第3章 勾股定理章节复习 讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学勾股定理章节复习讲义通过知识结构框架图呈现直角三角形、勾股定理、应用及判定方法的内在联系，用表格归纳常见勾股数（如3,4,5及其倍数等），系统梳理勾股定理、逆定理及公式变形，明确重难点分布。 讲义亮点在于典型例题覆盖10大考点，如求阴影面积（培养几何直观）、梯子滑动问题（发展应用意识），结合变式题递进训练。通过“勾股树”“折叠问题”提升空间观念与推理能力，支持分层教学，助力学生自主复习。

朗道成就梦想 办学宗旨：以人为本 成就师生 服务社会 教育改变人生 办学理念：注重思维训练 培养科学精神 第3章 勾股定理 章节复习 一、学习目标 1、能说出勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2、会阐述运用直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）． 3、能用勾股定理及其逆定理解决问题 二、知识梳理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 常见勾股数如下： 3,4,5 6,8,10 9,12,15 12,16,20 15,20,25 5,12,13 7,24,25 9,40,41 10,24,26 8,15,17 勾股定理逆定理： 1、如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 2、常见平方数： ； ； ； ； ； ； ； ； ；； ； ； ； ； 知识结构： ( 直角三角形 勾股定理 应用 判定直角三角形的一种方法 ) 三、典型例题 考点一：利用勾股定理求面积 例1.分别求下面阴影部分的面积： （1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆． 【变式】 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 例2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长的平方为 ． 【变式】已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 ． 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中的高 例3、在△ABC中，若AB = 15，AC = 13，高AD = 12，求△ABC的周长. 【变式】在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，求三角形ABC的面积。 考点四、求线段的长 例4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______m. 【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠B=90∘,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,求EB′的长。 【变式2】如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,点C落在C′的位置上。 (1)若∠BFE=65∘，求∠AEB的度数； (2)若AD=9cm，AB=3cm，求DE的长。 考点五：应用勾股定理解决勾股树问题 例5、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．94 【变式】如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为　 　． 考点六：勾股定理的证明 例6、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证：. 【变式】如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）用含代数式表示四边形的面积； （3）求证：． 考点七：其他图形与直角三角形 例7.如图，已知在四边形中，，，，，． （1）连结，求的长； （2）求的度数； （3）求出四边形的面积. 【变式】如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。 考点八：构造直角三角形解决实际问题 例8.在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答） 【变式】如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？ ( E C D B A ) 考点九：与展开图有关的计算 例9、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离． 【变式】如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm. 考点十：构造直角三角形或全等 例10、如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，△ABC为等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，则CD为____． ( A B C D ) 【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为____。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $