第3章 勾股定理章节复习 讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理 章节复习

一、学习目标

1、能说出勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、会阐述运用直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）．

3、能用勾股定理及其逆定理解决问题

二、知识梳理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

3、勾股数

   满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数如下：

 

勾股定理逆定理：

1、如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

2、常见平方数：

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知识结构：

                  

 

 

 

 

三、典型例题

考点一：利用勾股定理求面积

例1.分别求下面阴影部分的面积：

（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．

 

 

 

 

【变式】 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

    

                                                         

 

 

 

 

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 

例2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长的平方为           ．

【变式】已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是                   ．

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中的高

例3、在△ABC中，若AB = 15，AC = 13，高AD = 12，求△ABC的周长.

 

 

 

【变式】在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，求三角形ABC的面积。

 

 

 

 

 

 

 

 

考点四、求线段的长

例4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______m.

 

 

 

【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠B=90∘,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,求EB′的长。

 

 

 

 

 

 

 

 

【变式2】如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,点C落在C′的位置上。

(1)若∠BFE=65∘，求∠AEB的度数；

(2)若AD=9cm，AB=3cm，求DE的长。