6.2《用频率估计概率》课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用频率估计概率”，以“生日问题”为情境导入，回顾试验估计法和理论计算法的局限性，通过问题链构建“试验估计—理论计算—模拟估计”的概率知识体系，搭建学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动教学，设计摸球和随机数模拟方案培养抽象能力与模型意识，协作破冰中通过20次试验数据分析发展数据意识，巩固拓展梳理三类概率方法适用场景体现推理能力。学生提升探究与知识结构化能力，教师获得清晰教学流程与实例支持。

第六章 概率的进一步认识 第2课 用频率估计概率 新版北师大数学九年级上册 学习目标 1.通过分析生日问题的特点,能说出实际调查法与理论计算法的局限性,理解模拟试验的必要性. 2.通过设计摸球和随机数两种模拟方案,能掌握模拟试验的基本操作步骤,会根据试验数据计算频率、估计事件发生的概率. 3.通过对比不同模拟方法的共性,能体会转化与模型思想,能梳理概率的三类研究方法,能完善“试验估计—理论计算—模拟估计” 的概率知识体系,明确不同方法的适用场景. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 像“50 人中是否有人生日相同”这种步骤多、没法用树状图计算,也不方便大规模实际调查的随机事件,我们该用什么方法,准确又便捷地估计它的概率？ 问题1:我们之前学习了两种求概率的方法,分别是什么？各自适合什么样的问题？ 1.试验估计法：大量重复试验,用事件发生的频率估计概率,适合所有随机事件,但结果是近似值,需要大量试验； 2.理论计算法（树状图、列表法）：适合结果数少的两步等可能事件,能算出精准概率，但步骤多了就没法用. 问题构建 问题2:“400名同学中,一定有2名同学生日相同”,这句话对吗？为什么？换成300名同学还一定成立吗？ ①这句话是对的.一年按365天算,400人超过了 365种可能的生日,必然至少有2人生日重复，这是必然事件,概率为1； ②300名同学不一定,因为300小于365,理论上存在所有人都不同生日的可能,但出现重复的可能性非常大. 追问:那如果换成50名同学中,有2人生日相同的概率有多大？用树状图或列表法能算出来吗？如果去实际调查,方案可行吗？ 问题构建 不能用理论计算.50个人对应50步试验,总结果有种,数量太大,根本没法全部列举； 实际调查需要找很多人,费时间、费精力； 理论算不了,实际调查太麻烦,今天我们就学习一种新方法——用模拟试验估计概率,用简单易操作的试验,替代复杂难操作的原事件. 问题3:如果用编号小球来模拟生日问题,我们需要准备多少个球？原因是什么？ 准备365个大小、质地完全相同的小球,分别标上1-365的编号,每个编号对应一年中的一天 问题构建 追问1:怎么标记？一次试验具体怎么操作？ 1.一次试验:从袋子里随机摸1个球,记下编号后放回摇匀,重复摸50次,对应50个人的生日,检查这50个编号里有没有重复的； 2.重复多次试验后,用“有重复的次数 ÷ 总试验次数”得到频率,就能估计概率. 追问2:为什么摸球试验可以代替生日调查？摸球和生日问题,有哪些相同的地方？ 总可能数相同:都是365种等可能的结果； 试验规则相同:每次抽取都是独立的,每个结果出现的可能性相等； 研究事件相同:都是“50次抽取中出现重复结果” 问题构建 追问3:除了摸球,我们还可以用计算器产生随机数来模拟这个问题.请你说说用随机数模拟生日问题的具体步骤? 1.用excel产生1-365之间的随机整数,每个整数代表一个人的生日； 2.连续产生50个随机数,作为一次试验,记录其中有没有重复的数； 3.重复多次试验,计算“有重复”的频率,估计概率. 追问4:请大家观察老师的操作，尝试理解上面的步骤，并根据老师的操作提出自己不明白的地方. 问题构建 30 101 106 62 102 288 110 101 109 12 71 351 247 205 281 270 30 138 13 83 298 328 152 15 136 129 195 258 118 98 215 181 237 51 237 145 319 95 208 236 163 184 240 251 333 240 267 344 290 105 生成随机数 生成第一个数 问题4:观察右边随机生成的50个数,为了验证我们试验结果,我们需要在右边数据中寻找怎样的数？ 寻找相同的数 追问1:有没有更快的方法找到相同的数据？ 对数据进行排序即可 追问2:除了数据相同的情况，还有哪种情况出现？ 50个数据都不相同 问题构建 追问3:刚才的数据中相同的数和不同的数分别对应试验对象的哪种情况？ 相同的数代表生日相同；不同的数代表生日不同 追问4:为了得出试验概率,我们需要统计的是哪种数据,举例说明？ 统计出含数据相同的数组数量m 统计出所有数据组的数量n 频率= 借助这个频率值去估计事件发生的概率. 追问5:为了更接近真实概率,你有什么好的建议？ 借助软件生成尽量多的数据 协作破冰 问题5:老师提前用计算机做了20次模拟试验,每次生成50个1--365的随机数,结果如下表.请你算一算,20 次试验中,有多少次出现了生日重复？对应的频率是多少？ 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 是否重复 是 是 否 是 是 是 是 否 是 是 试验序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 是否重复 是 是 否 是 是 是 是 是 否 是 协作破冰 出现重复的有16次,频率=16÷20=0.8 追问:如果继续做试验,50次试验中有47次出现重复,100次试验中有97次出现重复,随着试验次数增加,频率会有什么变化？最终稳定在多少左右？这个结果和你一开始的猜想一样吗？ 1.随着试验次数增加,频率会逐渐稳定,这就是我们之前学的“频率稳定性定理”； 2.最终会稳定在0.97左右,也就是50人中生日相同的概率大约是97%,比大部分人预想的要大很多. 教师示范 问题6:一个口袋中有3个红球、7个白球,这些球除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球,这个球是红球的概率是多少？ 口袋中球的总数=红球数+白球数=3+7=10个球 因为每个球被摸到的机会均等,所以“所有可能的结果”共10种 P(摸到红球)= 追问1:反过来,如果一个口袋里有红球、白球共10个,不把球倒出来数,你能设计一个试验,估计里面红球和白球的数量比例吗？ 教师示范 设计如下游戏： 从口袋里随机摸出1个球,记下颜色后放回摇匀；重复摸球很多次,记录摸到红球的次数；用摸到红球的频率估计摸到红球的概率,再用总球数乘概率,就能估计红球的数量,进而得到红白球的比例. 追问2:这个摸球估计比例的问题,和生日模拟试验相比,有什么相同和不同？ 相同点：都用了“频率估计概率”的核心规律,都用到了转化思想； 不同点：生日问题是“已知总可能数,估计事件概率”,是正向应用； 这个问题是“通过试验频率，反推总体的数量比例”是逆向应用. 巩固拓展 追问3:如果要估计“60 个人中有2人生日相同”的概率,我们的模拟方案需要怎么改？如果按闰年366天算呢？ 1.估计60人的概率:只需要把每次摸球/生成随机数的数量从50改成60,其他步骤完全不变； 2.闰年366天：把球的总数改成366个,随机数范围改成1—366,保证总可能数和实际一致即可 追问4:如果我们要估计“50个人中有3个人生日相同”的概率,模拟方案又该怎么调整？ 模拟的操作步骤不变,只需要把判断标准从 “有没有2个重复的编号”改成“有没有3 个重复的编号”,核心的模拟原理和方法完全通用 巩固拓展 问题7:到现在为止,我们学了三种研究概率的方法.你能说说它们分别适合什么场景吗？ 1.理论计算法（树状图、列表法）：适合步骤少、结果有限的等可能事件,能算出精准概率； 2.实际试验估计法：适合操作简单、无破坏性的事件,用频率估计概率,结果是近似值； 3.模拟试验估计法：适合步骤多、理论计算复杂,或者实际试验有难度、有破坏性的事件,用等价试验替代,便捷高效. 当堂检测 1.小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别和 的 同心圆（如图），然后两个人蒙上眼，在一定距离外向圈内掷小石子， 掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内或掷中两圆的边界线 则重掷. （1）如果你来当裁判，你认为游戏公平吗？为什么？ 解：不公平.理由如下： （掷中阴影） ， 即小红获胜的概率为 ， 小明获胜的概率为 . ， 游戏对双方不公平. 当堂检测 （2）游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计 概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢？”请设计方案， 解：能利用频率估计概率的试验方法估算非规则图形的面积. 设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形，将不规则图 形围起来（如正方形，其面积为 ），如图所示.②往图形中掷 解决这一问题.（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算 公式） 当堂检测 点（如蒙上眼，往图形中随意掷石子，掷在图形边界和图外不做记 录） 当掷点次数充分大（如1万次），记录并统计结果，设掷入正 方形内次，其中次掷入不规则图形内.④设不规则图形的面积为 ， 用频率估计概率，即频率（掷入不规则图形内） 概率 （掷入不规则图形内） ， 故. . 反思总结 1.什么时候我们需要用模拟试验来估计概率？模拟试验最核心的要求是什么？ 2.我们今天学习了哪两种具体的模拟方法？它们背后共同的原理是什么？ 3.学完今天的内容,你对“用频率估计概率”这句话,有了什么新的认识？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第174页 第2题 二、素养类作业 拓展阅读：课本第173页 恼人的三门问题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $