第1章 二次函数综合卷(B) 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习综合卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次命题，融合科技情境（如弹射飞机轨迹）与生活实例（燃气灶燃气量），考查抽象能力、模型意识及推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数对称轴（题1）、实际应用（球的高度题2）、图像性质（题3）|结合生活场景（燃气灶节能角度题6）| |填空题|6/18|函数求值（题11）、抛物线应用（隧道高度题12）、新定义“Y函数”（题14）|创新概念考查（Y函数与x轴交点）| |解答题|8/72|表达式求解（题17）、利润最值（题19）、弹珠轨迹（题20）、飞机飞行（题22）|科技情境综合应用（弹射飞机运动建模）|

二次函数综合卷(B) 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是y轴，那么这个函数是 ( ) A. B. C. D. 2.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式 那么球弹起后又回到地面所花的时间t是 ( ) A.5s B.10s C.1s D.2s 3.若抛物线 与y轴的交点坐标为(0，-3)，则下列说法中，不正确的是 ( ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1 C.当x=1时,y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0) 4.在平面直角坐标系中，二次函数. (m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有 ( ) A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 5.如图，抛物线 过点(-3，1)，对称轴为直线x=-2，下列结论中，错误的是( ) A. a<0 B.9a-3b+c=1 C. a-b+c=1 D. b=-4a 6.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m³)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0°<x≤90°)近似满足函数关系 如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为 ( ) A.18° B.36° C.41° D.58° 7.坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点P，Q皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A,B,C,D四点,各点位置如图所示,若AB=10,BC=5,CD=6,则PQ的长为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 8.已知二次函数y=(x-p)(x-q)+2,若m,n是关于x的方程((x-p)(x-q)+2=0白的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是 ( ) A. m<p<q<n B. m<p<n<q C. p<m<n<q D. p<m<q<n 9.已知点(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)都在抛物线 上,x₁,x₂,x₃为△ABC的三边长,且 若对所有的正整数x₁，x₂，x₃都满足 则b的取值范围是( ) A. b>-2 B. b>-3 C. b>-4 D. b>-5 10.已知抛物线 (其中a,b,c是常数,a>0)的顶点坐标为 下列结论： ①若m>0,则a+2b+6c>0; ②若点(n,y₁)与 在该抛物线上，则当 时,y₁<y₂; ③关于x的一元二次方程 有实数解。 其中正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(每题3分，共18分) 11.若关于x的二次函数 的图象经过点(1，-2)，则a的值为 。 12.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12m、高6m。车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 m。 13.已知二次函数 当 时，函数的最小值为1，则a的值为 。 14.规定：若两个函数y₁，y₂的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”。例如：函数 与 的图象关于y轴对称，则y₁，y₂互为“Y函数”。若函数y= (k为常数)的“Y函数”的图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的表达式为 。 15.已知关于x的二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)。若2<m<5,则a的取值范围是 。 16.如图，抛物线 与y轴相交于点A，与过点A且平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象限)。抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D。平移抛物线，使其经过点A，D，则平移后的抛物线的函数表达式为 。 三、解答题 (共72分) 17.(6分)如图,抛物线 与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点,交y轴于点E。 (1)求此抛物线的函数表达式。 (2)若直线y=x+1与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点F,连结DE,求△DEF的面积。 18.(6分)新定义:[a,b,c]为二次函数. ,a≠0，a,b,c为实数)的“图象数”，如： 的“图象数”为[-1,2,3]。 (1)二次函数 的“图象数”为 。 (2)若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值。 19.(8分)某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(t)之间存在二次函数关系. bx。当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6。 信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(t)之间存在正比例函数关系y=0.3x。 根据以上信息，解答下列问题： (1)求二次函数的表达式。 (2)该公司准备购进A，B两种产品共10t，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少? 20.(8分)某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏(无盖正方体箱子放在水平地面上)。现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系(x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG为箱子正面示意图)。某同学将弹珠从A(1，0)处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L: 的一部分，已知抛物线经过点(-2,3),DE=2m,AD=5m。 (1)求抛物线L的表达式和顶点坐标。 (2)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由。 21.(10分)已知抛物线 的顶点为A，抛物线的顶点为B，其中m≠-2，抛物线C₁与C₂相交于点P。 (1)当m=-3时，在所给的平面直角坐标系中画出C₁，C₂的图象。 (2)已知点C(-2,1),求证:A,B,C三点共线。 (3)设点P的纵坐标为q，求q的取值范围。 22.(10分)根据以下素材，探索完成任务。 素材1：如图1所示为某科技兴趣小组的同学们做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集的数据得知，飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数表达式为x=3t，飞行高度y(m)随飞行时间t(s)的变化满足二次函数关系，其数据如下表所示。 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 素材2：如图2所示为兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知 问题解决： 任务1：求y关于t的函数表达式。 任务2：当飞机落地(高度为0m)时，求飞机飞行的水平距离。 任务3：当飞机落到AB内(不包括端点A，B)，求发射台弹射口高度(结果保留整数)。 23.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A，与直线 相交于点B，点A关于直线 的对称点为C。 (1)若抛物线 经过原点，求m的值。 (2)点C的坐标为 ，用含m的代数式表示点B到直线AC的距离为 。 (3)将且的函数图象记为图象G，图象G关于直线x= 的对称图象记为图象H。图象G与图象H组合成的图象记为图象M。 ①当图象M与x轴恰好有三个交点时，求m的值。 ②当△ABC为等腰直角三角形时，直接写出图象M所对应的函数值小于0时，自变量x的取值范围。 24.(12分)已知抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(m,0)两点,与y轴交于点C(0,5)。 (1)求b,c,m的值。 (2)如图1，D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标。 (3)如图2,M是抛物线的顶点,将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标。 1. C 2. D 3. C 4. D 【解析】将(0,6)代入. 得6 解得 。∵对称轴在y轴左侧,∴m>0。∴m=3。∴y=x²+3x+6。∴二次函数有最小值为 故选D。 5. D 6. C 7. B 【解析】∵AB=10,BC=5,∴AC=AB+BC= 15。 ∵BC=5,CD=6,∴BD=BC+CD=11。 ∴PQ=xQ-xp= 故选B。 8. C 9. D 10. C 【解析】①∵抛物线. (其中a,b,c是常数，a>0)顶点坐标为 ∵m>0,∴4c-a>0。∴4c>a>0。 ∴c>0。∴6c-a=2c+4c-a>0。∴a+2b+6c> 0。故①正确。②∵顶点坐标为 ∴点(n，y₁)关于抛物线的对称轴 的对称点为(1-n,y₁)。∴点(1-n,y₁)与 在该抛物线上。 ∴1-n ∵a>0,∴当 时，y随x的增大而增大。 故②正确。③把顶点坐标(\frac{1}{2},m)代入抛物线 中，得 ∴一元二次方程 中，Δ=b²-4ac+ -4a。∵b=-a,∴△=-4a<0。∴关于x的一元二次方程 无实数解。故③错误。故选C。 11.-1 12.3 【解析】，∴图象开口向下，顶点坐标为(-1，4)。当y=1时, ∴当 时，函数的最小值为1。 14. y=2x-3或 【解析】由题意得，函数 的“Y函数”为 2(k-1)x+k-3。①当k=0时,y=2x-3,符合题意。 ②当k≠0时, 解得k 综上所述，其“Y函数”的表达式为y=2x-3或. 15.-5<a<-2或 17.(1)∵抛物线经过A(-1,0),B(3,0), ∴抛物线的函数表达式为 (2)根据题意得 解得 ∴D(4,5)。对于直线y=x+1,当x=0时,y=1,∴F(0,1)。对于 当x=0时,y=-3,∴E(0,-3)。 ∴EF=4。过点D作DM⊥y轴于点M,则DM=4。 (2)二次函数的表达式为 根据题意得， 解得 19.(1)由题意得 解得 (2)设A种产品购进x(t),则B种产品购进(10-x)t,销售这两种产品所获得的利润之和为W(万元)，则 。∴x=6时,W有最大值6.6。∴10-6=4(t)。∴A,B两种产品的进货量分别为6t和4t时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元。 20.(1)把点A(1,0),(-2,3)代入. 得 解得 ∴抛物线L的表达式为 ∴顶点坐标为(-1,4)。 (2)弹珠能弹出箱子。理由如下:∵AD=5m,OA=1m,∴OD=4m。∴D(-4,0)。当. =0时，解得 ∴弹珠第一次落地点为(-3,0)。设抛物线M的表达式为y=-(x-把点(-3,0)代入,得 解得 舍去)或 ∴抛物线M的表达式为 当.x=-4时 又 ∴弹珠能弹出箱子。 21.(1)当m=-3时，抛物线 列表如下： x -5 -4 -3 -2 -1 y -4 -1 0 -1 -4 抛物线 列表如下： x -3 -2 -1 0 1 y -2 1 2 1 -2 ∴C₁,C₂白的函数图象如图所示。 m-1,∴A(m,m+3),B(-m-4,-m-1)。设直线AB的函数表达式为y=kx+b。 将A(m,m+3),B(-m-4,-m-1)代入.y=kx+b得 ①-②得:2m+4=(2m+4)k,∴2(m+2)=2(m+2)k。∵m≠-2,∴k=1。把k=1代入①得b=3, ∴直线AB的函数表达式为y=x+3。当x=-2时,y=1。 ∴C(-2,1)在直线AB上,即A,B,C三点共线。 ③-④得(x++4=0,∴(2x+5)(2m+4)=0。∵m≠-2,∴x= 把 代入③得 点P的坐标为 22.任务1：设y关于t的函数表达式为 将(0,0),(2,10),(4,16)代入,得 解得 任务2:由x=3t,得 将 代入 6t,得 令 解得 (舍去), ，∴飞机飞行的水平距离为36m。任务3：设发射台弹射口高度为c(m)，则此时飞行轨迹的表达式为 当x=AP=42时 解得c=14。当x 时， 解得c=18。∴14<c<18。∵c为整数,∴c=15或16或17。∴发射台弹射口高度为15m或16m或17m。 23.(1)∵抛物线 经过原点， 解得 ∵m>0, (2)∵抛物线 ∴顶点A坐标为(m,4)。∵点A关于直线. 的对称点为C，∴点C的坐标为(0，4)。∴直线AC的函数表达式为y=4。当 时， ∴点B到直线AC的距离为 故答案为：((0,4), (3)①当图象M与x轴恰好有三个交点时，点 B 在x轴上，且点 ∴o (舍去)。②如图所示,∵△ABC为等腰直角三角形， A(m,4),C(0,4),(m>0), (不合题意，舍去)。∴抛物线的函数表达式为 当y=0时,( +4,∴x₁=0<m₂=1(不合题意,舍去), ∴图象G与x轴的交点为(4，0)，且图象G关于直线 的对称图象记为图象H。∴图象H与x轴的交点为(-2,0)。∴图象M与x轴的交点为(-2,0)与(4,0)。∵图象M所对应的函数值小于0,∴x<-2或x>4。 24.(1)把A(-1,0),C(0,5)代入 得 解得 ∴∴抛物线的表达式为 令y=0,则 解得x₁=5,x₂=-1,∴B(5,0)。∴m=5。 ∴对称轴为直线x=2。设 ∵DE∥x轴,∴E(4-x,-x²+4x+5)。∵DG∥y轴,EF⊥x轴,∴四边形DEFG是矩形。∴四边形DEFG的周长 。∴当x=3时,四边形DEFG的周长最大。∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(3,8)。 (3)如图，过点C作CH⊥对称轴于点H，过点N作NK⊥y轴于点K,∴∠NKC=∠MHC=90°。由翻折得CN=CM,∠BCN=∠BCM。∵B(5,0),C(0,5),∴OB=OC。∴∠OCB=∠OBC=45°。∵CH⊥对称轴,∴CH∥x轴。∴∠BCH=45°。∴∠BCH=∠OCB。∴∠NCK=∠MCH。∴△MCH≌△NCK(AAS)。∴NK=MH,CK=CH。 9,∴对称轴为直线x=2,M(2,9)。∴MH=9-5=4,CH=2。∴NK=MH=4,CK=CH=2。∴N(-4,3)。设直线BN的表达式为y= mx+n, 解得 ∴直线BN的表达式为 设.P(2,p),∴PQ²= ①当∠BQP=90°时,BP²解得p ∴点P的坐标为 ②当∠QBP=90°时, 解得p=-9,∴点P的坐标为(2,-9)。综上所述,所有符合条件的点P的坐标为 或(2,-9)。 学科网（北京）股份有限公司 $