重难点10 压轴题满分特训（3大知识点+8大题型培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点10 九年级上册压轴题满分特训 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 九上代数压轴核心体系（方程+函数） 知识点二 九上几何压轴核心体系（变换+圆+几何综合） 知识点三 九上压轴通用解题闭环（满分必备） 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 一元二次方程含参、整数根、判别式、代数式最值代数压轴 题型2 二次函数图像性质、定点定值、区间最值、函数不等式综合压轴 题型3 二次函数动点线段、周长、面积最值综合压轴 题型4 二次函数特殊三角形、特殊四边形存在性分类讨论压轴 题型5 二次函数与相似三角形、角度存在性拔高压轴 题型6 二次函数实际应用最值、含约束条件方案择优压轴 题型7 旋转模型全等、动态角度、线段最值几何压轴 题型8 圆的切线证明、线段计算、圆与多边形综合压轴 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 代数压轴核心：一元二次方程含参问题、根的分布、判别式综合、代数式最值与恒等变形，侧重代数推理与严谨计算。 2. 二次函数压轴体系：解析式求解、开口与对称轴分析、顶点最值、区间最值、函数与方程不等式三者综合转化。 3. 二次函数几何压轴：动点背景下线段、周长、面积、角度、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形存在性探究。 4. 几何变换压轴：旋转全等、旋转最值、手拉手模型、动态几何分类讨论，侧重辅助线构造与几何转化思维。 5. 圆基础压轴：垂径定理、圆周角转化、切线证明、圆与三角形四边形综合、简单圆动态探究。 6. 函数应用压轴：利润最值、几何面积最值、抛物线轨迹建模、自变量区间受限的实际最值问题。 7. 综合素养考点：多情况分类讨论、数形结合、动静转化、参数推理、漏解排查、解题规范与区间取舍。 1. 分层梯度命题：九上期末、选拔考试、中考均采用“多问递进”结构，第一问基础求值、第二问中档综合、第三问压轴探究，层层区分学生能力层级。 2. 代数几何融合化：纯代数计算逐步弱化，以二次函数为核心载体，融合几何性质、动态动点、存在性探究，是现阶段压轴主流方向。 3. 分类讨论成必考难点：线段位置、点的区间、直角顶点、等腰顶点、相似对应、动点位置多解问题，是高分段核心拉分点。 4. 重模型、重迁移：试卷压轴大量依托固定母题模型（将军饮马、手拉手、铅垂高面积、特殊图形存在性），考查学生模型识别与变式迁移能力。 5. 去套路重严谨：近年命题增加参数约束、区间限制、实际情境限制，杜绝机械套公式，重点考查思维严谨性与逻辑完整性。 考情解码： 1. 模块地位：本专题是九年级上册所有重难点的汇总收官，整合一元二次方程、旋转、圆、二次函数四大核心章节，是九上期末最高分差模块，也是初中中考压轴的前置核心储备。 2. 分值与考频：期末统考压轴10–12分、重点校选拔测试必考，是区分中上学生与顶尖学生的决定性专题。 3. 核心失分规律：会基础计算但不会动态分析；能列式但遗漏分类讨论；不验证自变量取值区间；几何辅助线不会构造；相似、特殊图形对应关系混乱导致漏解、错解。 4. 备考核心：建立“代数算理+几何模型+分类思维+区间验证”四位一体的压轴解题体系，吃透所有九上母题模型，突破压轴瓶颈。 知识点一 九上代数压轴核心体系（方程+函数） 1. 一元二次方程拔高：四种解法择优运算、含参数判别式分析、根与系数关系、整数根、参数取值范围、方程与代数式求值综合。 2. 二次函数核心性质：一般式、顶点式、交点式灵活互化；开口、对称轴、顶点、增减性精准判断；定点、定值、对称点快速求解。 3. 三者互通关系：二次函数、一元二次方程、二次不等式双向转化，利用图像判断根的情况、解集范围、函数值区间。 4. 区间最值核心：区分顶点在区间内、区间左、区间右三种情况，突破“数学最值≠实际最值”核心难点。 知识点二 九上几何压轴核心体系（变换+圆+几何综合） 1. 旋转几何压轴：旋转全等性质、手拉手模型、半角模型、动态旋转最值、共顶点等线段辅助线构造逻辑。 2. 圆综合核心：垂径定理、圆周角倒角、切线判定与性质、圆内接多边形性质、半径弦长勾股计算模型。 3. 几何通用思想：倒角转化、等线段转化、面积割补、动静结合、分类讨论，适配所有动态几何压轴。 知识点三 九上压轴通用解题闭环（满分必备） 1. 设点：动点坐标标准化设法，函数动点、几何动点统一表达式。 2. 转化：坐标转线段、线段转比例、比例转方程、几何条件转代数等式。 3. 分类：等腰、直角、平行四边形、相似、动点位置全部固定分类清单，杜绝漏解。 4. 取舍：结合自变量范围、图形位置、实际意义取舍增根与不合理解。 题型1 一元二次方程含参、整数根、判别式、代数式最值代数压轴 【例1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 【变式训练1-1】定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： (1)求出反比例函数的不动点值； (2)若二次函数有和两个不动点值． 求该二次函数的表达式； 将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围； 若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 【答案】(1)和； (2)；；． 【分析】（）根据新定义列方程，然后解方程即可； （）将，代入解析式，然后解方程即可； 根据题意可得，根据新定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，根据二次函数的性质即可求解； 过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，根据性质可得，则，然后求出直线的解析式为，最后由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数的不动点值为和； （2）解：∵二次函数有和两个不动点值， 将，代入解析式得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 根据题意可得， ∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵，为方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∵当时，随的增大而减小， 当，， ∴； 如图所示，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， 则， 设点的坐标为， 则，， 设点的坐标为， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 当时，，即过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练1-2】随着新课程改革的不断深入，考查学生从知识型转化到能力型，注重了对数学思想方法的考查．数学思想方法是一种“隐性的知识”，是数学的生命和灵魂，是把知识转化成能力的桥梁，“以形助数”“以数解形”“分类思想”，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化．对数学方法掌握直接影响着答题的效率和整个解题的思路，我国著名数学家华罗庚说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请结合所学知识解决下列问题． 已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根； (2)若关于的二次函数的对称轴为，当直线与抛物线的图象有两个不同的交点时，求的取值范围； (3)若关于的二次函数的图象与轴两交点间的距离为时，求抛物线的解析式． 【答案】(1) 证明：分两种情况讨论， 当时，方程即方程有实数根； 当时，则一元二次方程的根的判别式， ， ， ∵不论为何实数，成立， ∴方程恒有实数根， 综合可知取任何实数，方程恒有实数根； (2)； (3)所求抛物线的解析式为，或． 【分析】（）分两种情况讨论证明即可； （）先根据对称轴求出抛物线解析式，再将抛物线与直线解析式联立，根据图象有两个不同的交点，得到列式可求出的取值范围； （）根据抛物线与轴两交点间的距离为列出，求出的值，即可求出抛物线的解析式；本题考查一元二次方程及其根的判别式，二次函数图象与x轴的交点，以及与一次函数图象的交点问题，掌握数形结合以及转化思想是解题的关键. 【详解】（1）略 （2）由题意可知： ∵，，，对称轴直线， 即，解得， ∴抛物线的解析式为， 当直线与抛物线组成的图象只有两个交点时， ∴，即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴的取值范围为：； （3）设，为抛物线与轴交点的横坐标， 则有 ，， 由， ， ， 由 ，得或 ， 解得 或 ， ∴抛物线的解析式为或． 【变式训练1-3】阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 题型2 二次函数图像性质、定点定值、区间最值、函数不等式综合压轴 【例2】在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 【变式训练2-3】燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 【答案】(1) (2)不存在安全隐患，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可； （2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案； （3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可； ②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为； ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型3 二次函数动点线段、周长、面积最值综合压轴 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解； （2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； （3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的关系式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 【变式训练3-1】如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 代入，得： ， 解得：； ∴此函数的解析式为； （2）解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； （3）如图2，抛物线对称轴为， ①以为边，则，且． 设，则， ，解得， 当时，；当时，； 故或； ②以为对角线，则与互相平分， 设 的中点 ． 把代入，得． ， 综上所述，或或． 【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）抛物线经过，，利用交点式得出，再代入即可； （2）延长，交延长线于点，分别求出直线解析式为，直线解析式为，设，得，，得出，，利用，求出，得出，可得当时，取得最大值，此时，此时，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，得出，由平移的性质得，则，过点作轴，过点作于，利用，得出，则，由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，即可求解； （3）先确定沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式为，得出，，作点关于轴的对称点，连接，得出，当点在上方时，此时点为点，设交轴于点，利用，求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解；当点在下方时，此时点为点，易知，过点作直线的平行线，交直线于点，得出，求出直线的解析式为，设，利用列式求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的解析式为， 将代入， 得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，延长，交延长线于点， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， 则，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 此时点位置如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段， 过点作轴，过点作轴，与交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴，即， 由平移的性质得， ∴， 如图，过点作轴，过点作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度， ∵， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作轴于点， 则，， ∴， ∴， 同（2）中的平移方法可得沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴得到新抛物线的解析式为， 令，得， 解得：，， ∴，， 作点关于轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在上方时，如图，此时点为点，设交轴于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 得：， 解得：，， ∴的横坐标为； 当点在下方时，如图，此时点为点， 易知， 过点作直线的平行线，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 得：， 解得：，， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，点到直线的最短距离，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式训练3-3】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①8；② (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可； ②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解； （3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答． 【详解】（1）解∶∵抛物线过点，点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由点，可得，， ， ， ， ． ②如图，过点作轴，垂足为， 则． 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ，，， ∴， ， 设，则， 点 点在抛物线上， ，解得，（不满足，舍去）， 点． （3）解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 连接， ， 当，，三点共线时，，如图， 即的最小值等于的长． 令时，， 解得，，， 点， ∴点． 点， ， ， ∴在中，， 的最小值为 设直线的表达式为， ∵直线过点，， ，解得， 直线的表达式为， 点， ， 点， 当取最小值时，． 题型4 二次函数特殊三角形、特殊四边形存在性分类讨论压轴 【例4】如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的横坐标为或3 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，正确做出辅助线，分类讨论思想的运用． （1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可； （2）点E在y轴的右侧，作轴，交于点G，推导出，得到，继而求出，的解析式为，设，则，推导出，进而推导出，解得，即可解答； （3）分类讨论：①当时，②当时， 逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得 解得 ∴抛物线表达式为． （2）解：存在，，理由如下： 如图，由题意，点E在y轴的右侧，作轴， 交于点G， 轴， ， ， 直线与轴交于点D， ， ， ， 令得，， 解得， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入上述解析式得：， 解得：， 的解析式为， 设，则，其中， ， 解得． ∴， 点E的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当时，过点O作于点N，延长至H，使， 连接交抛物线于点P，过点H作轴于点T， ，， 是的垂直平分线， ， ， 点P为所求点， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 即， 解得（不符合题意），， 点P的横坐标为， ②当时， 如图 则轴，则点P、C关于抛物线对称轴对称， ∵对称轴为直线，， 点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为或3． 【变式训练4-1】已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 【变式训练4-3】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标为，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，证明，得到，，即可求解； （3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，得， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， 如图1，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴当时，点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线的解析式为，顶点为D， ∴点D的坐标为， 分两种情况讨论： ①当为菱形的边时， 如图2， ∵，， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或； ②当为菱形的对角线时， 如图3， 设点，， ∵， ， 解得： ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键． 题型5 二次函数与相似三角形、角度存在性拔高压轴 【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上． (3)点D的坐标为或 【分析】（1）将点、点坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标，代入抛物线解析式，确定其是否在抛物线上； （3）过点作轴交于点，则可以以作为公共底边，点横坐标作为和高之和表示，代入面积关系式中，可解得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， ，， ，， 由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定． ①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或． 设直线解析式为，将，分别代入解析式，得 ，解得， 直线解析式为， 令直线交轴于点， ，， ， ， 点坐标为． 同理可得直线的解析式为， 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． ②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或． 令直线交轴于点， 同理，可得点坐标为，直线的解析式为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）． 故此时点坐标为． 最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上： 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 综上，只有点在抛物线上． （3），， ． 点为直线上方抛物线上一点， 设点D的坐标为，作轴交于点， 点在直线上， 点坐标为， ， ， 解得或， 代入抛物线解析式得或， 点的坐标为或． 【变式训练5-1】已知抛物线经过点，，与x轴的另一个交点为C． (1)求出此抛物线的表达式及点C坐标； (2)如图2，的中点记为，，将绕点在的左侧旋转，与射线交于点，与射线交于点．设，，求关于的函数关系式． (3)当的边经过点时，求，的值（直接写出结果）． 【答案】(1)，； (2)； (3)，或，； 【分析】（1）把A、B点的坐标代入抛物线解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解得b、c即可得到抛物线的解析式，令求得相应x后可得C点坐标； （2）延长使得，连结，利用三角形相似的判定与性质可以得解； （3）分经过C和经过C两种情况讨论． 【详解】（1）解：分别把A、B坐标代入抛物线解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 令，则， 解之可得或， ∴抛物线与轴的另一个交点C的坐标为； （2）解：如图延长使得，连结， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ， ， ， ∵点D是的中点， ∴，， 过点A作于点H， 则， 即： 解得：， ∴． （3）解：①当经过，作轴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∴， 即， ∴． ②当经过，如下图： 此时点和点重合，则, 把代入， 解得：， 综上：，或，； 【变式训练5-2】如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 【变式训练5-3】抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线上一点，若以B，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标； (3)如图2，N是抛物线顶点，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式 (2)的坐标为 (3)直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）由对称轴公式得，代入点求，从而求得抛物线的解析式，即可求另一交点． （2）分三种情况，分别以为直角顶点的等腰直角三角形，画出图形根据全等三角形的性质列方程求解． （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，与抛物线解析式联立可得，．作 ．根据 ，可得，从而得到，进而得到 ，从而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将点代入得：， ∴， ∴， ∴， 故抛物线解析式为：， 令，得，即， 解得：或， ∴； （2）解：设，其中， ， 以为顶点的三角形为等腰直角三角形， 分三种情况讨论， ①直角顶点为，此时，且， 如图，过点B作y轴平行线，分别过点P，Q作y轴垂线，交于点E，F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：或（舍去）， ∴； ②直角顶点为，此时，且． 如图，过点Q作y轴垂线，过点P作y轴平行线，交于点F，交x轴于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：或（舍去）， ∴， ③直角顶点为，此时，且． 即在的垂直平分线上，且， ∴， 根据（1）可得，顶点坐标为，， ∴点与点重合， ∴， 综上，所有满足条件的点的坐标为：； （3）解：存在定点． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点， ， ， ， 如图2，作， 则， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵直线不垂直于轴， ， ， ， ∴直线解析式 ， ∵无论为何值，， ∴过定点． 题型6 二次函数实际应用最值、含约束条件方案择优压轴 【例6】如图，在等边中，，点为边的中点，点为边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段． (1)当时，线段的长为___________； (2)当点在边上时，求证：； (3)当点到的距离是点到距离的3倍时，求的长； (4)直接写出的最小值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)或 (4) 【分析】（1）利用旋转性质和等边三角形性质、证明，，再根据含直角三角形的性质即可得出结论； （2）先证明，然后利用全等三角形的判定可得答案； （3），，过点作，过点作，证明，得出，再根据点到的距离是点到距离的3倍时，即，可求的长，从而求出，由此即可求出. （4）过点E作于点M，过点F作于点N，连接，设，先根据三角形的外角性质和含30度角的直角三角形的性质得到，，则，，再证明，得到，，进而利用勾股定理可得到，利用平方式的非负性可得答案， 【详解】（1）解：如图1， ∵是等边三角形， ∴， ∵， 由旋转性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图2， 由题意得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）解：作，，过点作，过点作， ∴，， ∴，，， 由（2）可得：， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当点在内时，如图，点到的距离是点到距离的3倍时，即， ∴，， ∴， ∴，此时， 当点在外时，如图，点到的距离是点到距离的3倍时，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或. （4）解：过点E作于点M，过点F作于点N，连接 设 ∵，， ∴，， ∴， ∴，则 ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当时取等号．，即. ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式训练6-1】某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量 y1（万斤）、市场供应量 y2（万斤）与市场价格 x（元/斤）分别满足下列关系： y1  0.2x  2.8 ， y2  0.4x  0.8．当 y1  y2 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． (1)求平衡价格和平衡需求量． (2)若该蜜桔的市场销售量 y（万件）是市场需求量 y1 和市场供应量 y2 两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额 P（万元）等于市场销售量 y 与市场价格 x 的乘积．当市场价格 x 取何值时，市场销售额 P 取得最大值？ (3)蜜桔的每斤进价为 m 元，若当 3≤x≤10 时，随着 x 的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出 m 的取值范围． 【答案】(1)平衡价格为6元/斤，平衡需求量为1.6斤． (2)当市场价格 x =7时，市场销售额 P 取得最大值9.8万元． (3)． 【分析】（1）两个函数解析式联立方程组，解方程即可求解； （2）画两个一次函数图象，分0＜x≤6和6＜x≤14两种情况，列出函数解析式，根据二次函数性质求出最大值，进行比较，问题得解； （3）设蜜桔的销售利润为W万元，分3≤x≤6和6＜x≤10两种情况，得到含m的W关于x的二次函数，根据当 3≤x≤10 时，随着 x 的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，得到对称轴的取值范围，进而结合二次函数对称轴公式得到关于m的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：由题意得关于x、y的二元一次方程组， 解方程组得． 答：平衡价格为6元/斤，平衡需求量为1.6斤． （2）解：画函数y1  0.2x  2.8 ， y2  0.4x  0.8图象如图， 由题意得， 当0＜x≤6时，，， ∴当x=6时，P有最大值，P=9.6（万元）， 当6＜x≤14时，，， ∴当x=7时，P有最大值，P=9.8（万元）， 综上所述，当市场价格 x =7时，市场销售额 P 取得最大值9.8万元． （3）解：设蜜桔的销售利润为W万元，由题意得 当3≤x≤6时，； 当6＜x≤10时，； ∵当 3≤x≤10 时，随着 x 的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识，并根据题意得到分段函数是解题关键． 【变式训练6-2】有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已知水面宽是；当水面上升时，水面宽减少了 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)一艘横截面为矩形的货船，最宽处为 ，露出水面的高度为 ，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由； (3)现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形灯带来美化桥面，点C在抛物线上且与水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于，求矩形灯带的周长l范围． 【答案】(1) (2) 能．货船露出水面的高度为， 即， 将 代入 中， 得， ， ， ， 解得，， 所以当时， 拱桥宽度为， ， 所以货船能正常通过拱桥； (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质实际应用问题，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设抛物线的解析式为，当水面上升时，水面宽减少了，则抛物线经过，又因为抛物线经过，，利用待定系数法求得该抛物线的解析式． （2）因为抛物线拱桥的对称轴为，船露出水面的高度为，故当水面与拱桥的距离不低于3.5米时，船能安全通过．当时，，求得的值，船的最宽处为，且，则该轮船能正常通过这座拱桥． （3）将代入中，得：， 求出点的坐标为，点的坐标为，则的长为 米，的长为米，则矩形的周长（米），故此时矩形 的周长小于13米，再求出抛物线的顶点坐标为，则线段的长为，故矩形的周长大于4米，所以矩形灯带周长的范围为：． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线经过原点， 故设抛物线的解析式为， 是，即点的坐标为将代入 中， 得：，， 得到， 抛物线的解析式为． 水面上升，即纵坐标为， 此时水面宽减少了， 由于抛物线是轴对称图形， 所以水面宽减少了， 意味着对称轴的左右两侧各减少了，即点处的水面向右移动了 ， 所以抛物线经过点， 将 代入 中， 得：， 解得，． 所以该抛物线的解析式为； （2）略 （3）当点距水面时， 如图，作直线，与抛物线交于、 两点． 将代入中， 得：，，， ， 解得，， 即点的坐标为， 点的坐标为， 此时的长为 米， 的长为米， 则矩形的周长（米． 点距水面高于时：此时点位于抛物线上部分，显然这时的矩形要比点距水面时的矩形小，故此时矩形 的周长小于13米． 当点位于抛物线顶点位置时：此时不存在矩形，仅有线段，由和可知 的对称轴为直线， 将代入，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 因此当在抛物线的顶点处时，线段的长为，故矩形的周长大于4米， 综上，矩形灯带的周长的范围为：． 【变式训练6-3】测试某种型号的无人机着陆后的滑行情况，收集相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 滑行距离 0 58.5 114 166.5 216 无人机的滑行速度v与滑行时间t成一次函数关系，滑行距离y与滑行时间t成二次函数关系． (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不写自变量取值范围)； ____________________________，___________________________； (2)按规定，无人机在障碍物附近的滑行速度必须低于那么无人机在滑行过程中，最多可以在障碍物附近滑行多远？ (3)若无人机着陆的同时打开减速伞(开伞时间忽略不计)，减速伞的制动效果为开伞后每秒减少滑行距离，无人机必须在内滑停，直接写出p的最小值_______________________． 【答案】(1)， (2) (3)30 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）分别设v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式，然后根据待定系数法求解即可 （2）先根据速度求出t的取值范围，然后把配方成顶点式即可求解； （3）先根据求出，代入得出，再结合“开伞后每秒减少滑行距离”得出，则，化简得，令，根据二次函数的性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：分别设v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式， 根据题意，得，， 解得，， ∴v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴当时，y有最大值为600， ∴在障碍物附近最多滑行； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵开伞后每秒减少滑行距离， ∴ ， 又无人机必须在内滑停，即， ∴， ∴， 令， ∵，， ∴，即， ∴， ∴或， ∴， ∴p的最小值为30． 题型7 旋转模型全等、动态角度、线段最值几何压轴 【例7】如图1，直角与直角的斜边在同一直线上，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中； (1)如图2，当 时，，当 时，； (2)如图3，当顶点在内部时，边分别交的延长线于点 ①此时的度数范围是 ； ②与度数的和是否变化？若不变求出与度数和；若变化，请说明理由； ③若使得，求的度数范围． 【答案】(1)． (2)①；②不变，；③． 【分析】（1）当时，，即；当时，，即． （2）①当过点时，,即，， 当过点时，,即，， ∴当点在内部时，． ②如图3，在中，,则, 同理在中，,则, ∴． ③由②知：，，代入得， 又由①可知，综上． 【详解】（1） 旋转过程中， 当时，如图1 ， 即，； 当时， 如图2 ， 即，． （2）① 当过点时，如图3 ∵平分,,, ∴,, ∴, 即， ∴； 当过点时，如图4 , 即， ∴， 综上，当点在内部时，． ②如图3，在中，, 则, 在中，, 则, ∴． ③由②知：，， 代入得， ∴， 又由①可知， 综上． 【变式训练7-1】【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第117页的部分内容 小沈同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． (1)【操作发现】如图1，已知，小沈同学想通过直接添加一组线段相等，证明，则这个条件是（    ） A．    B．   C．   D． (2)【探究说理】如图2，在四边形中，，，，求证：． (3)【拓展应用】如图3，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，当，，求的值． 【答案】(1)D (2)证明：如图所示，在上截取，连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）利用证明三角形全等即可解决； （2）在上截取，连接，先证明，得到，，推出，得到，即可证明； （3）延长至点，使，连接，先证明，得到，，根据角与角的数量关系，推出，得到，从而证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：添加， 在和中 ， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，延长至点，使，连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，的顶点 ，，于D，交y轴于点 ． (1)如图，求点C的坐标； (2)如图，将线段绕点C顺时针旋转后得线段，连接，求点的坐标； (3)如图，点为轴正半轴上一动点，点在第三象限内于P，且，过点Q作垂直轴于点，求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）根据得即可求出点C的坐标 （2）过点作轴于，根据已知条件可得出，，只需要证明即可得到F的横纵坐标； （3）根据已知条件可得四边形为矩形，得出，，通过角度之间的相互转化可证得，得到，再根据可得结果． 【详解】（1）解：点，的坐标分别为 ，， ， 于， ， ，， ， ， ∴， ， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为． （2）解：由（1）可知， 点的坐标为， ， 过点作轴于， ， ， 线段绕点顺时针旋转后得线段， ，， ， ， ， ， ∴， ，， ， 点的坐标为． （3）解：过点作延长线于点， ， 垂直轴于点， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴． 【变式训练7-3】按要求解答下列问题： (1)如图①，在中，为上一点，连接，若，则的最小值是__________． (2)如图②，在中，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，求的度数． (3)如图③，在矩形中，连接，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接，求的最小值及最小时四边形的面积． 【答案】(1)3 (2) (3)的最小值为；此时四边形的面积为 【分析】（1）根据垂线段最短及含30度直角三角形的性质，即可求解； （2）利用等腰三角形的性质及旋转的性质证明即可求解； （3）在线段上取点G，且，连接，取的中点H，连接，先证明得，则，由三角形中位线定理得，则可确定点F的运动路径，根据垂线段最短可求得的最小值以及此时四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，最短， 此时在中，， ∴， 即的最小值为3； （2）解：∵， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在线段上取点G，且，连接，取的中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴点F的运动路径是以H为其中一个端点的线段，该线段在下方，与所夹的钝角为， 当时，取得最小值， 如图，当点M在的延长线上时，连接，过点B作于点P， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 则， ∴， ∵， ∴ ∵当取得最小值时，， ∴点F在线段上， ∵H是的中点，，， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为，此时四边形的面积为． 题型8 圆的切线证明、线段计算、圆与多边形综合压轴 【例8】如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形和直角三角形转化线段的平方关系，利用相似三角形的判定和性质得出线段的乘积关系是解题的关键． （）由是直径可得，进而求出，，再由三角形的外角等于不相邻两内角之和即可得出； （）连接，可得，从而证明，进而可得，由切线的判定方法即可求证； （）连接，在上取点，使，构造，得等腰，从而利用勾股定理将，再证明，可得，从而将等式右边转化为，最后证明，可得，从而求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分交于点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，连接，在上取点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为， 则：，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，时，等式成立． 【变式训练8-1】如图，等腰三角形中，以腰为直径的交底边于点D，过点D作的切线交于点E，连接交于点F，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，由切线的性质可得，则．根据等腰三角形的性质可得，则，命题得证； （2）由圆周角定理可得，．由（1）可得，，从而可证明，则，命题得证； （3）连接、、，设，根据圆内接四边形的性质可得，由等量代换可得，结合，则，从而证明．根据相似三角形的性质可得，结合（2）的结论可得，从而证明，根据比例式构造方程并解出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接，设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接、、，设， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（2）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简，得， 解得或（负值舍去）， ∴． 【变式训练8-2】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，由平行线的判定及性质得，即可得证； （2）延长交于点H，过点A作交于点G．由矩形的判定方法得四边形是矩形，四边形是矩形，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：延长交于点H，过点A作交于点G． 是的直径， ∴， ， ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ，，，， ，， ， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理等；掌握切线的判定，等腰三角形的判定及性质，直径所对的圆周角为直角，能熟练利用垂径定理、勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式训练8-3】如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)； (3) 【分析】（1）连接，设，则，由可得，再由为直径，可得，求出，最后由等腰三角形的判定证明即可； （2）先由勾股定理求解，再判定为等腰三角形，且，根据边的关系求解即可； （3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明为等腰直角三角形，再得到，由此可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作垂直于，垂足为，如图， ∵，， ∴在中，， ∵，, ∴， ∵, ∴， , ∴为等腰三角形， ∵垂直于， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：设点到线段的距离为， ∵， ∴要使得的面积最大，就是当， 此时，为等腰直角三角形，且， 连接，过点D作，如图， ∵， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并适当添加辅助线． 1．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 2．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 3．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 4．如图，直线l与半径为4的相切于点A，P是上的一个动点（不与点A重合），过点P作，垂足为B，连接．则的最大值是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】作直径，连接，证明，根据相似三角形的性质求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：作直径，连接， ∴， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 则， ∴， 则当时，有最大值是2． 5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据表格数据推出，，判断①，求出对称轴，结合表格数据推出和2是关于x的方程的两个根，判断②，根据时，与其对应的函数值，求出的范围判断③，求出，进而求出的范围，判断④. 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴ ∴，①正确； ∵和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，则时，， ∴和2是关于x的方程的两个根；故②错误； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④错误. 6．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，则可判断当时，若抛物线只经过三个象限，抛物线经过第一、二、三象限，由此列不等式组，然后解不等式组即可．当时，则，此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线图象只过三个象限， 当时，则经过第一、二、三象限， 抛物线与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上或x轴上方， ，即 解得； 当时，则， 抛物线与y轴交点在x轴上方， 此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 的取值范围为． 7．如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 【答案】C 【分析】根据对称轴公式可判断①；根据对称性可求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，据此可判断②；设，连接，由对称性可得，则当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是，求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长即可判断③；把点A的坐标代入二次函数的解析式结合求出a、b的值，再把解析式化为顶点式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，即是方程的一个根，故②正确； 如图所示，设，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是， 在中，当时，， ∴， ∵，， ∴ ， 周长的最小值是，故③不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴二次函数的关系式为， ∴当时，y的最大值为4，故④不正确； 综上所述，正确的有①②． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 9．如图，在中，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，若反比例函数经过，两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，证明，得到，利用比值关系求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而得到的坐标，代入反比例函数解析式运算求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ∵直线经过原点，且经过反比例函数， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴在中，， ∴， 把代入可得：， 解得：． 10．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 11．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D， ∵是正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故结论②正确，符合题意； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故结论③正确，符合题意； 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确，符合题意； 综上所述：结论①②③⑤正确， 12．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 13．新定义：若关于的方程的解是，另一个关于的方程（可能有多个解）中有一个解是，且满足，则称这两个方程构成“树人方程组”．例如：方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以方程与方程构成“树人方程组”． (1)下列关于的方程：①；②，哪个方程可以与方程构成“树人方程组”？请直接写出正确的序号：__________． (2)已知关于的方程，其中，求的值；若该方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值． 【答案】(1)② (2)， (3) 【分析】（1）先求出的解，根据定义得到所需，再解两个关于y的方程，判断是否存在满足条件的解即可； （2）先解关于y的方程得到y的值，再根据定义得到，解关于x的方程，即可求出a的值； （3）先解关于x的一元一次方程得到，根据定义得到，将代入关于y的方程化简，即可得到的值. 【详解】（1）解： 一元一次方程的解为． 根据“树人方程组”的定义，得． 解方程，得， 不存在， 因此①不能构成“树人方程组” ； 解方程，得或， 存在满足， 因此②可以构成“树人方程组”； （2）解： 已知，， 解得． ∵两个方程构成“树人方程组”，满足， ， ∴． 解方程 ，得 ． ∵ ， ∴ ， ； （3）解： ∵是一元一次方程， ∴， 解得 ． 根据定义，得 ． 将代入方程， 得 ， 化简，得， ． 14．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，消去即可得到与的数量关系； （2）由抛物线对称性得、横坐标之和为6，结合两三角形面积差列方程求解E点横坐标，纵坐标与、一致； （3）联立直线与抛物线解析式，结合点横坐标求出顶点纵坐标，再根据二次函数性质求区间内的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴为，点，在抛物线上， 关于直线对称，即， ， 设， 在线段上， 或， 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 综上所述，的坐标为或． （3）解：抛物线的顶点式为，顶点， 设直线的解析式为， 当的坐标为时， 将、代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∴，解得， ∴， 故，此时顶点在第一象限，不合题意； 当的坐标为时， 将，代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ， ， ， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为，开口向上，对称轴为； ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ，且， ， 综上所述，当时，的取值范围是． 15．抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由如下： 连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴， ∴点B，D关于直线对称． 为中点， ． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ． ． 又∵M，N关于直线对称， ． ． ，， ，． ． ． ． 【分析】（1）把分别代入和，即可求得答案； （2）由题意可得，，，，求得，再根据不等式的性质即可求得的取值范围； （3）连接，设抛物线的对称轴与交于点Q，则，根据中点得到，则，，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：把分别代入和， 得，， ，； （2）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，． ． 当时，． ． ， ∴点B在点A的上方． ． 当时，． 解得，． ，点M在点N的左侧， ，． ． ． ， ， ， ． （3）略 16．如图，内接于，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点，连接．求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． (2)证明：延长交于点，连接． ∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴， 在与中 ， ∴， ∴ ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又在中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）由已知证，进而得到，由“经过半径外端垂直于半径的直线是圆的切线”证得结论． （2）由旋转得边等证明，由勾股定理计算各边长度推出，又由得到，进而得，推出，又由“两直线平行，内错角相等”和“同弧所对的圆周角相等”得到，推出，由“相似三角形对应边成比例”得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图1，内接于，为的直径，与相交于点H，的延长线与过点B的直线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点C作，且与，分别相交于点F，G．交于点P． ①若点P是的中点，求证：． ②若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线 (2)①证明：∵， ∴，， 又∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ② 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据，，得出，即可得出，从而证明结论； （2）①先证明，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，即可证明结论； ②连接，证明，得出，得出，证明，得出，求出，从而求出，根据勾股定理求出，最后根据垂径定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 在中，， ∵是直径，， ∴． 18．如图1，内接于，为的直径，．点为弧上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接． ①求证：； ②若，，求的值． (3)设，，求关于的函数关系式． 【答案】(1)证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)①证明：，是直径， ， ， 由（1）可得， ， ， ； ② (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到、，再利用垂线的定义得到，进而证明，再利用对顶角相等得出结论； （2）①根据圆周角定理得到，进而得到，结合（1）中结论得到，从而得出结论； ②连接，根据圆周角定理求出、，利用勾股定理求出长，易证明，求出长，由①知，则，据此求解即可； （3）设，则，利用勾股定理求出长，同（2）求出长和值，利用相似三角形的性质求出的值，再求出的值，两式相乘求出，从而求出与的函数关系式． 【详解】（1）略； （2）①略； ②解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 在中，由勾股定理得：， 、， ， ， ， 解得：， 由①知，， ； （3）解：， 设，则， 由（2）可知，， 由勾股定理得：， 由（2）可知：和， 、， ， ， ， ， 得：， 关于的函数关系式为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点10 九年级上册压轴题满分特训 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 九上代数压轴核心体系（方程+函数） 知识点二 九上几何压轴核心体系（变换+圆+几何综合） 知识点三 九上压轴通用解题闭环（满分必备） 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 一元二次方程含参、整数根、判别式、代数式最值代数压轴 题型2 二次函数图像性质、定点定值、区间最值、函数不等式综合压轴 题型3 二次函数动点线段、周长、面积最值综合压轴 题型4 二次函数特殊三角形、特殊四边形存在性分类讨论压轴 题型5 二次函数与相似三角形、角度存在性拔高压轴 题型6 二次函数实际应用最值、含约束条件方案择优压轴 题型7 旋转模型全等、动态角度、线段最值几何压轴 题型8 圆的切线证明、线段计算、圆与多边形综合压轴 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 代数压轴核心：一元二次方程含参问题、根的分布、判别式综合、代数式最值与恒等变形，侧重代数推理与严谨计算。 2. 二次函数压轴体系：解析式求解、开口与对称轴分析、顶点最值、区间最值、函数与方程不等式三者综合转化。 3. 二次函数几何压轴：动点背景下线段、周长、面积、角度、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形存在性探究。 4. 几何变换压轴：旋转全等、旋转最值、手拉手模型、动态几何分类讨论，侧重辅助线构造与几何转化思维。 5. 圆基础压轴：垂径定理、圆周角转化、切线证明、圆与三角形四边形综合、简单圆动态探究。 6. 函数应用压轴：利润最值、几何面积最值、抛物线轨迹建模、自变量区间受限的实际最值问题。 7. 综合素养考点：多情况分类讨论、数形结合、动静转化、参数推理、漏解排查、解题规范与区间取舍。 1. 分层梯度命题：九上期末、选拔考试、中考均采用“多问递进”结构，第一问基础求值、第二问中档综合、第三问压轴探究，层层区分学生能力层级。 2. 代数几何融合化：纯代数计算逐步弱化，以二次函数为核心载体，融合几何性质、动态动点、存在性探究，是现阶段压轴主流方向。 3. 分类讨论成必考难点：线段位置、点的区间、直角顶点、等腰顶点、相似对应、动点位置多解问题，是高分段核心拉分点。 4. 重模型、重迁移：试卷压轴大量依托固定母题模型（将军饮马、手拉手、铅垂高面积、特殊图形存在性），考查学生模型识别与变式迁移能力。 5. 去套路重严谨：近年命题增加参数约束、区间限制、实际情境限制，杜绝机械套公式，重点考查思维严谨性与逻辑完整性。 考情解码： 1. 模块地位：本专题是九年级上册所有重难点的汇总收官，整合一元二次方程、旋转、圆、二次函数四大核心章节，是九上期末最高分差模块，也是初中中考压轴的前置核心储备。 2. 分值与考频：期末统考压轴10–12分、重点校选拔测试必考，是区分中上学生与顶尖学生的决定性专题。 3. 核心失分规律：会基础计算但不会动态分析；能列式但遗漏分类讨论；不验证自变量取值区间；几何辅助线不会构造；相似、特殊图形对应关系混乱导致漏解、错解。 4. 备考核心：建立“代数算理+几何模型+分类思维+区间验证”四位一体的压轴解题体系，吃透所有九上母题模型，突破压轴瓶颈。 知识点一 九上代数压轴核心体系（方程+函数） 1. 一元二次方程拔高：四种解法择优运算、含参数判别式分析、根与系数关系、整数根、参数取值范围、方程与代数式求值综合。 2. 二次函数核心性质：一般式、顶点式、交点式灵活互化；开口、对称轴、顶点、增减性精准判断；定点、定值、对称点快速求解。 3. 三者互通关系：二次函数、一元二次方程、二次不等式双向转化，利用图像判断根的情况、解集范围、函数值区间。 4. 区间最值核心：区分顶点在区间内、区间左、区间右三种情况，突破“数学最值≠实际最值”核心难点。 知识点二 九上几何压轴核心体系（变换+圆+几何综合） 1. 旋转几何压轴：旋转全等性质、手拉手模型、半角模型、动态旋转最值、共顶点等线段辅助线构造逻辑。 2. 圆综合核心：垂径定理、圆周角倒角、切线判定与性质、圆内接多边形性质、半径弦长勾股计算模型。 3. 几何通用思想：倒角转化、等线段转化、面积割补、动静结合、分类讨论，适配所有动态几何压轴。 知识点三 九上压轴通用解题闭环（满分必备） 1. 设点：动点坐标标准化设法，函数动点、几何动点统一表达式。 2. 转化：坐标转线段、线段转比例、比例转方程、几何条件转代数等式。 3. 分类：等腰、直角、平行四边形、相似、动点位置全部固定分类清单，杜绝漏解。 4. 取舍：结合自变量范围、图形位置、实际意义取舍增根与不合理解。 题型1 一元二次方程含参、整数根、判别式、代数式最值代数压轴 【例1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【变式训练1-1】定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： (1)求出反比例函数的不动点值； (2)若二次函数有和两个不动点值． 求该二次函数的表达式； 将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围； 若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 【变式训练1-2】随着新课程改革的不断深入，考查学生从知识型转化到能力型，注重了对数学思想方法的考查．数学思想方法是一种“隐性的知识”，是数学的生命和灵魂，是把知识转化成能力的桥梁，“以形助数”“以数解形”“分类思想”，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化．对数学方法掌握直接影响着答题的效率和整个解题的思路，我国著名数学家华罗庚说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请结合所学知识解决下列问题． 已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根； (2)若关于的二次函数的对称轴为，当直线与抛物线的图象有两个不同的交点时，求的取值范围； (3)若关于的二次函数的图象与轴两交点间的距离为时，求抛物线的解析式． 【变式训练1-3】阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 题型2 二次函数图像性质、定点定值、区间最值、函数不等式综合压轴 【例2】在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【变式训练2-3】燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 题型3 二次函数动点线段、周长、面积最值综合压轴 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【变式训练3-1】如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【变式训练3-3】抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 题型4 二次函数特殊三角形、特殊四边形存在性分类讨论压轴 【例4】如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-1】已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练4-3】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 二次函数与相似三角形、角度存在性拔高压轴 【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【变式训练5-1】已知抛物线经过点，，与x轴的另一个交点为C． (1)求出此抛物线的表达式及点C坐标； (2)如图2，的中点记为，，将绕点在的左侧旋转，与射线交于点，与射线交于点．设，，求关于的函数关系式． (3)当的边经过点时，求，的值（直接写出结果）． 【变式训练5-2】如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【变式训练5-3】抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线上一点，若以B，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标； (3)如图2，N是抛物线顶点，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 题型6 二次函数实际应用最值、含约束条件方案择优压轴 【例6】如图，在等边中，，点为边的中点，点为边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段． (1)当时，线段的长为___________； (2)当点在边上时，求证：； (3)当点到的距离是点到距离的3倍时，求的长； (4)直接写出的最小值． 【变式训练6-1】某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量 y1（万斤）、市场供应量 y2（万斤）与市场价格 x（元/斤）分别满足下列关系： y1  0.2x  2.8 ， y2  0.4x  0.8．当 y1  y2 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． (1)求平衡价格和平衡需求量． (2)若该蜜桔的市场销售量 y（万件）是市场需求量 y1 和市场供应量 y2 两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额 P（万元）等于市场销售量 y 与市场价格 x 的乘积．当市场价格 x 取何值时，市场销售额 P 取得最大值？ (3)蜜桔的每斤进价为 m 元，若当 3≤x≤10 时，随着 x 的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出 m 的取值范围． 【变式训练6-2】有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已知水面宽是；当水面上升时，水面宽减少了 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)一艘横截面为矩形的货船，最宽处为 ，露出水面的高度为 ，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由； (3)现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形灯带来美化桥面，点C在抛物线上且与水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于，求矩形灯带的周长l范围． 【变式训练6-3】测试某种型号的无人机着陆后的滑行情况，收集相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 滑行距离 0 58.5 114 166.5 216 无人机的滑行速度v与滑行时间t成一次函数关系，滑行距离y与滑行时间t成二次函数关系． (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不写自变量取值范围)； ____________________________，___________________________； (2)按规定，无人机在障碍物附近的滑行速度必须低于那么无人机在滑行过程中，最多可以在障碍物附近滑行多远？ (3)若无人机着陆的同时打开减速伞(开伞时间忽略不计)，减速伞的制动效果为开伞后每秒减少滑行距离，无人机必须在内滑停，直接写出p的最小值_______________________． 题型7 旋转模型全等、动态角度、线段最值几何压轴 【例7】如图1，直角与直角的斜边在同一直线上，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中； (1)如图2，当 时，，当 时，； (2)如图3，当顶点在内部时，边分别交的延长线于点 ①此时的度数范围是 ； ②与度数的和是否变化？若不变求出与度数和；若变化，请说明理由； ③若使得，求的度数范围． 【变式训练7-1】【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第117页的部分内容 小沈同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． (1)【操作发现】如图1，已知，小沈同学想通过直接添加一组线段相等，证明，则这个条件是（    ） A．    B．   C．   D． (2)【探究说理】如图2，在四边形中，，，，求证：． (3)【拓展应用】如图3，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，当，，求的值． 【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，的顶点 ，，于D，交y轴于点 ． (1)如图，求点C的坐标； (2)如图，将线段绕点C顺时针旋转后得线段，连接，求点的坐标； (3)如图，点为轴正半轴上一动点，点在第三象限内于P，且，过点Q作垂直轴于点，求的值． 【变式训练7-3】按要求解答下列问题： (1)如图①，在中，为上一点，连接，若，则的最小值是__________． (2)如图②，在中，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，求的度数． (3)如图③，在矩形中，连接，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接，求的最小值及最小时四边形的面积． 题型8 圆的切线证明、线段计算、圆与多边形综合压轴 【例8】如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【变式训练8-1】如图，等腰三角形中，以腰为直径的交底边于点D，过点D作的切线交于点E，连接交于点F，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的值． 【变式训练8-2】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式训练8-3】如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 1．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 4．如图，直线l与半径为4的相切于点A，P是上的一个动点（不与点A重合），过点P作，垂足为B，连接．则的最大值是（     ） A．1 B． C．2 D．3 5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 8．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，若反比例函数经过，两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 11．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 12．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 13．新定义：若关于的方程的解是，另一个关于的方程（可能有多个解）中有一个解是，且满足，则称这两个方程构成“树人方程组”．例如：方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以方程与方程构成“树人方程组”． (1)下列关于的方程：①；②，哪个方程可以与方程构成“树人方程组”？请直接写出正确的序号：__________． (2)已知关于的方程，其中，求的值；若该方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值． 14．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 15．抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 16．如图，内接于，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点，连接．求证：． 17．如图1，内接于，为的直径，与相交于点H，的延长线与过点B的直线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点C作，且与，分别相交于点F，G．交于点P． ①若点P是的中点，求证：． ②若，，求的长． 18．如图1，内接于，为的直径，．点为弧上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接． ①求证：； ②若，，求的值． (3)设，，求关于的函数关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $