3.1 勾股定理的探究(讲义，2大知识12大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，从网格面积探究直角三角形三边关系切入，系统梳理定理识记（文字与符号语言）、面积法证明（赵爽弦图等）及应用（计算边长、解决实际问题），通过课标要点、重难点解析、即学即练构建学习支架。 该资料以探究式学习培养数学眼光，如网格面积法发展几何直观，赵爽弦图证明强化推理意识。12类分层题型（如折叠问题、勾股树面积）提升运算能力与模型观念，课中助力教师系统授课，课后通过基础通关、素养提升帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

第三章 勾股定理 3.1 勾股定理 课标要点 1. 借助网格面积探究直角三角形三边关系，识记勾股定理，写出表达式。 2. 利用面积法验证勾股定理，区分直角边、斜边，明确定理适用前提。 3. 运用勾股定理计算直角三角形边长，结合实际检验结果是否合理。 学习重难点 重点： 1.勾股定理内容辨析，的规范书写。 2.在直角三角形中，已知两条边长求第三条边长。 3.利用割补法探究、验证勾股定理。 难点： 1.找准斜边（最长边），区分公式里的直角边与斜边，避免公式边长代换错误。 2.网格割补法、等面积法推导勾股定理，理解面积转化思想。 3.结合实际几何应用题挖掘隐藏直角条件，构造直角三角形模型求解边长。 知识点一 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 特别提醒 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 易错提醒 如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，是边上的高，是边上的中线，若，则的长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，即可求出． 【详解】解：由题意，可知， ∴， ∵是直角三角形，是斜边的中线， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理：根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【详解】解：在中，，因此为斜边，和为直角边． 由勾股定理，得， 则， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 知识点二 勾股定理的证明 1）赵弦爽图：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，整理得． 2）毕达哥拉斯拼图：如图二，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 3）加菲尔德证法拼图：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 题型01 用勾股定理解三角形 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏·期末）直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，面积法的应用，先根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为h， ∵两直角边长为3和4， ∴斜边长为， ∵直角三角形面积， ∴， 解得， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为等腰三角形，，，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解． 【详解】如图，过点A作于点D， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，根据题意可得，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意得，， ∴． 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为___． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线的性质求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，． 是的平分线，，， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 题型02 分类讨论思想求边长 解题贴士 如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解 典｜例｜精｜析 例2．（内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题）直角三角形两边长分别为5和12，则第三边为______． 【答案】13或 【分析】本题考查勾股定理的应用，分情况讨论两边均为直角边或一边为斜边的情形，进而求解即可． 【详解】解：当5和12均为直角边时， 由勾股定理得斜边； 当12为斜边，5为一条直角边时，另一条直角边． 故答案：13或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）中，，，高，则的长为__． 【答案】14或4 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，注意分两种情况讨论． 【详解】解：如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； 当在点右侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 综上，的长为14或4． 故答案为： 14 或 4 ． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，则的取值范围_______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握三角形的三边关系及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 由题意可知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，当或时，能作出唯一一个， 当时， ， ∴，即此时， 当时， ， ， 即时能作出唯一三角形， 综上所述：当或时能作出唯一一个， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在三角形中，，，，那么______．（结果保留根号） 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分是锐角和钝角两种情况，分别画出图形，利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当是锐角时，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当是钝角时，如图，过点作的延长线于，则， 同理可得，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 题型03 勾股定理的证明问题 解题贴士 证明勾股定理的“三步骤” 1）读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中包括几个直角三角形、几个正方形，它们的边长各是多少， 2）列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式， 3）化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理. 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【详解】（1）证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 题型04 以直角三角形三边为边长的图形面积 解题贴士 勾股树每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 利用勾股定理可得；过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，证明，即可用表示出，即可解答． 【详解】解：设中，，则， 根据题意可得， ， 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点， 根据题意可得，即， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，即， 同理可得， ，， ， 根据勾股定理可得，即， 根据勾股定理可得， 即， ， 故答案为：；． 题型05 勾股定理与网格问题 典｜例｜精｜析 例5．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．不妨设每个小正方形的边长为，则，，再根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， ∴， 由网格可知，， ∵， ∴，， 如图，观察四个点可知，点可能是图中的点， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求格点间的距离，再判断否过化简二次根式，判断是否为无理数，解题的关键是熟悉勾股定理求线段长． 【详解】解：的顶点在格点上，每个小正方形的边长为， ；；． 都是无理数， 无理数的边数是． 故选：． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 【答案】 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型06 勾股定理与折叠问题 解题贴士 1）折叠问题中求解线段长度的问题，常常将某些条件集中在某个直角三角形中，再运用勾股定理进行求解，当然也可以借助于相似三角形的判定与性质来解决问题. 2）在直角三角形中，已知两边利用勾股定理可求第三边，已知一边和另外两边的关系，可利用勾股定理列方程求另外两边. 3）利用勾股定理解决实际问题，一般是把实际问题转化为数学问题，抽象出一个直角三角形，利用勾股定理列方程解决. 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）图直角三角形，两直角边长，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题和勾股定理的综合运用，根据折叠的性质得到是解决本题的关键． 根据折叠的性质得，设，则，在中，根据勾股定理得， 然后解方程即可． 【详解】解：折叠，点与点重合，折痕为， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即等于 ． 故选：D． 2．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型07 勾股定理与数轴问题综合 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点C表示数，可得E点表示的数． 【详解】解：∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：， ∵点C表示数， ∴点表示的数是， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，，，以 A点为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点P．若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表示的数为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，则可得，再利用实数与数轴关系即可得出答案． 【详解】解：点A表示的数为0，点B表示的数为1， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得 ， ， ∴， ∵点P在数轴的负半轴上， ∴点P表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理和用数轴上的点表示实数是解题的关键． 3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）在中，，，．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧． (1)阅读并填空：如图，若为锐角，则； 证明：如图，过点作于点，则． 在中，， 在中， ___________， ∴___________． 即， ∴． ∵，，∴，∴． (2)解答问题：如图，若为钝角，试推导与的大小关系． 【答案】(1)； (2)，推导见解析 【分析】（1）根据题意作出证明过程即可； （2）过作的延长线于，分别在与中，由勾股定理可得，进而得，则由及为正数即可得与的关系． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，则． 在中，， 在中， ， ∴． 即， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：；； （2），推导如下： 如图3，过作的延长线于，则， 在中：， 在中：， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理的运用，考查学生接受新事物的能力，能理解题目并进行有效的推论是解本题的关键． 3．（22-23八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 4（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 题型10 用勾股定理构造图形解决问题 典｜例｜精｜析 例10．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为_______________尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点B作于H，先判断四边形是矩形，则可得，，，设，在中，根据勾股定理构造关于x的方程，然后求解即可． 【详解】解∶过点B作于H， 根据题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， 即长为尺． 故答案为：． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段检测）（勾股定理的应用）如图，在中，，，，则___________．    【答案】 【分析】过C作，垂足为D，设，在和中，利用勾股定理列出方程，解之得到，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过C作，垂足为D， 设，则， 在和中， ， 即， 解得：，即， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出相应线段长． 3（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为________寸．    【答案】101 【分析】过作于，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：过作于，    设， 则，，， 在中，可有，即， 解得， 所以门的宽度的和为101寸． 故答案为：101． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键． 题型11 利用勾股定理比较无理式大小 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·全国·单元测试）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．在比较与的大小时，如图，在Rt中，，易得，延长到点使得，在Rt中，易得，在中，根据三边关系可得，类比这种方法，比较与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，勾股定理的应用，如图，在Rt中，，，延长，使，连接，再进一步利用勾股定理与三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：如图，在Rt中，，，延长，使，连接， ∴，， ∵， ∴； 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河南·期中）下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（   ） A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】本题考查了实数比较大小，勾股定理，三角形三边关系，根据两个正数比较大小，平方数越大，则这个正数就越大，则小明的思路进行判断，再根据勾股定理和三角形的三边关系对小亮的思路进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，， ∵， ∴，故小明思路正确； 设直角三角形的两直角边为，， ∴斜边为， ∴根据三角形的三边关系得，，故小亮思路正确； 综上可得：两人都对， 故选：． 2．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质，对称的性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键． （1）画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． （2）取点关于的对称点，连接，利用勾股定理可知，根据图片可知，，是等腰直角三角形，由对称的性质可知，利用等量代换，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 构造，由勾股定理得： ， ， ， 在中：， ， （2）解：如图： 取点关于的对称点，连接，， 由对称的性质可知：， 由图可知：, 则， ， 是等腰直角三角形， , , ， 即：． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：，，， 在中，， ∴． 题型12 以弦图为背景的计算题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，推出，再利用勾股定理构建方程求出可得结论． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是_______ ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·福建宁德·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 由①得， ∴ = = = ∵， ∴， 即 故②错误； 用x，y表示直角三角形的两条边()， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴直角三角形的面积和为， 于是得到， 解得； 即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，连接，由垂直平分线的性质可得，先通过勾股定理求得，设，则，再根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理和等腰直角三角形，过点A作于点E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．在中，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是边上的中线，且， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积， 故选：C． 6．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．已知是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C．中，分别是、、的对边，若，则 D．中，分别是、、的对边，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查的是勾股定理，熟知定理内容是解答此题的关键． 根据勾股定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵ 勾股定理规定：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； A、三角形未必是直角三角形，∴ 不一定成立，故说法错误； B、直角三角形中，任意两边的平方和不一定等于第三边的平方，只有两直角边的平方和等于斜边的平方， 故说法错误； C、在中，，则a是斜边，∴ 应有，而非，故说法错误； D、在中，，则c是斜边，∴ ，说法正确； 故选：D． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 同理可得：，； 故选B． 8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 先根据勾股定理得到，再代入求值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，利用勾股定理可求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 由作图步骤可知：， ． 12．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 素养提升 1．（江苏南通市市直学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）在中，，三边长分别为，，．若，则斜边的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，偶数次方的非负性，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 先通过直角三角形面积公式得到两直角边的关系，再结合勾股定理和完全平方公式的变形推导斜边的最小值． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 由勾股定理，得， ∵，即，即， 将代入得， ∵， ∴，即斜边c的最小值为2． 故选：D． 2．（2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，勾股定理，先由勾股定理求出，然后分当时，当时，当时，三种情况分析求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 综上可得：的长为或或， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 4（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和定理等知识，由题意可得平分，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求出度数；过作，交延长线于点，设点到三边的距离为，则，通过等角对等边，勾股定理求得，，然后通过等面积法即可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与的角平分线交于点， ∴点到三边的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作，交延长线于点，则， 设点到三边的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】解：（1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图①，在中，，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则不难证明 (1)如图②，在中，，分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，那么，，之间的关系是：______（不必证明） (2)如图③，中，，分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用，，表示，请你确定，，之间的关系并加以证明 (3)利用图①的结论，解决下列问题：如图④，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为，，，．则______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． （1）根据圆的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； （2）利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得证； （3）过作的垂线交于，通过证明的面积，依此即可求解． 【详解】（1）解：如图②，分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，那么， 理由为：在 中，利用勾股定理得：， ， 即， 即． （2）解：如图③，分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、表示，、、之间的关系为， 理由为：在 中，利用勾股定理得：， ， ， 即． （3）解：过作的垂线交于， 在中，，，． ∵分别以、、为边在的同侧作正方形、、， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 勾股定理 3.1 勾股定理 课标要点 1. 借助网格面积探究直角三角形三边关系，识记勾股定理，写出表达式。 2. 利用面积法验证勾股定理，区分直角边、斜边，明确定理适用前提。 3. 运用勾股定理计算直角三角形边长，结合实际检验结果是否合理。 学习重难点 重点： 1.勾股定理内容辨析，的规范书写。 2.在直角三角形中，已知两条边长求第三条边长。 3.利用割补法探究、验证勾股定理。 难点： 1.找准斜边（最长边），区分公式里的直角边与斜边，避免公式边长代换错误。 2.网格割补法、等面积法推导勾股定理，理解面积转化思想。 3.结合实际几何应用题挖掘隐藏直角条件，构造直角三角形模型求解边长。 知识点一 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和_________斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么_________. 变式：，， . 特别提醒 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 易错提醒 如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，是边上的高，是边上的中线，若，则的长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 知识点二 勾股定理的证明 1）赵弦爽图：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，整理得． 2）毕达哥拉斯拼图：如图二，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 3）加菲尔德证法拼图：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 题型01 用勾股定理解三角形 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏·期末）直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为等腰三角形，，，若，则________． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则______． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为___． 题型02 分类讨论思想求边长 解题贴士 如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解 典｜例｜精｜析 例2．（内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题）直角三角形两边长分别为5和12，则第三边为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）中，，，高，则的长为__． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，则的取值范围_______． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在三角形中，，，，那么______．（结果保留根号） 题型03 勾股定理的证明问题 解题贴士 证明勾股定理的“三步骤” 1）读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中包括几个直角三角形、几个正方形，它们的边长各是多少， 2）列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式， 3）化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理. 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C．D． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 题型04 以直角三角形三边为边长的图形面积 解题贴士 勾股树每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________． 题型05 勾股定理与网格问题 典｜例｜精｜析 例5．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 题型06 勾股定理与折叠问题 解题贴士 1）折叠问题中求解线段长度的问题，常常将某些条件集中在某个直角三角形中，再运用勾股定理进行求解，当然也可以借助于相似三角形的判定与性质来解决问题. 2）在直角三角形中，已知两边利用勾股定理可求第三边，已知一边和另外两边的关系，可利用勾股定理列方程求另外两边. 3）利用勾股定理解决实际问题，一般是把实际问题转化为数学问题，抽象出一个直角三角形，利用勾股定理列方程解决. 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）图直角三角形，两直角边长，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 题型07 勾股定理与数轴问题综合 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 2．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，，，以 A点为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点P．若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表示的数为______． 3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 题型08 利用勾股定理证明线段平方关系 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）在中，，，．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧． (1)阅读并填空：如图，若为锐角，则； 证明：如图，过点作于点，则． 在中，， 在中， ___________， ∴___________． 即， ∴． ∵，，∴，∴． (2)解答问题：如图，若为钝角，试推导与的大小关系． 3．（22-23八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 4（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 题型10 用勾股定理构造图形解决问题 典｜例｜精｜析 例10．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为_______________尺． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段检测）（勾股定理的应用）如图，在中，，，，则___________．    3（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为________寸．    题型11 利用勾股定理比较无理式大小 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·全国·单元测试）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．在比较与的大小时，如图，在Rt中，，易得，延长到点使得，在Rt中，易得，在中，根据三边关系可得，类比这种方法，比较与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河南·期中）下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（   ） A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 2．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 题型12 以弦图为背景的计算题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是_______ ． 3．（22-23八年级上·福建宁德·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是______．（填写序号） 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 6．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．已知是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C．中，分别是、、的对边，若，则 D．中，分别是、、的对边，若，则 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D．无法计算 10．（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 _____ ． 12．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 素养提升 1．（江苏南通市市直学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）在中，，三边长分别为，，．若，则斜边的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 4（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图①，在中，，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则不难证明 (1)如图②，在中，，分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，那么，，之间的关系是：______（不必证明） (2)如图③，中，，分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用，，表示，请你确定，，之间的关系并加以证明 (3)利用图①的结论，解决下列问题：如图④，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为，，，．则______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $