2026-2027学年北师大版数学八年级上册开学摸底模拟试卷

**基本信息** 2026年北师大版八年级开学摸底卷，覆盖七年级及八年级上册前两章，以基础巩固为主，融入科技（6710亿参数量科学记数法）、传统文化（《孙子算经》问题）等情境，考查抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数与式、图形认识等|第2题三视图考查空间观念，第7题概率体现数据意识| |填空题|5/15|科学记数法、规律探究等|第15题最短路径结合角平分线，考查几何直观| |解答题|8/75|统计应用、几何综合等|22题体育调查统计培养应用意识，23题构造全等三角形提升推理与创新能力，适配开学学情检测|

2026年秋季八年级上学期开学摸底考试 （北师大版）数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 【考查范围：新北师大版教材七年级全部+八年级上册第一、二章】 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 2．从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 5．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 6．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 7．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 9．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（     ） A． B． C． D． 【答案】B 10．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 【答案】D 【解析】根据勾股定理得：，，，∵，∴为直角三角形，，∴，故A正确，不符合题意；的周长为，故B正确，不符合题意；设点A到的距离为h，则，即，解得：， 即点A到的距离为4，故C正确，不符合题意；∵，，，∴，故D错误，符合题意． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为________． 【答案】 12．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若， ，则的度数是________． 【答案】 【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴． 13．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】324 【解析】由题意得，则． 14．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是________． 【答案】45 【解析】由图可得：第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，……，第个图中有个圆点，第⑦个图中圆点的个数是． 15．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点，在锐角三角形中，，的面积为6，，，平分，，在和中，，，，，当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．根据要求完成下列计算。 （1）（5分）计算：． 【答案】解： ． （2）（5分）解方程：． 【答案】解：， 方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得． 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ， 当时，原式． 18．（8分）如图，，点F、C在上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 19．（9分）某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有，，，，，，，的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去． （1）抽到印有4的卡片的概率为______； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】解：（1）； （2）这个规则不公平， 理由如下： 由题意可知，数字比4大的卡片为5，6，7，共3张， 因此小明去的概率为， 数字不大于4的卡片共有张，因此小亮去的概率为， ，两人去的概率不相等， 这个规则不公平． 20．（9分）如图，方格纸中每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，线段与直线交于点． （1）按要求完成下列作图． ①过点作直线； ②过点作的垂线，垂足为． （2）线段________线段（填“>”“<”或“=”），依据是______________________________． 【答案】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示即为所求； （2），垂线段最短． 21．（9分）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是________；因变量是________； （2）小亮家到学校的距离是________米；本次上学途中，小亮一共骑行了________米； （3）小亮在书店买书花了________分钟； （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）时间，离家距离； （2）1500，2700；【解析】由图象可知，学校对应纵轴的数据为1500米，即为小亮家到学校的距离；本次上学途中小亮骑行距离一共由3段距离组成：家到处，处到书店，书店到学校，骑行距离之和为（米）． （3）4；【解析】由图象横轴可知，小亮在书店买书时间为（分）． （4）小亮从家到处6分钟骑行1200米，即（米/分）； 若小亮不买书，从家到学校需要时间为：（分）． 22．（10分）在丰富学生15分钟课间活动、落实健康学校建设理念的同时，也为了更好地对接中考体育球类测试项目，了解某校九年级20个班级学生喜欢球类活动的情况，体育老师抽取了100名九年级学生进行问卷调查，了解学生对足球、篮球、排球三种球的喜爱情况．（每位学生必选且只能选一种喜欢的球）． （1）下面的抽样方法中，__________更具代表性． A．从九年级20个班中选择三个班，在其中随机抽取100名学生 B．从九年级所有女生中随机抽取100名学生 C．从九年级所有学生中随机抽取100名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 球类 足球 篮球 排球 合计 人数 20 48 100 请根据上述信息，解答下列问题． ①统计表中________，扇形统计图中_______，表示“足球”的扇形的圆心角是_______度； ②若该校九年级有900名学生，估计最喜欢篮球的有多少人？ ③根据上述调查情况，写一条合理的建议． 【答案】解：（1）C （2）①32，48，；【解析】由题意可得：，，即．，即表示“足球”的扇形的圆心角是． ②288；【解析】（人）． ③喜欢排球的学生人数较多，可以多开展排球课外活动． 23．（12分）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）①；【解析】是中线，，在和中，，，即选项A符合题意． ②；【解析】，，，，，，即，，，． （2）如图，延长至，使得， 是中线，， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3），理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点． 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， 同理：， ，， 在和中， ，，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级上学期开学摸底考试 （北师大版）数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 【考查范围：新北师大版教材七年级全部+八年级上册第一、二章】 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 6．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 9．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（     ） A． B． C． D． 10．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为________． 12．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若， ，则的度数是________． 13．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 14．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是________． 15．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．根据要求完成下列计算。 （1）（5分）计算：． （2）（5分）解方程：． 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）如图，，点F、C在上，．求证：． 19．（9分）某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有，，，，，，，的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去． （1）抽到印有4的卡片的概率为______； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 20．（9分）如图，方格纸中每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，线段与直线交于点． （1）按要求完成下列作图． ①过点作直线； ②过点作的垂线，垂足为． （2）线段________线段（填“>”“<”或“=”），依据是______________________________． 21．（9分）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是________；因变量是________； （2）小亮家到学校的距离是________米；本次上学途中，小亮一共骑行了________米； （3）小亮在书店买书花了________分钟； （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 22．（10分）在丰富学生15分钟课间活动、落实健康学校建设理念的同时，也为了更好地对接中考体育球类测试项目，了解某校九年级20个班级学生喜欢球类活动的情况，体育老师抽取了100名九年级学生进行问卷调查，了解学生对足球、篮球、排球三种球的喜爱情况．（每位学生必选且只能选一种喜欢的球）． （1）下面的抽样方法中，__________更具代表性． A．从九年级20个班中选择三个班，在其中随机抽取100名学生 B．从九年级所有女生中随机抽取100名学生 C．从九年级所有学生中随机抽取100名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 球类 足球 篮球 排球 合计 人数 20 48 100 请根据上述信息，解答下列问题． ①统计表中________，扇形统计图中_______，表示“足球”的扇形的圆心角是_______度； ②若该校九年级有900名学生，估计最喜欢篮球的有多少人？ ③根据上述调查情况，写一条合理的建议． 23．（12分）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $