综合与实践二 《池塘里有多少条鱼》课件 2026-2027学年北师大版数九年级上册

该初中数学课件围绕“池塘鱼群数量估计”，核心讲解标记重捕法原理及用样本频率估计总体的计算方法。课堂导入通过鱼缸与池塘的对比情境引发思考，迁移“估计袋中黑球数量”的旧知，构建从具体问题到统计思想的学习支架。 其亮点在于设计“问题转化—模拟试验—验证优化”完整探究过程，通过黄豆红豆模拟试验培养数据意识，用二次函数分析误差控制体现数学思维。既提升学生的模型观念和创新意识，又为教师提供可操作的实践教学方案，助力核心素养落地。

综合与实践二 池塘里有多少条鱼 新版北师大数学九年级上册 学习目标 1.通过探究池塘鱼群数量的估计问题,理解标记重捕法的统计原理，掌握用样本频率估计总体数量的计算方法,能独立设计抽样估计方案并完成数据计算. 2通过经历“问题转化—方案设计—模拟试验—验证优化—拓展应用”的完整探究过程,提升问题建模、动手操作、数据分析与小组协作能力,体会用样本估计总体的统计思想. 3.通过对比多种估计方案的优劣、分析误差来源,,感受概率统计在现实生产生活中的应用价值,积累综合实践活动的研究经验. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 两条鱼 ？ 数鱼缸里的鱼很简单,为什么数池塘里的鱼就很难？说说你的理由. 问题构建 问题1:要估计池塘里鱼的总数,本质上是要解决一类什么数学问题？ 本质是用样本估计总体的统计问题. 在无法对总体全面计数时,通过抽取有代表性的样本,分析样本数据来推断总体的数量特征 追问1:我们之前学过“不打开袋子估计袋中黑球数量”的问题，还记得是怎么做的吗？ 先往袋子里放入已知数量的白球，充分摇匀后反复摸球，记录摸到白球的频率； 用频率估计白球占总球数的比例,结合白球总数推算袋中总球数,进而得到黑球数量. 问题构建 追问2:这种摸球估计的方法,能不能迁移到池塘估鱼的问题上？说说你的理由. 可以迁移. 理由：二者本质都是“已知部分个体数量,通过抽样比例推算总体数量”；可以把池塘里的鱼看作袋中的黑球,把做了标记的鱼看作放入的白球,利用相同的比例原理进行估算. 问题2:如果先从池塘捞100条鱼做标记,放回池塘充分混合后，再捞200条鱼,发现其中有20条带标记.这里面藏着怎样的等量关系？ 等量关系：样本中标记鱼的数量÷重捕总数量 ≈总体中标记鱼的数量÷池塘总鱼数. 问题构建 追问1:这一比例推理的思路,本学期你有类似的学习经验吗？ 相似三角形中“对应边成比例”的逻辑是一致的,都是利用“部分与整体的比例关系在样本和总体中保持稳定”建立等式. 追问2:基于前面设置的数据,请你根据这个等量关系列式计算,池塘里大约有多少条鱼？ 设池塘总鱼数为N条 列比例式： 解得：N=100×200÷20=1000 答：池塘大约有1000条鱼. 问题构建 追问3:你能把这个计算方法总结成通用公式吗？这个方法叫什么名字？ 方法名称：标记法（捕获-标记-重捕法） 通用公式：设总体数量为N,第一次标记数量为M,重捕总数为n,重捕中标记个体数为m，则N=M×n÷m. 追问4:要让这个估计结果尽量接近,我们需要满足哪些前提假设？ 核心前提： 1.调查期内种群数量稳定,无大量出生、死亡、迁入、迁出； 2.标记个体与未标记个体充分混合,在总体中均匀分布； 3.标记不影响生物的正常活动,标记物不会脱落； 4.每次捕捞都是随机取样,没有偏好性. 问题构建 问题3:下图是我们在体育比赛中常见的射击靶图,你知道为什么越靠近靶心环数越高吗？ 靶子的环数是按对应的面积划分的,面积越小的区域，环数越高；面积越大的区域，环数越低. 追问1:这种设计方式对你解决本节课的问题有怎样的启发？ 对鱼塘进行分区处理，通过部分面积与总体面积之间的关系来近似估算鱼塘里鱼的数量. 问题构建 追问2:如果用“面积法”估计，需要用到哪些几何知识？具体怎么操作？ 1.视图知识:先绘制池塘的俯视图，按比例尺换算出池塘实际面积 2.特殊平行四边形：将池塘划分为若干个大小相同的正方形或矩形区域,利用正方形、矩形的面积公式计算区域面积. 3.操作步骤：随机抽取几个区域彻底捕捞,算出单位面积的平均鱼数,再乘池塘总面积,得到总鱼数的估计值. 协作破冰 追问3:标记法和面积法,在数学原理上有什么共同之处？ 核心共同点：都是用样本估计总体,通过抽取局部样本,计算样本的特征量,再按比例推广到总体,本质都是比例思想的应用. 问题4:你还记得计算“50个人生日相同的概率”的模拟实验吗？本例能否借助模拟实验解决吗？ 借助生活中比较容易获得，且数量比较多的黄豆和红豆(较大品种)来做模拟实验. 用袋子里的黄豆模拟池塘鱼群、红豆模拟标记鱼，完整的模拟试验步骤应该是什么？ 协作破冰 试验步骤： 1.准备一袋黄豆（总数未知），取出30粒换成红豆,放回袋中充分摇匀； 2.闭眼随机摸出40粒豆子，记录其中红豆的数量； 3.将豆子放回袋中摇匀，重复上述操作5次； 4.利用公式分别计算每次的估计值，整理试验数据. 追问1:如果每组做5次重捕试验,每次的估算结果都不一样,我们应该怎么处理这些数据？ 1.可以取5次估算结果的平均值,作为最终的估计值； 2.多次试验的结果会围绕真实值上下波动，试验次数越多,平均值越接近真实值,这体现了概率中的频率稳定性规律. 教师示范 追问2:不同小组的最终估计值有明显差异,你认为误差主要来自哪些方面？ 误差来源：1.操作层面：摇匀不充分、摸取时带主观选择、计数出错； 2.样本层面：单次选取的样本量太小，偶然性大；标记数量少，代表性不足； 3.方法层面：模拟试验无法完全满足“均匀分布、随机取样”的理想假设. 追问3:如果想要让估计结果更准确，我们可以采取哪些改进措施？ 改进措施： 1.增加标记豆子的数量，提高标记比例； 2.增大每次选取的样本容量，降低偶然性；3.增加选取试验的次数，取平均值减小波动；4.每次摸取前充分摇匀，保证随机取样. 教师示范 追问4:如果规定了允许的最大误差,我们能不能算出至少需要标记多少条鱼？这用到了什么代数知识？ 我们设定一个已知真实数量的“模拟池塘”，总鱼数真实值为1000条,固定每次捕鱼数量为200条，分别采用不同的标记数量M,每组重复做10次模拟试验,计算估计值的平均相对误差（相对误差 =|估计值-真实值|÷真实值×100%），得到如下数据： 标记鱼数量M 20 50 100 150 200 10次试验平均相对误差 42% 28% 18% 13% 10% 用二次函数与一元二次方程求解最小标记量 问题设定在重捕数量固定为200条的前提下,要求估计的平均相对误差不超过20%,求至少需要标记多少条鱼？ 下一页内容大家根据自己情况吸收学习 巩固拓展 设平均相对误差E（单位：%）与标记量M的函数关系为： E=aM²+bM+c 选取表格中三组数据代入：M=50时,E=28;M=100时,E=18；M=150时,E=13得到三元一次方程组： 解方程组可得：a=0.001，b=-0.35，c=43 因此拟合得到的二次函数为：E=0.001M²-0.35M+43 巩固拓展 要求误差不超过20%，即E≤20 代入解析式：0.001M²-0.35M+43≤20 整理为不等式：M²-350M+23000≤0 先解对应的一元二次方程M²-350M+23000=0： 判别式Δ=350²-4×1×23000=122500-92000= 30500 由求根公式得： M₁≈(350-174.6)÷2≈87.7，M₂≈(350+174.6)÷2≈262.3 标记量越大,误差越小,因此只要标记量≥88 条,就能保证平均误差不超过20%. 最终结论：在每次捕鱼200条的前提下,至少要标记88条鱼,才能将估计的平均相对误差控制在20%以内. 巩固拓展 问题5:如果让你去估计一片山林里野生松鼠的总数，你会设计怎样的方案？ 示例方案（标记法）： 1.在山林中随机放置捕获工具，捕捉若干只松鼠，做好无害标记后放回山林； 2.等待松鼠种群充分混合后，再次进行捕捉，记录捕捉总数与其中带标记的数量； 3.利用标记公式计算山林中松鼠的总数量，可多次重复取平均值提高准确度. 当堂检测 1.已知一口袋中放有黑白两种颜色的球，其中黑色球6个，白色球若干，为了估算白球的个数，可以每次从中取出一球，共取50次，如果其中有白球45个，则可估算其中白球个数为多少个？简要写出你的计算过程. 解：设白球为x个，则 解得x=54 ∴白球有54个 当堂检测 2、你能估算一粒小米的重量吗？ ①用小碗盛一碗米,放入较大的容器中,再放入100颗绿豆,搅拌均匀. ②从中取出一小部分,数一数其中绿豆多少颗,小米多少颗. ③算出绿豆所占的百分比P ④若小米总颗数为x,则=P，可求出x= . ⑤取一合适筛子将小米全部筛出. ⑥称出小米总重量G. ⑦每粒小米重量约为 . （1）试用所学知识解释这种方法,估计一粒小米重量的合理性. （2）说说这一实验的注意事项. （3）将以上操作做怎样调整,便可不用作第⑤步了. （2）首先要将绿豆和小米搅均，其次要称小米的重量，而不是小米与绿豆的总重量 （3）先称米的重量，然后再放绿豆，进行以后操作. 反思总结 1.本节课我们用标记重捕法估计池塘鱼的总数,核心依据是 “样本中标记鱼的比例等于总体中标记鱼的比例”,请你说说这个假设在什么情况下会不成立？如果不成立，估计值会偏大还是偏小？为什么？ 2.从摸球问题到池塘估鱼，我们用了类比迁移的方法解决新问题，请你说说类比迁移的关键是什么？你觉得使用这种方法时最需要注意什么,才能避免出错？ 3.有人说“用样本估计总体得到的只是近似值,不如准确计数靠谱,所以没什么用”,你同意这个观点吗？请结合本节课的学习，谈谈你对“统计估计”的价值与局限性的理解. 作业设计 一、基础巩固作业： 以红豆绿豆为道具，写出本节课问题研究的详细过程 二、素养类作业 深入挖掘本节课的研究过程，寻找和本学期哪些章节的知识有关联，并记录下来 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $