第六章 对概率的进一步认识（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第六章 对概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 2.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 3.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 4.某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（   ） A． B． C． D． 5.为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 6.有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（   ） A． B． C． D． 7.已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所 示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A． B． C． D． 8.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 9.从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 10.投掷蓝色、红色两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将蓝色和红色骰子朝上面的编号分别作为一次函数的一次项系数和常数项的值，则点在一次函数图象的下方的概率为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是 ． 12.看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ． 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 13.已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 14.如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 第14题图 第16题图 15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是 ． 16.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 18．（6分）北京是世界上首个同时举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，在2022年举办冬奥会和冬残奥会之后，发行了系列纪念邮票．小明是一位集邮爱好者，他收集了如图所示的三张邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将三张邮票背面朝上，洗匀放好． (1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物”的概率是_______； (2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 19.（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 20．（8分）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 21.(10分)某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； (2)有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； (3)若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 22.（10分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 23.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 24．（12分）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第六章 对概率的进一步认识·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C D B A D B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） （1）解：按下一个开关这个事件一共有3种结果，其中走廊灯亮的结果一共有1种， ∴小明打开走廊灯的概率是， 故答案为：；（2分） （2）解：画树状图如下： （4分） ∵共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种； ∴客厅灯和走廊灯同时亮的概率是．（6分） 18．（6分）【详解】（1）解：小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物”的概率是， 故答案为：；（2分） （2）解：画树状图如下： （4分） 共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的结果有2种， ∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的概率为．（6分） 19．（8分）【详解】（1）解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为；（3分） （2）解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： （5分） 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，（7分） ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平．（8分） 20．（8分）【详解】（1）解:画树状图如图． （3分） 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的球的编号之和不大于的结果有种， 取出的球的编号之和不大于的概率为．（4分） （2）解：画树状图如图． （7分） 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中的结果有种， ∴的概率为．（8分） 21．（10分）【详解】（1）解：由题意可知，从四张卡片中随机抽取一张，共有4种情况， 其中，抽到B卡片的情况有1种， 即抽到B卡片的概率是；（2分） （2）解：观察发现，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为， 所以该同学的说法错误， 故答案为：，错误；（5分） （3）解：由题意可知，A和D为物理变化，B和C为化学变化． 列表如下： 小娜小菲 （8分） 由表可得，共有12种等可能的情况，其中小娜和小菲恰好被分在同一个社团的情况有4种， 即她们恰好被分在同一个社团的概率为．（10分） 22.（10分）（1）解：本次抽取的学生人数共有： （人），（1分） 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ，（2分） 等级人数为： （人）， 补全条形统计图如下： （3分） （2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人），（5分） 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： （8分） 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．（10分） 23. (12分) 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： （3分） 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为；（5分） （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元），（7分） ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元），（9分） ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元），（11分） 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．（12分） 24． （12分） 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签，（2分） 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签．（5分） 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， （7分） 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 （10分） 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为.（12分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第六章 对概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 2.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 3.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 4.某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（   ） A． B． C． D． 5.为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 6.有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（   ） A． B． C． D． 7.已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A． B． C． D． 8.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 9.从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 10.投掷蓝色、红色两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将蓝色和红色骰子朝上面的编号分别作为一次函数的一次项系数和常数项的值，则点在一次函数图象的下方的概率为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是 ． 12.看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ． 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 13.已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 14.如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是 ． 16.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 18．（6分）北京是世界上首个同时举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，在2022年举办冬奥会和冬残奥会之后，发行了系列纪念邮票．小明是一位集邮爱好者，他收集了如图所示的三张邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将三张邮票背面朝上，洗匀放好． (1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物”的概率是_______； (2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 19.（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 20．（8分）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 21.(10分)某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； (2)有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； (3)若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 22.（10分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 23.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 24．（12分）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第六章 对概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求概率和构成三角形的条件，先列举出所有的取法，再根据构成三角形的条件确定能构成三角形的取法，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从5根木棒中任取3根，所有可能情况有10种：、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、； ∵三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴只有、、；、、；、、；这三种情况能搭成三角形， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：B． 2.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查画树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画树状图法或列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是． 故选：B． 3.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，通过列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数是解题的关键． 先通过画树状图可知：总共有8种等可能结果，恰有2只雄鸟的情况有3种，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 则所有等可能结果有8种，恰有2只雄鸟的情况为（雌，雄，雄）、（雄，雌，雄）、（雄，雄，雌）共3种， 所以3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是． 故选C． 4.某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率计算，需先列出所有可能摸出两球的组合，再找出金额和不少于40元的组合数，最后计算概率，熟练掌握概率公式是解此题的关键． 【详解】解：∵抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，所有可能组合为：，和为30元；，和为40元；，和为50元； ∴总结果数为3，其中，和不少于40元的组合有和，共2种， ∴概率为， 故选：D． 5.为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B      —— C           —— D                —— E                     —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 6.有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合条件事件的结果数目，则事件发生的概率为，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题关键．先画树状图表示出所有可能的点，再确定哪些点满足，从而计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，分别是：，，，，，， 其中满足的点有，其他点均不成立， 只有个点满足条件， 点恰好在图像上的概率是． 故选：A． 7.已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查树状图法求概率．如图所示的电路为并联电路，两个电子元件至少有一个正常工作，则电流就能通过．解题的关键是掌握：树状图法适合于两步或两步以上完成的事件、概率计算的公式为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是， 则该电子元件不正常工作的概率为， 画树状图如下： 共有种等可能性，之间电流能够正常通过的有种情况， ∴之间电流能够正常通过的概率是． 故选：D． 8.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 9.从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从4条线段中任选3条，共4种组合，但只有3种能组成三角形，对于每种三角形，利用三角函数和勾股定理验证是否可能含有角，最后用能组成含有角的三角形的情况数量除以4即可； 【详解】解：∵从4条线段中任选3条，有4种组合：；；；， 其中中，不能组成三角形， ∴能组成三角形的有3种：、、， 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， 与矛盾， ∴不能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； ∴能组成含有角的三角形有2种， ∴所求概率为； 故选：C． 10.投掷蓝色、红色两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将蓝色和红色骰子朝上面的编号分别作为一次函数的一次项系数和常数项的值，则点在一次函数图象的下方的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一次函数的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和点在一次函数的图象的下方的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得：    1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共可以得到36个不同形式的一次函数， ∵点在函数图象下方， ∴ ，即 ． ∵k和b均为1～6的整数，满足，即满足点在一次函数的图象的下方的有30种（如下表）：    1 2 3 4 5 6 1          2       3    4 5 6 点在一次函数图象下方的概率为， 故选：C． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先识别卡片中的无理数，然后列树状图计算概率即可． 【详解】卡片上的数字分别为：（有理数）、（有理数）、（无理数）、0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共20种，两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 故答案为：． 12.看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ． 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A的概率利用列举法求概率，列出田忌所有可能的出场顺序，找出其中赢比赛的情况，计算概率． 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序固定为10，8，6； 田忌的三匹马为5，7，9，所有可能的出场顺序共有6种： ； 其中只有出场顺序为时，田忌赢第二场和第三场，从而赢得比赛； 因此田忌能赢得比赛的概率为； 故答案为． 13.已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 14.如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意，得出所有的情况数及符合条件的情况数是解题关键． 根据题意列出所有的情况数及符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：， ， ， ，共有24种， 恰好两名拿对：共有6种情况， 不存在恰好有三名同学拿对书包的情况， 恰好有四名同学拿对书包的情况有1种， ∴符合条件的情况数为种， 概率为， 故答案为：． 16.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如图，连接EG交BD于点P， ∵平分， ∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形 ∴∠MED＝90°， ∴∠AED＝180°－∠MED＝90° ∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ∴△ADE≌△MDE（ASA） ∴AE＝ME 同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADM＝45° ∴∠ADE＝∠MDE＝22.5° ∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45° ∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5° ∴∠EMD＝∠MPE ∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x 在Rt△EFG中，∠EFG＝45°， ∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中， ∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键分清是简单概率计算还是需要用树状图或者列表求概率； （1）根据简单的概率公式求出概率即可； （2）运用树状图法求出概率即可； 【详解】（1）解：按下一个开关这个事件一共有3种结果，其中走廊灯亮的结果一共有1种， ∴小明打开走廊灯的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种； ∴客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 18．（6分）北京是世界上首个同时举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，在2022年举办冬奥会和冬残奥会之后，发行了系列纪念邮票．小明是一位集邮爱好者，他收集了如图所示的三张邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将三张邮票背面朝上，洗匀放好． (1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物”的概率是_______； (2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握概率公式及求解一步概率及二步概率问题的方法步骤是解决问题的关键． （1）根据一步概率问题求解方法，直接由概率公式求解即可得到答案； （2）根据画树状图法得到所有可能的结果，根据题意，找到符合条件的结果，利用概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的结果有2种， ∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬残奥会会徽”的概率为． 19.（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由和表格见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形和轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形，据此结合概率计算公式求解即可； （2）A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，据此列出表格得到所有等可能性的结果数，再分别找到摸出的两张牌的牌面图形是轴对称图形和两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，最后分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为； （2）解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 20．（8分）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了古典概型概率的知识点，解题关键是准确列举所有基本事件，并逐一分析符合条件的事件数，确保不重不漏． （1）先确定从袋中随机一次取两个球的所有可能结果（基本事件数），再找出编号之和不大于的结果数，最后根据概率公式计算； （2）确定两次取球的所有可能结果数，再逐一分析满足的结果数，进而计算概率． 【详解】（1）解:画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的球的编号之和不大于的结果有种， 取出的球的编号之和不大于的概率为． （2）解：画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中的结果有种， ∴的概率为． 21.(10分)某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； (2)有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； (3)若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 【答案】(1) (2)；错误 (3) 【分析】本题考查了概率公式，利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据大量重复试验的结果可知，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为，即可作答； （3）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，从四张卡片中随机抽取一张，共有4种情况， 其中，抽到B卡片的情况有1种， 即抽到B卡片的概率是； （2）解：观察发现，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为， 所以该同学的说法错误， 故答案为：，错误； （3）解：由题意可知，A和D为物理变化，B和C为化学变化． 列表如下： 小娜小菲 由表可得，共有12种等可能的情况，其中小娜和小菲恰好被分在同一个社团的情况有4种， 即她们恰好被分在同一个社团的概率为． 22.（10分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 补全条形统计图如下： （2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 23.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 24．（12分）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $