专题03 相似三角形的性质与应用（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“性质应用”为主线，覆盖7类核心题型，通过典例变式构建从基础到综合的知识网络，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相似三角形的性质|5题型（含5典例+10变式）|聚焦性质求解、证明、坐标计算、作图及重心应用，强调逻辑推理|以相似性质为核心，延伸至重心特殊性质，形成“性质-特殊应用-几何操作”的逻辑链| |相似三角形的实际应用|2题型（含2典例+7变式）|涵盖常规测量（影长、高度）和跨学科应用（杠杆、光学），突出模型意识|从数学内部性质拓展到现实问题解决，体现“数学语言表达现实世界”的核心素养|

专题03 相似三角形的性质与应用 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的性质 题型1 利用相似三角形的性质求解 题型2 利用相似三角形的性质证明 题型3 利用相似求坐标 题型4 利用相似三角形的性质画图 题型5 三角形重心性质的应用 考点二 相似三角形性质的实际应用 题型6 常规测量问题 题型7 相似三角形知识的跨学科应用 综合攻坚·知能拔高 考点一 相似三角形的性质 ◆题型1 利用相似三角形的性质求解 【典例1】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，已知．若，则值为（   ） A．10 B．15 C．25 D．45 【答案】C 【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴它们的相似比为， ∴它们的周长之比为． 故答案为． 【变式1-2】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴． （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 利用相似三角形的性质证明 【典例2】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形为矩形， ， ． ， ， ． ． (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，然后可证； （2）由勾股定理得，，，由（1），则，可得． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理得， ， ． 在中，根据勾股定理得， ， 由（1）知， ， 即， ． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 【变式2-2】如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到； （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论； （3）根据第一问结论可得，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）(2)如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴． ◆题型3 利用相似求坐标 【典例3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 【变式3-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 【变式3-2】已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据两相似三角形的对应边成比例求得DE的长度，然后由两点间的距离公式可以求得点E的坐标． 【详解】解：∵点A、B、C、D的坐标分别为（-5，3）、（1，3）、（1，-1）、（4，3）， ∴AB=6，AD=9，BC=4， 又∵， ∴，BC∥DE， ∴DE=6，E点横坐标与D点相同， 设点E的坐标为（4，y）， ∴3-y=6， 解得，y=-3， ∴点E的坐标为（4，-3）． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质．解答该题的关键是根据相似三角形的对应边成比例求得线段DE的长度． ◆题型4 利用相似三角形的性质画图 【典例4】如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点， (1)图1中的值为______； (2)请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最小的格点，使它与相似． 【答案】(1) (2)①即为所求； ②即为所求（答案不唯一）； 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可；②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①略；②略． ◆题型5 三角形重心性质的应用 【典例5】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．延长交于点D，根据三角形重心的性质可得，D是的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出，然后根据得出，的长度，则当时，的面积最大，求其最大值即可． 【详解】解：延长交于点D， G是的重心， ，D是的中点， ， ，即， ， ， （负值舍去）， ， 当时，的面积最大，最大值为． 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，I为重心，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，掌握三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键． 如图：延长交于D，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可． 【详解】解：如图：延长交于D， ∵I为重心， ∴是的中线，，即 ∵， ， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 【答案】 （1）如图，点为所求： （2） 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据角平分线以及线段垂直平分线的作法画图即可； （2）根据重心的性质进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意可得：点D为的重心， ． 考点二 相似三角形性质的实际应用 ◆题型6 常规测量问题 【典例6】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再列出比例式，然后求出相关线段，代入比例式求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·湖南永州·二模）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，某宣传栏后面处植有与宣传栏平行的6棵树，即，且相邻两棵树干之间的间隔均为．一人站在宣传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住．已知，求得宣传栏的长（不计宣传栏的厚度）为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题．解题时关键是熟练掌握相似的三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系．根据，得到，根据题意求得，再根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解宣传栏的长度， 【详解】解：如图，设的延长线交于点G，   ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-4】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7 相似三角形知识的跨学科应用 【典例7】（25-26九年级上·湖南常德·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 【变式7-1】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 【变式7-2】（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为__________ ． 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反 电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 24．如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的性质与判定，添加平行线的辅助线构造相似三角形是解题的关键．延长交于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作交延长线于点， ∵G为的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 25．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 【答案】任务1：；任务2：祁阳文昌塔的高度为36米 【分析】本题考查相似三角形实际应用，相似三角形的性质和判定； （1）由题意得，进而得到，即可求出； （2）设祁阳文昌塔的高度米，由题意易证明，，得到，，得到，，利用建立方程求解即可. 【详解】解：任务1 ∵观测者在点处刚好能看到树的顶部， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴. 任务2 设祁阳文昌塔的高度米， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵ 又∵米 ∴米 ∴米 ∴，解得：. 故祁阳文昌塔的高度为36米. 26．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在正方形中，，E是的中点，连接，点F是射线上的一点，连接，过点F作于点G，则______；若与相似，则的长为______． 【答案】 5或2 【分析】先证明，列出比例式求得；再分、两种情况，分别列出比例式求出的长． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 若与相似， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 当时，， 如图， 又， ∴， 又在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，的长为5或2． 27．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，已知在中，点F是三角形的重心，连结并延长，交于点G，过点F作，交于点D，交于点E，若，则的长为 ___________； 【答案】9 【分析】本题考查了三角形重心的性质，中位线的判定与性质，相似三角形的判定及性质等知识，连接，并延长交于H点，连接，根据点是的重心，可知、是的中线，即可得，，则有，进而可得，再根据，即有，问题得解． 【详解】解：连接，并延长交于H点，连接，如图， ∵点是的重心， ∴、是的中线， ∴点、点分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意先证得四边形为矩形，得到，，然后证明，得到，代入数据求得的长度，即可求得的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴超然楼的高度为． 29．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 30．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 【答案】米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理等知识﹒ 先证明，根据勾股定理求出米，米﹒证明得到，求出米，即可求出米﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，米， 在中，米﹒ ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴米﹒ ∴米﹒ 答：汽车从A处前行的距离为米时，才能发现C处的儿童﹒ 31．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 32．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 【答案】(1) 证明：中，， ． ， ． ， ． ， ； (2) (3) 解：过B作交的延长线于E， ， ． ． ， ． 在与中 ． ． ， ． ， ， ； ． ． 【分析】（1）先证，可得，进而得出结论； （2）利用（1）中相似比求解即可； （3）过B作交的延长线于E，先证，可得， 再证，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ． ， ． ． ． （3）略 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 33．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3) 解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）略 34．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ， 故答案为：； （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ， ， ∴． 35．（24-25九年级上·山西长治·期中）综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． (1)求的长． (2)当的面积为时，求此时的值． (3)当是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)的长为 (2)此时的值为4或9 (3)或或 【分析】（1）设，则，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点Q作于点E，由是边上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到cm，， 求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为； （2）如图，过点Q作于点E， 是边上的高， ， ， ， 根据题意，得， ，的面积为， ， 解得， 答：此时t的值为4或9； （3）是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ， ， ， ， ， 解得，， ③，如图，过Q作于G， 则，， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 36．某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题． 甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1） 如图2，甲同学目高（眼睛到地面距离）米，站在距离旗杆底部米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点的仰角，通过计算求出旗杆的高度． (1)请用含有m，的代数式表示旗杆的高度=________米． 为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表． 序号 离旗杆底部距离（单位：米） 仰角 旗杆的高度（单位：米） ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30 (2)观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填） (3)乙同学计划用自制的直角三角板（两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高（米），他调整位置，设法使斜边保持水平，边与旗杆顶点C在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a，b，c…表示，求旗杆的高度（用含有a，b，c…的代数式表示）． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线． （1）过点A作于点E，解直角三角形，求出即可得出答案； （2）根据表格中的数据进行判断即可； （3）证明，得出，米，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： 根据题意可知，四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米； （2）解：因为距离旗杆底部越远，的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误； （3）解：需测量的线段米，米，米， 由题可知，四边形是矩形，米， ，， ， ， ， （米）， （米） 答：旗杆CD的高度为米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的性质与应用 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的性质 题型1 利用相似三角形的性质求解 题型2 利用相似三角形的性质证明 题型3 利用相似求坐标 题型4 利用相似三角形的性质画图 题型5 三角形重心性质的应用 考点二 相似三角形性质的实际应用 题型6 常规测量问题 题型7 相似三角形知识的跨学科应用 综合攻坚·知能拔高 考点一 相似三角形的性质 ◆题型1 利用相似三角形的性质求解 【典例1】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，已知．若，则值为（   ） A．10 B．15 C．25 D．45 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 【变式1-2】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． ◆题型2 利用相似三角形的性质证明 【典例2】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【变式2-2】如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. ◆题型3 利用相似求坐标 【典例3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【变式3-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．    【变式3-2】已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________. ◆题型4 利用相似三角形的性质画图 【典例4】如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点， (1)图1中的值为______； (2)请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最小的格点，使它与相似． ◆题型5 三角形重心性质的应用 【典例5】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，I为重心，则__________． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 考点二 相似三角形性质的实际应用 ◆题型6 常规测量问题 【典例6】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为________． 【变式6-2】（2025·湖南永州·二模）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，某宣传栏后面处植有与宣传栏平行的6棵树，即，且相邻两棵树干之间的间隔均为．一人站在宣传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住．已知，求得宣传栏的长（不计宣传栏的厚度）为___________．    【变式6-4】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． ◆题型7 相似三角形知识的跨学科应用 【典例7】（25-26九年级上·湖南常德·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【变式7-2】（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为__________ ． 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反 电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 综合攻坚·知能拔高 24．如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 26．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在正方形中，，E是的中点，连接，点F是射线上的一点，连接，过点F作于点G，则______；若与相似，则的长为______． 27．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，已知在中，点F是三角形的重心，连结并延长，交于点G，过点F作，交于点D，交于点E，若，则的长为 ___________； 28．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 29．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 31．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 32．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 33．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 34．发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 35．（24-25九年级上·山西长治·期中）综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． (1)求的长． (2)当的面积为时，求此时的值． (3)当是等腰三角形时，请直接写出的值． 36．某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题． 甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1） 如图2，甲同学目高（眼睛到地面距离）米，站在距离旗杆底部米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点的仰角，通过计算求出旗杆的高度． (1)请用含有m，的代数式表示旗杆的高度=________米． 为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表． 序号 离旗杆底部距离（单位：米） 仰角 旗杆的高度（单位：米） ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30 (2)观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填） (3)乙同学计划用自制的直角三角板（两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高（米），他调整位置，设法使斜边保持水平，边与旗杆顶点C在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a，b，c…表示，求旗杆的高度（用含有a，b，c…的代数式表示）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $