综合与实践一《猜想、证明与拓广》课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形、矩形周长与面积的倍化存在性探究，通过“情境启航”中正方形猜想验证导入，逐步构建矩形加倍、减半问题，从具体数值到字母参数，形成从特殊到一般的探究支架，掌握用一元二次方程判别几何存在性的方法。 其亮点在于完整呈现“猜想—证明—拓广”探究过程，以数学思维中的推理能力为核心，通过数形结合将几何问题转化为方程根的问题，如矩形加倍问题的一般证明。采用协作探究与教师示范（相似视角分析），提升学生逻辑推理与创新意识，也为教师提供结构化教学流程，助力高效教学。

综合与实践一 猜想、证明与拓广 新版北师大数学九年级上册 学习目标 1.通过探究正方形、矩形的周长与面积能否同时加倍、减半的系列问题,掌握用一元二次方程判别几何图形存在性的方法,理解从特殊到一般、从正向到逆向的探究逻辑. 2.通过经历“提出猜想—举例验证—严谨证明—拓展推广”的完整探究过程,提升问题提出能力、逻辑推理能力与综合应用知识解决问题的能力,体会数形结合、转化与化归的数学思想. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 猜想 证明 拓广 问题1:任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？请先说出你的猜想,再尝试验证. 不存在这样的正方形 问题构建 验证:设原正方形边长为a,则周长为4a,面积为a² ①若周长加倍:新周长为8a,边长为2a,此时面积为(2a)²=4a²,是原面积的4倍,不满足2倍要求； ②若面积加倍:新面积为2a²,边长为a,此时周长为4a,是原周长的倍,不满足2倍要求. 因此不存在周长和面积同时为原正方形2倍的正方形 问题2:从正方形的探究结论出发,你能提出哪些更一般的问题或猜想？ 正方形属于特殊的平行四边形，特殊的平行四边形不止有正方形，还有矩形、菱形等；也可以选择三角形，五边形或多边形，数学的研究遵循从特殊到一般的路径. 问题构建 1.任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,周长和面积分别是已知矩形的2倍？ 2.任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,周长和面积分别是已知矩形的一半？ 3.任意给定一个三角形,是否存在另一个三角形,周长和面积同时加倍？ 问题3:我们先拿具体矩形验证：已知矩形长为3、宽为2,是否存在另一个矩形,周长和面积分别是它的2倍？请列式求解. 存在这样的矩形.原矩形周长=2×(3+2)=10，面积=3×2=6； 目标矩形周长等于20,因此长+宽=10,设长为x，则宽为10-x,目标面积等于12. 问题构建 列方程：x(10-x)=12，整理得x²-10x+12=0.解得：x=5±,两根均为正数,因此存在，长为5+，宽为5- 追问:再换一组数值,比如长为4、宽为1的矩形,是否同样存在周长和面积同时加倍的矩形？ 存在这样的矩形. 原矩形周长=10,面积=4； 目标矩形周长=20,长+宽=10,目标面积=8. 列方程：x(10-x)=8，整理得x²-10x+8=0. 判别式Δ=100-32=68>0，方程有两个正实数根 因此存在 问题构建 问题4:通过两个特例的验证,你能提出什么猜想？请对一般情况进行严谨证明：任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,周长和面积分别是它的2倍？ 猜想:任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的2倍. 证明:设已知矩形长为m,宽为n（m>0,n>0），原周长=2(m+n),原面积=mn 设所求矩形长为x,则宽为2(m+n)-x,根据面积加倍列方程：x[2(m+n)-x]=2mn 整理后得：x²-2(m+n)x+2mn=0 其中a=1，b=-2(m+n)，c=2mn 问题构建 判别式:Δ=[2(m+n)]²-8mn =4(m²+2mn+n²)-8mn =4(m²+n²) ∵m>0,n>0 ∴Δ=4 (m²+n²)>0，方程有两个不相等的实数根. 又∵两根之和=2(m+n)>0,两根之积=2mn>0 ∴两根均为正实数.因此任意矩形都存在周长和面积同时加倍的矩形 问题5： 换个角度思考：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形，周长和面积分别是已知矩形的一半？请仍用长3宽2的矩形尝试验证 问题构建 原矩形周长=10,面积=6;目标周长=5,因此长+宽=2.5，目标面积=3 设长为x,则宽为2.5-x 列方程：x(2.5-x)=3， 整理得2x²-5x+6=0 判别式Δ=25-48=-23<0,方程无实数根,因此不存在. 追问:再试长为8、宽为2的矩形,是否存在周长和面积同时减半的矩形？ 原矩形周长=20,面积=16； 目标矩形周长=10,长+宽=5,目标矩形面积=8 列方程：x(5-x)=8,整理得x²-5x+8=0 判别式Δ=25-32=-7<0,方程无实数根,因此不存在. 协作破冰 问题6:是不是所有矩形都不存在这样的“减半矩形”？请对一般情况进行证明,说说你的最终结论. 证明：设已知矩形长为m,宽为n（m≥n>0），原周长=2(m+n)，原面积=mn 若存在满足条件的矩形,其周长为m+n,因此长+宽=. 设长为x,则宽为-x,目标面积= 列方程：x（ -x ）= 整理得：2x²-(m+n)x+mn=0 a=2,b=-(m+n),c=mn 协作破冰 判别式:Δ=(m+n)²-8mn=m²-6mn+n² 当Δ≥0,即m²-6mn+n²≥0时,方程有实数根,存在满足条件的矩形；否则不存在. 由方程m²-6mn+n²=0转化可得： 令t=≥1，则 解得t≥3+2（约等于5.828） 即:当矩形长与宽的比值大于等于3+2时,存在周长和面积同时减半的矩形；否则不存在. 问题7:我们知道数形结合是重要的思想方法,本节课的研究我们从数—方程的角度展开，如果从形的角度思考，说说你的看法？ 教师示范 所有正方形都彼此相似. 若存在这样的正方形,设相似比为k 要求周长加倍,则周长比k=2； 此时面积比应为k²=4,即面积是原正方形的 4倍,不可能同时满足面积为2倍. 因此从相似性质可直接得出:不存在这样的正方形.该结论与原解答保持一致！ 从相似视角可延伸出分层问题： 1.若限定两个矩形相似,是否存在矩形能实现周长和面积同时加倍？ 2.若不要求矩形相似,调整长宽比,能否实现周长和面积同时加倍？ 教师示范 分类讨论 ①若保持与原矩形相似: 原矩形长宽比3:2,周长加倍则相似比为2,此时面积应为原面积的4倍,不满足面积2倍的要求,因此相似矩形不存在. ②若不要求相似,调整长宽比：通过方程求解可得存在对应长和宽的矩形，其长宽比与原矩形不同，属于非相似解. 分类讨论 ①相似缩放：周长加倍则相似比2，面积变为4倍，不满足面积 2倍，相似解不存在 ②非相似情况：通过方程验证存在正实数解,解的长宽比与原矩形4:1不同,再次验证“解存在且一定不与原矩形相似”. 倍增问题 倍减问题 巩固拓展 倍增问题 倍减问题 1.若限定为相似矩形：一定不存在.因为周长加倍要求相似比 k=2,面积比必为4,不可能等于2；这是相似变换的固有属性，对所有矩形都成立. 2.若不限定相似：一定存在.证明同原解答，通过一元二次方程判别式可证恒有正实数解,且解对应的矩形与原矩形长宽比不同,不相似. ①若限定相似：一定不存在.周长减半则相似比k=1/2,面积比应为k²=1/4,即面积是原图形的1/4,无法满足面积1/2的要求 ②若不限定相似：通过方程判别式可知,仅当长宽比满足特定条件时才存在解,且解对应的矩形与原矩形不相似 巩固拓展 问题8:回顾本节课的探究过程,我们经历了怎样的研究步骤？用到了哪些核心数学方法？ 1.特殊到一般：从正方形到矩形，从具体数值到字母参数； 2.数形结合：将几何存在性问题转化为代数方程根的问题； 3.逆向思维：从“加倍” 问题逆向拓展到“减半” 问题 提出问题 特例验证 形成猜想 严谨证明 拓广延伸 巩固拓展 问题9:结合本节课的探究,你还能提出哪些可以继续研究的问题？ 示例： 1.任意给定一个平行四边形，是否存在另一个平行四边形，周长和面积同时加倍/减半？2.任意给定一个直角三角形，是否存在另一个直角三角形，周长和面积同时加倍？ 3.如果限定矩形边长为整数，结论会发生变化吗？ 4.三维空间中，是否存在一个长方体，其表面积和体积分别是已知长方体的2倍？ 当堂检测 证明三角形全等即可 当堂检测 反思总结 1.本节课我们将“矩形周长与面积的倍化存在性”这一几何问题,转化为一元二次方程根的存在性问题来解决,请你说说这种 “数形结合”思想的核心是什么？它对你解决其他数学问题有什么启发？ 2.从正方形到矩形,从“加倍”到“减半”,我们经历了完整的 “猜想—证明—拓广”探究过程,请你总结一下这个过程的一般步骤是什么？其中哪一个环节最容易出错,你认为需要注意什么？ 3.我们知道“相似图形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”,这与本节课“存在周长和面积同时加倍的矩形”的结论是否矛盾？请谈谈你的理解,并说说本节课探究的图形与相似图形的本质区别是什么. 作业设计 一、基础巩固作业： 写出本节课问题研究代数推理的详细过程 二、素养类作业 是否存在周长和面积都等于已知正方形3倍的正方形？说说你的理由. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. 1．如图，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G. (1)猜想：EF与EG的数量关系； (2)如图②，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (2)成立．理由如下：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF＝EG. $