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在△ABC中，AC=AD,，BD=10,CD=8,记AB长为x, AC长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是() B D A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-y2 二、填空题 6.(25-26八年级下·甘肃平凉·期末)某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走 的路径，机器人从点P处先往西走l13m,又往北走4m,遇到障碍后又往东走6m,再转向北走8m后往西 拐.走了2m就到达点，则P、Q两点之间的距离为m. 8m 6m 4m 13m 7.(25-26八年级下广东广州期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正 方形ABDE,正方形BCFG,正方形ACH,AI交CF于点J.三个正方形没有重叠的部分为阴影部分， 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 记四边形BGF的面积为S,四边形CHJ的面积为S2,若S-S,=15,S△Ac=10,则AB的长为 S B D 8.(25-26八年级上辽宁沈阳阶段检测)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AC⊥BD AB=5,CD=V13,则BC2+AD2=一· 9.(23-24八年级上陕西西安·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=l,BC=4,则AB2+CD2= B 10.(25-26八年级上·江苏连云港期中)明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数 学问题：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=6,沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上 的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于点E,则AE的长为 三、解答题 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(23-24八年级下·安徽蚌埠期中)如图，在△ABC中，AD1BC B D (1)求证：AB2-AC2=BD2-CD2: (2)当AB=8,BC=6,AC=2N3时，求AD的值. 12.(25-26八年级上陕西西安·期中)【问题提出】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,若AB=5,AC=12,求AD的长度： 【问题探究】 (2)如图2，已知∠B=∠ACD=90°，AB=3,BC=2,CD=1,求AD的长度： 【问题解决】 (3)如图3，△ABC是某景区的局部示意图，AD,DE是两条观景小道，该景区的规划部门计划在AC的 上方找一点F,使得EF=EC,∠AFE=90°，并沿AF修一条骑行小道，经测量，∠B=90°，D为BC的中 点，DE⊥AC于点B,AB=700m,求骑行小道AF的长度. 图1 图2 图3 13.(24-25八年级上福建三明期中)【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角的面积， 从而得数学等式：a+b=2+4xb,化简证得勾股定理：d心+公=2· 19121 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步运用】 b 图1 图2 图3 图4 小正方形面积 ()如图1，若a=2’b=3:则大正方形面积 (2)如图2，将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，若a=4,b=6,求空白部分的面积： (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3, 求该风车状图案的面积； (④如图4，将八个直角边分别为a、ba<b),斜边为c的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S,S2,S,若S+S,+S,=40,则S,= 14.(25-26八年级下·广西百色期中)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的 方式摆放，点E与点B重合，点C,B,F在一条直线上，连接AD,△ABC的三边长分别为a,b,C (a>b),利用四边形ACFD的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理. B(E)b E B(F) 图1 图2 (D根据梯形面积公式得到：S彩4cm=2(a+b)(a+b):根据面积求和得到： S四边形ACFD=SMBC+S△BDF+S△MBD=】 一（用含a,b,c的式子表示）： ②利用面积的等量关系，整理得出： (2)【探究】童童将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示， AB与DE交于点O.童童在图2中也尝试利用四边形ACFD的面积对勾股定理进行证明.请你帮助她完成 证明过程： (3)【应用】在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为112.5，AC的长为9，求BC的长。 15.(25-26八年级上山东青岛期中)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是 著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为a,b,斜边为C的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 勾股定理.思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正 形的面积之和，即bx4+6-@、从而得到等式cab×4+b-@,化简便得结论+ 里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”. 5 a 图1 图2 图3 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，A、B、C、D均为格点（网格线的交点），则正方形ABCD 的面积S正方形ABCD= 【方法运用】如图3，对任意符合条件的Rt△BAC,绕其锐角顶点A逆时针旋转9O°得到Rt△EAD ∠BAE=90°，连接BE,延长DE,BC,交于点F,易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边 形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明 勾股定理的方法. 【方法迁移】 如图4，在△ABC中，BD是AC边上的高，AB=4,BC=8,AC=10,求线段BD的长度是多少？ B D 图4 21/21