第六章 概率的进一步认识 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第六章概率单元测试，以社会热点（巴黎奥运会、大冬会）和文化元素（非遗、围棋）为情境，覆盖概率概念、计算及应用，适配单元复习，培养数学眼光与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|概率意义（第1题降雨概率）、频率估计概率（第4题摸球频率）|结合生活情境（二维码面积估计、生日问题）| |填空题|6/18|古典概型（第12题单词字母抽取）、几何概型（第13题花瓣面积概率）|融入文化元素（围棋棋子、数学实验）| |解答题|8/72|树状图/列表法（17题志愿者分配）、概率与方程综合（10题方程根的判别式）、统计与概率结合（24题作文大赛统计）|突出应用意识（公平性判断、游戏规则设计）|

第六章 概率的进一步认识 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若气象部门预报明天下雨的概率是99%，下列说法正确的是（　　） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 2．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 3．在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识．将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（　　） A． B． C． D． 4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．6 B．16 C．18 D．24 5．某质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（　　） A．向上一面的点数是偶数 B．向上一面的点数大于4 C．向上一面的点数是质数 D．向上一面的点数是1 6．在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是（　　） A．400个人中至少有两人生日相同 B．300个人至少有两人生日相同 C．2个人的生日不可能相同 D．2个人的生日很有可能相同 7．为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 8．“二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　） A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2 9．以下说法合理的是（　　） A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B．抛掷一枚普通的正方体骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6 C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定有2张中奖 D．在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为0.48和0.51 10．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数﹣1，1，2，随机摸出一个小球（不放回），其数记为p，再随机摸出另一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2﹣px+q＝0有实数根的概率是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数可能是 　　 个． 12．从单词“mathematics”中随机抽取一个字母，字母“a”出现的概率是 　　 ． 13．如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为　　 ． 14．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　　 个． 15．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为奇数的概率是　 ． 16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是　　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 18．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假设甲乙两人每次都等可能地做这三种手势．用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率． 19．2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 20．经过某路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个路口． （1）求甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率； （2）甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的概率是　　 ． 21．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平． 号：137455123．将形状和大小都一样的红、白两种颜色的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装有1个红球和1个白球，乙袋装有2个红球和1个白球，现从每个口袋中各随机摸出1个小球． （1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果； （2）有人说：“摸出‘两红’和摸出‘一红一白’这两个事件发生的概率相等．”你同意这种说法吗？为什么？ 24．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图． 请根据图中信息回答下面的问题： （1）参赛作文的篇数共 　　 篇； （2）图中：m＝　　 ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 　　 °； （3）把条形统计图补充完整； （4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率． 参考答案 第六章 概率的进一步认识 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若气象部门预报明天下雨的概率是99%，下列说法正确的是（　　） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【解答】解：天下雨的概率是99%，说明明天下雨的可能性比较大， 故选：A． 2．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种， 所以可配成紫色的概率， 故选：C． 3．在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识．将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张， ∴恰好抽中“湘剧”卡片的概率为， 故选：C． 4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．6 B．16 C．18 D．24 【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%， ∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%， 故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个． 故选：B． 5．某质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（　　） A．向上一面的点数是偶数 B．向上一面的点数大于4 C．向上一面的点数是质数 D．向上一面的点数是1 【解答】解：向上一面的点数是偶数的概率为， 向上一面的点数大于4的概率为， 向上一面的点数是质数的概率为， 向上一面的点数是1的概率为， 所以发生概率最小的是向上一面的点数是1． 故选：D． 6．在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是（　　） A．400个人中至少有两人生日相同 B．300个人至少有两人生日相同 C．2个人的生日不可能相同 D．2个人的生日很有可能相同 【解答】解：2个人的生日可能相同，可能性比较小．故C，D错误． 一年最多有366天，所以300个人两人生日可能不相同，故B错误． 400个人中至少有两人生日相同，正确．故选A． 7．为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：列树状图如图： 共有6种情况，其中恰好1男1女的结果为共4种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选：D． 8．“二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　） A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2 【解答】解：由题意知，估计黑色部分的总面积为4×4×0.45＝7.2（cm2）， 故选：D． 9．以下说法合理的是（　　） A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B．抛掷一枚普通的正方体骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6 C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定有2张中奖 D．在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为0.48和0.51 【解答】解：A、10次抛图钉的试验太少，错误； B、概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误； C、概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误； D、根据频率的统计定义，可知正确． 故选：D． 10．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数﹣1，1，2，随机摸出一个小球（不放回），其数记为p，再随机摸出另一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2﹣px+q＝0有实数根的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，列表为 ﹣1 1 2 ﹣1 ﹣1，1 ﹣1，2 1 1，﹣1 1，2 2 2，﹣1 2，1 ∵通过列表可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2﹣px+q＝0有实数根的有3种情况， ∴P满足关于x的方程x2﹣px+q＝0有实数根． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数可能是 　15　 个． 【解答】解：设袋子中黄球的个数为x个， ， 解得x＝15， 即袋子中黄球的个数可能是15个． 故答案为：15． 12．从单词“mathematics”中随机抽取一个字母，字母“a”出现的概率是 　　 ． 【解答】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母a有2个， ∴抽中字母a的概率为． 故答案为：． 13．如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为　π﹣1　 ． 【解答】解：图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积， 而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， 所以阴影部分的面积为12﹣[12﹣π×（）2]×2π﹣1， 正方形的面积为1， 故钢针扎在花瓣上的概率为π﹣1． 故答案为：π﹣1． 14．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　24　 个． 【解答】解：由题意，盒中棋子的总个数是624（个）． 故答案为：24． 15．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为奇数的概率是　　 ． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为：． 16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是　　 ． 【解答】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为； 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 【解答】解：用A、B、C分别表示短道速滑、冰壶、冰球三个项目 画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数为3， 所以小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 18．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假设甲乙两人每次都等可能地做这三种手势．用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率． 【解答】解：树状图如下： 共有9种等可能结果，其中乙获胜的结果共有3种， 故乙获胜的概率， 答：乙获胜的概率为． 19．2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【解答】解：（1）∵红球有2x个，白球有3x个， ∴P（红球），P（白球）， ∴P（红球）＜P（白球）， ∴这个办法不公平； （2）∵2个白球换成红球后，红球有（2x+2）个，白球有（3x﹣2）个， ∴P（红球），P（白球），x为正整数， ∵用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的， ∴2x+2＝3x﹣2， 解得x＝4， ∴袋子中原来有红球8个，白球12个． 20．经过某路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个路口． （1）求甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率； （2）甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的概率是　　 ． 【解答】解：（1）根据题意画图如下： 共有9种等情况数，其中甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的有3种， 则甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率是； （2）根据题意画图如下： 共有27种等情况数，其中甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的有3种， 则P（三辆汽车朝一个方向行驶）． 故答案为：． 21．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平． 【解答】解：（1）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况， ∴P（和小于4）， ∴小颖参加比赛的概率为：； （2）不公平， ∵P（小颖）， P（小亮）． ∴P（和小于4）≠P（和大于等于4）， ∴游戏不公平； 可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛． 号：137455123．将形状和大小都一样的红、白两种颜色的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装有1个红球和1个白球，乙袋装有2个红球和1个白球，现从每个口袋中各随机摸出1个小球． （1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果； （2）有人说：“摸出‘两红’和摸出‘一红一白’这两个事件发生的概率相等．”你同意这种说法吗？为什么？ 【解答】解： （1）列举所有等可能的结果，画树状图： （2）不同意这种说法． 由（1）知，P（两红），P（一红一白）． ∴P（两红）＜P（一红一白）． 24．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图． 请根据图中信息回答下面的问题： （1）参赛作文的篇数共 　100　 篇； （2）图中：m＝　45　 ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 　126　 °； （3）把条形统计图补充完整； （4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率． 【解答】解：（1）参赛作文的篇数共20÷20%＝100（篇）， 故答案为：100； （2）m%100%＝45%， ∴m＝45， 扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：360°126°， 故答案为：45，126； （3）八年级参加的作文篇数为：100﹣20﹣35＝45， 补全的条形统计图如图所示； （4）设七年级的那一篇记为A，八年级和九年级的三篇记为B， 树状图如图所示： 由上可得，一共有12种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种， 故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $