第1章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第1章一元二次方程单元卷，覆盖概念、解法及应用，基础与能力梯度分明，适配单元复习，助力数学思维与应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|定义、根的判别、应用|第5题矩形绿地问题，体现几何直观| |填空题|6/18|一般形式、根与系数关系|第12题销售利润问题，培养模型意识| |解答题|10/75|解法、推理、综合应用|第20题碳排放增长问题结合社会热点，第25题配方法强化数学思维|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（   ） A．一次项系数是 B．常数项是6 C．是它的一个根 D．是它的一个根 3．（本题3分）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 5．（本题3分）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 9．（本题3分）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）把方程化为一般形式是__________． 12．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 13．（本题3分）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 14．（本题3分）已知，则_________． 15．（本题3分）设、是方程的两个根，则的值为______． 16．（本题3分）在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）用适当的方法解方程： (1) (2) 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 19．（本题10分）已知函数的图象与轴只有一个交点，求的值及该交点的坐标． 20．（本题10分）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 21．（本题10分）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 22．（本题12分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 23．（本题14分）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B A A A B A B C 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11. 12．8 13． 14．4 15．6 16． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，；（4分） （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：，（4分） （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ．（8分） 19．（10分） 【详解】解：当时，，其图象与轴只有一个交点，为；（2分） 当时，的图象与轴只有一个交点， ∴，解得或9；（5分） 当时，，图象与轴只有一个交点，为；（7分） 当时，，图象与轴只有一个交点，为；（9分） 所以当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为.（10分） 20．（10分） 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：，（5分） 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是；（4分） （2）小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根；（2分） （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长；（7分） ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或．（12分） 23．（14分） 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ，（3分） 解得：，（6分） 当时，有游客居住的客房数量是：（间）；（9分） 当时，有游客居住的客房数量是：（间）；（12分） 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（   ） A．一次项系数是 B．常数项是6 C．是它的一个根 D．是它的一个根 3．（本题3分）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 5．（本题3分）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 9．（本题3分）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）把方程化为一般形式是__________． 12．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 13．（本题3分）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 14．（本题3分）已知，则_________． 15．（本题3分）设、是方程的两个根，则的值为______． 16．（本题3分）在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）用适当的方法解方程： (1) (2) 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 19．（本题10分）已知函数的图象与轴只有一个交点，求的值及该交点的坐标． 20．（本题10分）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 21．（本题10分）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 22．（本题12分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 23．（本题14分）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 2．（本题3分）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（   ） A．一次项系数是 B．常数项是6 C．是它的一个根 D．是它的一个根 【答案】D 【详解】解：∵方程化为一般形式为， ∴一次项系数为，常数项为，故A、B正确； 解方程， ， 解得 或 ， ∴是根，C正确； 当时，，故不是根，D错误． 故选：D． 3．（本题3分）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 4．（本题3分）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 【答案】A 【详解】解：， ∴代数式有最小值是2， 故选：A． 5．（本题3分）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得， ． 6．（本题3分）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 7．（本题3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 8．（本题3分）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 9．（本题3分）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 【答案】8 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13．（本题3分）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 14．（本题3分）已知，则_________． 【答案】 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ∴ 即或， 解得， ∵是非负数， ∴． 故答案为：． 15．（本题3分）设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴. 16．（本题3分）在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 19．（本题10分）已知函数的图象与轴只有一个交点，求的值及该交点的坐标． 【答案】当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为 【详解】解：当时，，其图象与轴只有一个交点，为； 当时，的图象与轴只有一个交点， ∴，解得或9； 当时，，图象与轴只有一个交点，为； 当时，，图象与轴只有一个交点，为； 所以当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为. 20．（本题10分）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 21．（本题10分）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 22．（本题12分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 23．（本题14分）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【答案】每间客房的定价应为300元 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $