第4章 圆的再认识 单元卷 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦圆的再认识，覆盖圆的性质、位置关系、切线、内接多边形等核心知识点，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|弦的性质（1）、直线与圆位置关系（3）、内切圆（7）|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|6/18|弧长公式（12）、内接正六边形与正方形（13）|公式应用与空间观念结合| |解答题|8/72|垂径定理综合（17）、切线证明（22）、实践课题（24）|分层设计，24题以环山路为情境体现应用意识，综合考查推理与模型观念|

第4章 圆的再认识（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列判断正确的是（　　） A．弦心距相等则弦也相等 B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等 D．弦的垂直平分线必定经过圆心 2、如图，点A，B，C是上的点，四边形是平行四边形，，交于点F，则的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 3、已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 4、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 5、如图，是的直径，是弦，于点，，的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 6、如图，为的切线，为切点，交于点，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 7、如图所示，△ABC的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则△ABC的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 8、如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9、如图，菱形的边长为8，对角线，与边，都相切，，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 10、如图，△ABC中，，点在上，与相切于点，交于点，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、在△ABC中，，是内心，则的度数为_____________. 12、已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为______． 13、已知圆内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的面积为______． 14、如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，，，则的半径为______． 15、 如图，△ABC中，，点在上，，连接，以为直径作，分别与，交于点，，点为的中点，连接，过点作的切线，交于点，则的长为____________. 16、如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2,CD=1,求BE的长． 18、如图，是的直径，，是上的点，，交于点，，，求的半径． 19、如图，△ABC中，，以为直径的分别与，相交于点F，D． （1）求证：； （2）若，连接，，与相交于点E，求证：． 20、如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 21、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB； （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 22、如图，是的直径，是的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23、如图，AB是的直径，点D在直径AB上，，，连接CB，与相交于点F，过点F作的切线EF，交CD于点E． （1）求证：； （2）若点D是OA的中点，，求BF的长． 24、【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且A，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求A，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留）．（参考数据：，，，） —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第4章圆的再认识（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列判断正确的是() A.弦心距相等则弦也相等 B,不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分 C.在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的孤一定相等 D.弦的垂直平分线必定经过圆心 【答案】D 【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误； B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误； C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的孤一定相等，故该选项错误； D、根据垂径定理得到，故该选项正确. 2、如图，点A,B,C是⊙0上的点，四边形ABC0是平行四边形，OF⊥OC,交⊙0于，点F, 则∠BAF的度数为() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【详解】解：连接OB, ○ 四边形ABC0是平行四边形， .OC=AB,又OA=OB=OC, ..OA=OB=AB .△AOB为等边三角形， .:OF⊥OC,OC∥AB， .OF⊥AB .:∠BOF=∠AOF=30° ∠BAF=1∠BOF=150 由圆周角定理 3、已知⊙0的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与⊙0的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 【答案】C —2 【详解】解：⊙0的半径为3，圆心0到直线L的距离为4,4>3， 直线L与⊙0的位置关系是相离， 4、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻 璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是() ③ ④ A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 【答案】B 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心.只要有一段孤，即可确定圆心和半 径 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块， 5、如图，CD是⊙0的直径，AB是弦，CD⊥AB于，点E,∠BCD=60°，⊙0的半径为4，则 AB 的长为（) E D A.25 8.4V2 c.4V5 D.4 3 【答案】C 【详解】解：连接OB, A E D B .·∠BCD=60°，OB=OC .△OBC是等边三角形， .BC=OC=4 .CD⊥AB BE-AE-14B 2 .:∠BCD=60° .∠CBE=30° :.Ec-ac BE=BC2-CE2=3CE=23 .AB=43」 6、如图，PA为⊙0的切线，A为切点，P0交⊙0于，点B,∠P=30°，OB=3,则BP的长为 () 一4 A.3 8.2V5 c.3V5 D.6 【答案】A 【详解】连接OA, R :PA为⊙O的切线， ∴.∠0AP=90°， ,∠P=30°，0B=3, .AO=3,则OP=6, 故BP=6-3=3. 7、如图所示，△ABC的内切圆⊙0分别与AB,BC,，AC相切于点D,E,F,且AD=6,BE=4 ,CF=8,则△ABC的周长为() 0 A.36 B.38 C.40 D.42 5 【答案】A 【详解】解：aABC的内切圆O0分别与AB,BC,ACAC相切于，点D,E,F, .AD=AF,BD=BE,EC=FC, ·AD=6,BE=4,CF=8, ∴.AF=6,BD=4,CE=8, .BC=BE+EC=12,AB=AD+BD=10.AC=AF+FC=14. .△ABC的周长=BC+AB+AC=36. 8、如图，在矩形ABCD中，AB=25,BC=4,以，点A为圆心，AD长为半径画孤交BC于，点E ,连接AE,则阴影部分的面积为() D E A.6V3-8x 3 8.4v3、2π 3 c.6V3、2x 3 D.6v6、8m 3 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC=4, ∴.∠B=∠DAB=90°AD=AE=4 AB=23 6 ÷cos∠BAE=B=V3 AE 2, ∴.∠BAE=30°∠EAD=60° :.BE=14E-2 2 ·阴影部分的面 S=S矩形HBCD-S△ABE-S扇形EAD =23x4-×25×2-60r4 360 =6V3-8 3. 9、如图，菱形ABCD的边长为8，对角线BD=12,⊙O与边AB，AD都相切，AO=3,则 ⊙0 的半径为() 3 9 A.2 B.2 C.4 0.2 【答案】C 【详解】如图，延长AO交BD于点M,过点O作ONLAB, 7 四边形ABCD是菱形，OO与边AB,AD都相切， ∴AM⊥BD, BD=12, .BM=6, ,∠A=∠A,∠ANO=∠AMB, ∴.△AON∽△ABM, A0 ON 3 ON .ABBM,即86， 9 ON= 解得， 4. 10、如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，⊙0与BC相切于点D,交AB于点E,连接 1D,DE,下列结论：①∠B1D=∠C1D;@BE=DE:③4D=AE1C,其中正确的结论是 () B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：如图，连接OD 8 B ⊙O与BC相切于点D, .OD⊥BC, 又∠C=90°， .OD∥AC .∠CAD=∠ODA .OA=OD :.∠BAD=∠ODA .∠BAD=∠CAD,故①正确； ·AE是直径， ∴.∠ADE=∠C=90° .△ADE∽△ACD AD AE ∴.ACAD,即AD2=AE·AC,故③正确， :∠BDE+∠EOD=90°，∠ADO+∠EOD=90° :.∠ADO=∠BDE .∠BAD=∠BDE, 9 若BE=DE .∠B=∠BDE .∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠BAD=2∠BDE .∠B+∠BAC=3∠B=90° ∠B=30°，而题千无此条件， .BE=DE不一定成立，故②错误， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、在△ABC中，∠A=50°，I是内心，则∠BIC的度数为 【答案】115 详解】如图， A .∠A=50°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-50=130° 点I是△ABC的内心， .∠IBC=2∠ABC,∠ICB=2∠ACB, ∴.∠IBC+∠ICB=2(∠ABC+∠ACB)=65°， ∴.∠BIC=180°.（∠IBC+∠ICB)=115° —10 故答案是：115° 12、已知120°的圆心角所对的孤长是4兀，则此孤所在圆的半径为一 【答案】6 【详解】由题意，圆心角n=120°，孤长1=4π，代入孤长公式： 4π= 120×π×r 180, 2 4元23 πr 2 4= 3 r=4× 2 =6 解得： 故答案：6 13、已知圆内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的面积为 【答案】32 【详解】解：如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA,OB, 1 ∠AOB=二×360°=60° 则 6 11 又OA=OB, △AOB是等边三角形， :.OA=OB=AB=4，即圆的半径为4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，连接OB，OC, D 09------ B ∠B0C=x360=90° 4 又OB=OC=4, .BC=V0B2+0C2=42, 即该圆的内接正方形的面积为4V2×4V2=32, 故答案为：32 3 14、知图，AB是O0的立径，CD是孩，AB1CD,垂足为点B,BD=6,am∠BDC 4,则 ⊙0 的半径为 B D 12 【答案】5 【详解】解：如图，连接AC, :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° AB⊥CD,垂足为，点E,BD=6, ..BC=BD=6 BC=BC, .∠BDC=∠BAC, tan∠BDC=tan∠BAC=3 4, AC=_ BC tan∠BAC =8 .AB=VAC2+BC2=V82+6=10 ⊙0的半径为5 故答案为：5 15、如图，△ABC中，BC=8，,点D在AB上，BD=5,连接CD,以CD为直径作⊙O,分别 —13— 与AC,BC交于，点E,F,点F为BC的中，点，连接DF,过点F作OO的切线FG,交AB于 点G,则FG的长为 C DG 12 【答案】5 【详解】如图，连接OF C E DG B 点F是BC中点， 1 ∴.CF=BF=2BC-4, .CD是⊙O的直径， ∴.∠CFD=90°， ..CD-BD=5, :DF=VCD2-CF3,∠OCT=∠B, .OC-OF, ∴.∠OCF=∠OFC —14— ∴.∠OFC=∠B, 点F是BC中，点，点O是CD中点， .OF∥AB, .∠OFD=∠GDF, FG是⊙0的切线， .∠0FG=90°， ∴.∠OFD+∠DFG=90°， ∴.∠FDG+∠GDF=90°， ∴.∠FDG=90° .FG⊥AB, 1 ∴.SABDF=2DF×BF=2BD×FG, DF×BF3×4_12 ..FG=BD 55, 12 故答案为5. 16、如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4),以，点C为圆心圆与y轴相切.点A、B在x轴 上，且OA=OB.点P为⊙C上的动，点，∠APB=90°，则AB长度的最大值为一 —15— 【答案】16 【详解】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P,以O0为圆心，以OP为半径作⊙0，交x轴于A 、B, 此时OP最大 1 OP=三AB 2 ,则AB的长度最大， A B .C(3,4) :0C=V32+42=5 以，点C为圆心的圆与y轴相切 .⊙C的半径为3， ..OP=OA=OB=8 16 AB是直径， ·.∠APB=90°， .AB长度的最大值为16， 故答案为16. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分，22-24，每题11分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB-2V7,CD=1,求BE 的长. 【答案】6 【详解】半径OC垂直于弦AB, ..AD-DB=2 AB=V7 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2，即OA2=(OA-1)2+(V7)2, 解得，OA-4 ∴.OD=OC-CD=3, —17 .AO=OE,AD=DB, ∴.BE=2OD=6, ∴.BE的长是6. 18、如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的，点，OD∥BC,交AC于，点E,AC=4N2, DE=2，求 ⊙0 的半径. 0 E B 0 【答案】3 【详解】解：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90° OD∥BC, .∠AE0=∠ACB=90°， .OD⊥AC, 4E=40=x4w5-25 2 2 设⊙0的半径为r, ·DE=2, —18— ..OE =OD-DE=r-2. Rt△AOE中，AO=OE+AE」 户=0-2+(22列 r=3 .⊙0的半径为3. 19、如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0分别与BC,AC相交于点F,D. (1)求证：BF=DF; (2)若∠BAC=45°，连接AF,BD,AF与BD相交于，点E,求证：AE=BC. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【小问1详解】 AB是直径， .∠AFB=90°， ..AB=AC, .∠BAF=LCAF, —19 .BF=DF 【小问2详解】 :AB是直径， .∠ADB=90° .∠ABD=∠BAD=45° .AD=BD, .·∠C+∠CBD=90°，∠C+∠CAF=90° ·.∠CAF=∠CBD ∠ADE=∠BDC=90°，∠CAF=∠CBD,AD=BD :△ADE=BDC(AAS) .AE=BC 20、如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠I=∠2，延长BC到，点E,使得CE=AB,连接ED. (1)求证：BD=ED; (2)若AB=4,BC=6,∠ABC=60°，求tan∠DCB的值. A 0 .0 B E -20 5V5 【答案】(1)见详解；(2)3 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是圆的内接四边形， .∠A+∠BCD=180° .·∠DCE+∠BCD=180° .∠A=∠DCE ∠1=∠2， .AD=CD, .AD=CD AB=CE 在 和 中， ∠A=∠DCE △ABD△CED AD=CD :△ABD≌△CED(SAS), .BD=ED (2)解：如图，过点D作DM LBE,垂足为M. D .o E ·BC=6,AB=CE=4, -21- .BE=BC+CE=10 由(1)知BD=ED BM=EM=IBE=5 .·CM=BC-BM=1 ∠ABC=60°，∠1=∠2， .∠2=30° .DM-BM.tan 305x 33· :tan∠DcB=DM-5V5 CM3· 21、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于，点D,∠ABC的平分线交AD于点E. (I)求证：DE=DB; (2)若∠BAC=90°，BD=4,求△ABC外接圆的半径. 【答案】()证明见详解(2)2√2 【详解】：(I)证明：：AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD. —22— 又，∠CBD=∠CAD, ∴.∠BAD=∠CBD. .BE ∠ABC, 平分 .∠CBE=∠ABE. ∴.∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD. .∠DEB=∠ABE+∠BAD, ∴.∠DBE=∠DEB,∴.DE=DB (2)连接DC,:∠BAC=90, ..BC .∠BDC=90°. 是直径 .AD ∠BAC, 平分 BD=4, ∴.BD=CD=4. ..BC=42. .半径为22 22、如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中，点，过，点C作CE⊥AD,交AD的延长线于，点E. E D (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)若BC=6,AC=8,求DE的长 18 【答案】(1)见详解 (2)5 23— 【小问1详解】 连接0C, D C是BD的中，点，即CD=CB, ∠DAC=∠BAC、 .OA=OC .∠OCA=∠OAC, ·.∠DAC=∠OCA, .AE∥OC, .∠0CE=180°-90°=90°，即0C⊥CE, .CE是⊙0的切线 【小问2详解】 解：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， .∠E=∠ACB=90° .·∠EAC=∠CAB, —24 .△AEC∽△ACB, EC AC .CB AB. AB=AC2+BC2=82+62=10 EC=6×824 105, ·CD=CB, ..CD=BC=6, 18 .DE=CD2-CE2三62-= 5 23、如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上，CD⊥AB,CD=AB,连接CB,与⊙O相交 于点F,过，点F作⊙O的切线EF,交CD于，点E. D E/ (1)求证：EF=EC; (2)若，点D是OA的中，点，AB=4,求BF的长. 12 【答案】(1)见详解 (2)5 【小问1详解】 -25 连接OF, ·EF是圆切线， .OF⊥EF, .∠BFO+∠CFE=90°， ·CD⊥AB ∠B+∠C=90° OB=OF, .∠B=∠BFO LCFE=ZC ..EF=EC D E B 【小问2详解】 连接AF, :AB是⊙0的直径， .∠AFB=90° 0D=AD-0A=4B=x4=1 2 4 4 26— :.BC=VBD2+CD2=V32+42=5 ·∠AFB=∠CDB=90°，∠FBA=∠DBC, .△FBA∽△DBC, BF AB .BD BC, :F=A8D4x32 BC 55 D E B 24、【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度. 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具， 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意 图，休闲步道分别是AB,BC,CD,且A,B,C,D在同一水平面上.经过多次测量，得到 如下数据：AB=BC=7.5km,CD=5km,∠ABC=106.4°，∠BCD=126.8°. 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路（图中虚线部 —27 分)· (1)求A,C两，点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留π），（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60 ,sin73.6°≈0.96，cos73.6°≈0.28) 【答案】(1)12km 13 (2)2 元km 【小问1详解】 解：如图：连接AC.过，点B作BE⊥AC,垂足为，点E. B ·BA=BC, .∠ABE=∠CBE=∠ABC=x106.4°=53.2°EA=EC=AC 2 在Rt△ABE中， in∠ABE=AE AB, AE=ABsin∠ABE=7.5sin·53.2°≈7.5×0.80=6km) ..AC=24E=12(km) A,C两点之间的距离为l2km. -28 【小问2详解】 解：如图：连接AD. ·BA=BC, ,∠BCA=∠BAC=180°-106.4° =36.8° 2 .∠ACD=126.8°-36.8°=90° 在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AC2+CD2=AD2, .AD=V122+52=13(km) ADπ_13」 2π(km） .AD的长22 13 元km 答：待建环山路的长度为2 —29