第1章 二次函数 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

时，可设函数表达式为y=ax(x十l)(a>0), 由图象经过点（是，）， 得--a×(-)×(-是+1)，解得a=1, 则函数表达式为y=x2+x; 当图象与x轴的另一交点在x轴正半轴上，即为(1,0)时， 可设函数表达式为y=ax(x一l)(a<0), 由图象经过点（是，）》， 得-}-a×(-)×(-2-),懈得a=日 1 1 则函数表达式为y=一3x2+3x. 综上，该二次函数表达式为y=+x或y=了2十号x 1 6.因为x2+(3一mt)x一3mt=(x一mt)(x+3)=0,所以一 元二次方程x2+(3-mt)x一3mt=0的两根分别为mt 和-3，所以二次函数y=x2+(3一mt)x-3mt的图象与 x轴的两个交点间的距离为mt十3. 由题意，得mt十3≥2u女n,则(mt+3)≥(2t十n)2,即 >|A|<|B|曰A2<B2:A<B(B>0)=A2<B (m2-4)t2+(6m-4n)t+9-n2≥0. 由题意，知m2一4≠0，且上式对一切实数t恒成立 所以/m2-4公0， △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0， 所以m>2或C2”所以m>2或m<-2, 4(m-6)2≤0， mn=6. 因为m,n为正整数，所以m=3或m=6, (n=2 ln=1. 知识拓展解绝对值不等式常用方法：平方法，适用于单 个或两个绝对值、A<|B|型；分段法，适用于多个绝对 值相加或相减的复杂不等式： 第1章提优测评卷 1.D2.B3.B 4D[解析]如图，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 x=1,则点P关于对称轴的对称点为点P'(4,m).若m< n,则点Q在PP'上方时符合题意，故t<一2或t>4.故 选D. (第4题) 5.D 6.A[解析]，银行一年定期储蓄的年利率是x,∴.两年后 的本息和y与年利率x之间的表达式是y=500(1+ x)(1+x)=500(1十x)2.故选A. 7.B[解析]对于二次函数y=kx2-2x十c,当y<0时，-1 <x<2,.函数与x轴的交点为（一1,0）和(2,0)，且开口 向上，∴y=kx2一2x十c的图象对应选项D. .二次函数y=kx2十2x十c与二次函数y=kx2一2x十c 关于y轴对称，∴选项B中图象可能为y=kx2十2x十c的 图象.故选B. 8.A[解析]由表格可知，二次函数y=a,x2十bx(a≠0)的图 答案6D详解 象的对称轴为直线工=，2=1.：当工=一3时，y=15, 2 ∴.当x=5时，y=15,.二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图 象与直线y=15的交点横坐标为一3或5，∴.关于x的方 程ax2十bx=15的解为x1=-3,x2=5.故选A 9.C[解析]抛物线y=x2一2bx十c的对称轴为直线x= -碧=-6点1).(9)在抛物线y=2十 c上，且存在p>q,.存在|x1一b|>|x2-b1.:b-1< x1<b,2<x2<3,.|x2-b|<1,即-1<x2-b<1,.1 <b<4.故选C. 1Q.B[解析：抛物线的对称销为直线x=一分，且抛物线 与x轴的一个交点坐标为（一2,0）， .抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0). 把(-2,0)，(1,0)代人y=ax2+bx十c(a≠0)， 4a-2b+c=0解得 得 b=a, a+b+c=0, c=-2a, .2a十c=0,故②正确； ,抛物线开口方向向下，a<0, .b=a<0,c=-2a>0,∴.abc>0,故①错误； :am+m=am2+am=a(n+2）°-子a,}a 20)=a-2a)=-子， ∴am2+bm-子a-2b)=a(m+2)月 1 又a<0,m≠-}，a(m+2)》'<0, 1 即am2+bm<4(a-2b)(其中m≠- ），故③正确： 1 “抛物线的对称轴为直线x=一2，且抛物线开口向下， ∴当x>-号时，y随x的增大而减小 ,>>1八号y<放④错误放谁B - 12150[解析]设房价提高x个10元(0≤x≤5，x为整 数)，则房价为(120+10x)元，日均入住数为(150一8x) 间，日营业收入y=(120十10x)(150-8x)=-80x2+ 540x+18000, .该二次函数a=一80<0，开口向下，对称轴为直线 b 540 x=-2a=-2×(-80)=3.375, .0≤x≤5，且x为整数， 当x=3时，y=-80×9+540×3+18000=18900; 当x=4时，y=-80×16+540×4+18000=18880, 18900>18880, ,.当x=3时，y最大，此时房价为120+10×3=150（元）. 13.一30[解析]抛物线y=2(x一3)2+m向右平移3个单 位，再向上平移1个单位后，所得抛物线表达式为y= 2(x-3-3)2+m十1=2(x-6)2+m+1,把(2,3)代入 y=2(x-6)2+m十1，得2×(2-6)2+m+1=3, .m=-30. 14.-2<x<6[解析]二次函数y=一x2+4x十m的图象 开口向下，对称轴为直线x=一2-2 25拿 实验班提优训练数学九年级上ZY ,当一3<x<一2时，它的图象位于x轴的下方；当5< x<6时，它的图象位于x轴的上方， ∴当6<x<7时，它的图象位于x轴的下方，当一2< x<一1时，它的图象位于x轴的上方， ∴.二次函数y=一x2+4x十m的图象与x轴的交点坐标 为(6,0)和(-2,0)， ∴.一x2+4x十m>0的解集是一2<x<6, 15.②⑤[解析].抛物线的图象开口向下，∴.a<0. b “抛物线对称轴为直线x=一2a=1, ∴b=-2a>0,即2a十b=0,∴.②正确； ,抛物线与y轴的交点在x轴上方，c>0. .a<0,b>0,c>0,.abc<0,.①错误； ,抛物线对称轴为直线x=1,∴.函数的最大值为a十b十c, .a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm， .③错误； ·抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为 直线x=1, ∴抛物线与x轴的另一个交点在（一1,0）的右侧， .当x=-1时，y<0,a-b十c<0,.④错误； .axi+bx1=ax2+bx2,.axi+bx-axi-bz2=0, a(x1十x2)(x1-x2)十b(x1-x2)=0, .(x1-x2)[a(x1+x2)十b]=0. ”x1≠x2.a(x1十x)+b=0,即x1十x2=- a 6=一2a,1十x2=--2=2,⑥正确 综上所述，正确的有②⑤. 解后反思本题考查的是二次函数的图象与性质，主要 考查函数图象上，点的坐标特征，要求学生熟悉函数图象与 坐标轴的交，点、顶点等，点的坐标的求法及这些点代表的意 义与函数特征. 16.3<m<4或m>6[解析].A(m-2,a),C(m,a)都在 二次函数y=x2-2nx十3(n>0)的图象上，.二次函数 y=x2-2mx十3的对称轴为直线x=-一2m 2 =n= m-2+m=m-1,∴n=m-1. 2 .n>0,∴.m-1>0,解得m>1. ,m一2<m,∴.A在对称轴左侧，C在对称轴右侧. 在y=x2-2x十3中，令x=0,得y=3, .抛物线y=x2-2mx十3与y轴交点为(0,3)， ∴.(0,3)关于对称轴直线x=m一1的对称点为(2m一2,3). ,b<3,.4<2m一2，解得m>3. ①当B(4,b)在对称轴左侧时， ,y随x的增大而减小，且a<b,∴.4<m一2， 解得m>6,此时m满足的条件是m>6; ②当B(4,b)在对称轴右侧时，.a<b,∴.B(4,b)到对称 轴直线x=m一1距离大于A(m一2，a)到对称轴直线 x=m一1的距离， ∴.4-(m-1)>m-1-(m-2),解得m<4,此时m满足 的条件是3<m<4. 综上所述，m的取值范围是3<m<4或m>6. 17.(1)二次函数y=x2-(a+1)x-a的图象经过点N (3,2),.2=32-(a+1)X3-a,解得a=1, .y=x2-2x-1=(x-1)2-2, ∴，该函数图象的顶点坐标为(1，一2).故a的值为1，该二 26 次函数的顶点坐标为(1，一2) (2),y=x2-2x-1=(x-1)2-2,.当y=2时，则 (x-1)2-2=2,解得x=3或x=-1. 抛物线开口向上，∴.当y>2时，x<-1或x>3. 18.(1)由题意，得y=(x-1)2-2=x2-2x+1-2=x2 2x一1，.平移后图象的表达式为y=x2一2x一1.画 图略. (2)当y=0时，x2-2x-1=0, 解得x1=1-√2，x2=1十√2， .平移后的图象与x轴交于两点，其坐标分别为(1一√2， 0)和(1十√2,0). 二次函数的图象开口向上，∴.当x<1一√2或x>1+ √2时，二次函数y=x2-2x一1的函数值大于0. 19.(1)将点(2,0)，(1，-3)代入y=-x2+2mx十n,得 仁4什m十n=0,。解得m=3, -1+2m+n=-3, n=-8, 此抛物线的函数表达式为y=一x2十6x一8. (2)把P(2,0)代人y=-x2+2mx+n,得-4+4m+n= 0,则n=4-4m,y=-x2+2mx+4-4m,对称轴为直 2m 线x=一2X-Dm.当m>6时，则当x=6时，取到 最大值9，.-36+12m十4-4m=9,即8m-32=9,解得 m-智<6，不合题意，合去： 当2≤m≤6时，则当x=m时，取到最大值9，.一m2十 2m2+4-4m=9,即m2-4m-5=0,解得m=5或-1 (舍去)，.m=5; 当m<2时，则当x=2时，取到最大值9，而当x=2时， y=0,矛盾，不符合题意，舍去 综上，m的值为5. 20.(1)直线y=x十m经过点A(1,0), ∴.将点A的坐标代入，得0=1十m,解得m=-1, 直线的表达式为y=x一1. ,抛物线y=x2+bx十c经过点A(1,0),点C(0,3), 将点A,C的坐标代入，得0=1+b十c, 3=c, 解得亿=。4抛物线表达式为y=x2一4红十3. c=3, (2)联立直线表达式y=x一1和抛物线表达式y=x2 4x十3， 得i+ 解得任或红=4B(4,3). ly=01 y=3, 如图，取点A关于y轴的对称点A',连结AP,A'B,AB 交y轴于点P,则A'(一1,0)，AP=A'P,此时△PAB的 周长最小，设直线A'B的表达式为y=x十d(k≠0)， >将军饮马模型 将点A',B的坐标代入，得3=十d, l0=-k+d, 3 k=5' 解得 3 直线A'B的表达式为y=亏x+5 3 3 d=5' 令x=0,得y=号，即P(0,号)， ∴.AB=√(4-1)2+(3-0)2=3√2， A'B=√[4-(-1)2+(3-0)2=√34， ∴.此时△PAB的周长=BP十AP+AB=BP+A'P+ AB=A'B+AB=34+3√2 A'0 (第20题) (3)A(1,0),B(4,3), .不等式x2十bx十3>x+m的解集为x≤1或x≥4. 21.(1)根据题意，得S=x(24一4x)=一4x2+24x, .0<24-4x≤≤8，∴.4≤x<6. ∴.S与x之间的函数关系式为S=一4x2+24x(4≤x<6)】 (2)当花圃面积为20m2时，即S=20,将S=20代入 S=-4x2+24x,得-4x2+24x=20, 解得x1=5,x2=1(舍去)，∴AB的长为5m (3)S=-4x2+24x=-4(x2-6x)=-4(x-3)2+36 ,4≤x<6,a=-40,.当x=4时，S有最大值为32m2.故 当x取4时，所围成的花圃的面积最大，最大面积是32m. 22.(1)由题意可知，对称轴为直线x=3.5, b 2a °=3.5， 解得a=-0.08.故a的值为-0.08. (2)由题意，令y=-0.08x2十0.56x十2.57=3.05，化 简，得x2-7x十6=0， 解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=6.故m的值为6. 23.(1)①当m=1时，y=-x2+4x+5. ②.y=-(x-2)2+9, .抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2, ·抛物线上的点离对称轴越远函数值越小 ①0≤n≤2时，当x=0时，函数值最小为一(0一2)2+ 9=5;当x=n时，函数值最大为-(n-2)2+9, 则一(n-2)2+9-5=3,解得n=1或n=3(舍去)； ②当2<n≤4时，当x=0时，函数值最小为-(0-2)2十 9=5;当x=2时，函数值最大为9，则9一5=4≠3，不符 合题意； ③当n>4时，当x=n时，函数值最小为-(n一2)2+9； 当x=2时，函数值最大为9，则9-[一(n一2)2+9]=3， 解得n=2士√3，均不满足n>4,故舍去， 综上，n=1. (2):y=-mx2+4mx+m+4(m>0), Am ∴.抛物线的开口向下，对称轴为直线x=一 =2, -2m ,抛物线上的点离对称轴越远函数值越小 .A(t,y1)和B(3,y2)是抛物线y=-mx 2+4mx+m+ 4(m>0)上的两个点，且y1>y2, ∴.t-2<3一2，解得1<t<3, 24.(1)①③ (2)设一x2+2x=0,解得x1=0,x2=2, 则抛物线y=一x2十2x与x轴的交点坐标为(0,0)和 (2,0). 画出二次函数y=一x2+2x的大致图象，如图(1)所示： y↑ (1) 答案6D详解 由图象可知，当0<x<2时，函数图象位于x轴上方，此 时y>0,即-x2+2x>0. .一元二次不等式-x2+2x>0的解集为0<x<2. (3)①任意实数一4[解析]自变量x的取值范围是任 意实数；当x=-1时，y=-(-1-1)×(|-1|-3)= 一4，即m=一4. ②画出图象如图(2)所示： īī6 4 12引 -6-5-44-32-10l 23升415161 -6 (2) (第24题) ③由图象可知，当-3≤x≤-2或0≤x≤1或3≤x≤4 时，函数图象位于y=一3与y=0之间，此时一3≤y≤0， 即-3≤-(x-1)(|x|-3)≤0， ∴.不等式-3≤-(x-1)(x|-3)≤0的解集为-3≤x ≤一2或0x≤1或3≤x≤4， 第2章 随机事件的概率 2.1随机事件 第1课时随机事件（1) 1.C[解析]在一个只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋 子，摸到一颗白棋是不可能的，因而这是一个不可能事件. 故选C 知识拓属在一定条件下，一定会发生的事件称为必然 事件，在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事 件，必然事件和不可能事件都是确定事件.在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件， 2D[解析]A将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张 牌是红桃5，是随机事件，不符合题意； B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不 符合题意； C.经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事 件，不符合题意； D.在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数， 奇裁×奇数=奇裁，奇数×偶裁=偶裁，← 偶数X偶数=偶数 是必然事件，符合题意.故选D. 3.随机[解析]“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨 的情况，诗句中描述的事件是随机事件. 4.(1)用长分别为4cm,5cm,6cm的三条线段围成一个三角形 >满是三角形三边关系 是必然事件。 (2)在同一平面内，两直线平行，同位角相等是必然事件. (3)他乡遇故知是随机事件. (4)a2十b=一1（其中a,b都是实数）是不可能事件 27拿第1章提优测评卷 答案P25 时间：90分钟 总分：100分 第I卷（选择题 共30分) 一、选择题（每题3分，共30分） 1.对于抛物线y=一(x一2)2十3，下列判断正确的是( A.开口向上 B.对称轴是直线x=一2 数 C.与y轴相交于点(0,3) D.顶点坐标是(2,3) n 2.(2026·台州路桥区期末)抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物 线的表达式是( ). A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x+1)2-3 C.y=2(x-1)2-3 D.y=2(x-1)2+3 3.二次函数y=x2十bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2十bx一m=0有实数根，则m的 最大值为(). A.8 B. 4 C.-4 D.-8 戡 x=-2 (第3题) (第10题) 4.已知二次函数y=x2一2x十c的图象经过点P(一2，m)和Q(t,n).若m<n,则t的取值范围 是( A.t<-2 B.-2<t<4 C.2<t<4 D.t<-2或t>4 5.已知二次函数y=x2一4x十2，关于该函数在一1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是 (). A.有最大值一1，有最小值-2 B.有最大值0，有最小值一1 C.有最大值7，有最小值一1 D.有最大值7，有最小值-2 6.小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年定期存人银行，已知年利率为x,一年到期后银 行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本息和为y元，则y与x之间的函数表 达式为( ). A.y=500(1+x)2 B.y=x2+500 C.y=x2+500x D.y=x2+5x 7.(2025·金华义乌苏溪中学期中)已知二次函数y=x2-2x十c(k,c为常数，k≠0)，当y<0时，一1< x<2,则二次函数y=kx2+2x十c的图象可能为(). 1 8.转化思想(2025·杭州拱墅区华东师大附属杭州学校期中)已知二次函数y=ax2十bx(a≠0)图象上部分点 的坐标(x,y)对应值列表如下，则关于x的方程a,x2+bx=15的解为( -3 0 2 y 15 0 0 A.x1=-3,x2=5 B.x1=-3,x2=3 C.x1=0,x2=2 D.x1=-2,x2=2 9.(2025·杭州拱墅区文晖实验学校期中)在平面直角坐标系中，点(x1,p),(x2,q)在抛物线y=x2一2bx 十c上，若对于b一1<x1<b,2<x2<3,存在>q,则b的取值范围为(). A.b<2 B.1<b<3 C.1<b<4 D.2b<3 10.(2025·温州期末)已知二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经 过点(-2,0，对称轴为直线x=-云·对于下列结论：①ac<0:@2a十c=0:⑧am+bm< 子a一26)关中m≠》，④若A(1y)和B(xy)均在该函数图象上，且x>,≥1，则 y1>y2.其中正确的结论有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（每题3分，共18分） 11.整体思想抛物线y=ax2+bx十2经过点（一2,3），则3b一6a= 12.(2025·宁波慈溪育才中学期中)某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市 场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元、170元）浮动时，每提高10元，日均入住 数减少8间.如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到 元（房价为10的倍 数)时，客房的日营业收入最大 13.将抛物线y=2(x一3)2+m向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好经过点 (2,3),则m的值是 14.(2025·北京十八中期中)二次函数y=一x2十4x十m满足以下条件：当一3<x<一2时，它的图象 位于x轴的下方；当5<x<6时，它的图象位于x轴的上方，那么一x2+4x十m>0的解集是 15.(2025·温州期末)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图所示.有下列结 论：①abc>0;②2a十b=0;③m为任意实数，则a十b>am2十bm;④a-b十 c>0;⑤若ax十bx1=ax2十bx2且x1≠x2,则x1十x2=2.其中正确的有 o 3 (第15题) 16.分类讨论思想(2025·绍兴新昌西郊中学期中)已知二次函数y=x2一2nx十3(n>0),点A(m一2，a), B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3,则m的取值范围是 2 三、解答题（本大题共有8小题，共52分） 17.(6分)(2026·杭州萧山区月考)已知二次函数y=x2一(a十1)x一a的图象经过点N(3,2) (1)求a的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当y>2时，求自变量x的取值范围. 18.(6分)二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个 单位长度， (1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的表达式. (2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？ 4---10 (第18题) 19.(6分)(2025·温州新希望学校期中)已知抛物线y=一x2十2mx十n经过点P(2,0). (1)若抛物线过Q(1,一3)，求此抛物线的函数表达式； (2)当2≤x≤6时，y有最大值9，求m的值， 3 第1章提优测评卷 20.(6分)(2025·江西南昌期末)如图，直线y=x十m和抛物线y=x2十bx十c都经过点A,B,且 A(1,0),点C(0,3)是抛物线与y轴的交点. (1)求两个函数的表达式； (2)在y轴上求点P的坐标，使得△PAB的周长最小，并求出周长的最 小值； (3)直接写出不等式x2+bx十3≥>x+m的解集. (第20题) 21.(6分)新情境数学与生活融合(2025·杭州西湖区期中)如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱 笆，围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为8m.设花圃的边AB为xm,面积为 S m2. (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当花圃面积为20m时，求AB的长. B (3)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ (第21题) 实验班提优训练数学九年级上ZJJY 22.(6分)(2025·杭州月考)如图，一位篮球运动员投篮，球从点A处投出，沿抛物线y=ax2十0.56x 十2.57运动，球运动至点B处达到最高点，此时，水平距离O℃为3.5米. (1)求a的值； (2)已知篮筐中心高度DE为3.05米，投篮出手点A与篮筐中心的水 平距离OE为m米.若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求m 的值， (第22题) 23.(8分)分类讨论思想，(2025·浙江期中)已知关于x的二次函数y=一mx2十4mx+m十4(m>0). (1)当m=1时. ①求该函数的表达式； ②当0≤x≤n时，该函数y的最大值与最小值的差是3，求n的值. (2)若A(t,y1)和B(3,y2)是抛物线y=一mx2+4mx+m+4(m>0)上的两个点，且y1> y2,求t的取值范围. 5 24.(8分)新考法解题方法型阅读理解题请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：x2一2x一3<0. 解：设x2一2x一3=0，解得x1=一1，x2=3,则抛物线y=x2一2x一3与x轴的交点坐标为 (一1,0)和(3,0).画出二次函数y=x2一2x一3的大致图象（如图所示）.由图象可知，当一1< x<3时函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x2一2x一3<0.所以一元二次不等式x2一2x -3<0的解集为-1<x<3. 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 （只填序号). ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想， (2)用类似的方法解一元二次不等式：一x2+2x>0. (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y=一(x一1)(x一3)的图象和性质进行了 探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量x的取值范围是 ;x与y的几组对应值如表，其中m= x -4-3-2-101 2 3 4 … y…50-3m -301 0-3… ②如图，在平面直角坐标系中画出函数y=一(x一1)(|x|一3)的图象； ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：一3≤一(x一1)(x一3)≤0. 6 34 3 -6-5-4-3-2-0123456 2 (第24题) 6