第17章 因式分解-导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“因式分解”，涵盖提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法三大核心知识点。通过旧知（去括号、整式乘法）引入，对比整式乘法与因式分解的互逆关系，搭建从具体计算到抽象概念的学习支架，帮助学生理解因式分解的意义。 资料以结构化概念教学（如公因式“三看”方法）和分层练习为特色，例题分析细致且步骤规范，培养学生的抽象能力和运算能力。结合实际求值问题与综合检测，提升推理意识和应用意识，适合学生自主学习与教师教学评估，有效落实数学核心素养。

17 因式分解 知识框架： · 提公因式 · 公式法：运用平方差公式因式分解 · 公式法：运用完全平方公式因式分解 一、提公因式法 你还记得去括号的法则吗？ (1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值； (2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值. 解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600 (2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400 我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式. 探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： (1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________. · 因式分解 我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即x2-1(x+1)( x-1) · 公因式 观察下列多项式有何共同特点？ ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b. 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如pa+pb+pc的公因式是p. 说出下列各多项式的公因式： (1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____ (3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____ 找公因式有什么方法呢？ 一看系数　 二看字母　 三看指数 最大公约数　 相同字母　 最低指数 · 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公因式 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式. 分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____. 解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc) 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？2a2b+3b2c 可用整式乘法来检验因式分解是否正确. 例2 把下列名式分解因式. (1) 2a(b+c)-3(b+c) (2) 3x2-6xy+x 解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3) (2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1) (注：1不能漏掉) 练习1 1.把下列各式分解因式： (1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2 (5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2) 2.先分解因式，再求值：4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3. 检测1 1．－9x2y＋3xy2－6xyz各项的公因式是（ ）． A．3yz B．3xz C．－3xy D．－3x 2．（－2）2 011＋（－2）2 012＝（）． A．－22 011 B．－22 012 C．22 011 D．－2 3．把x3＋3x＋c分解因式，得x2＋3x＋c＝（x＋1）（x＋2），则c的值为（）． A．2 B．3 C．－2 D．－3 4．分解因式： （1）3（a－b）2＋6（b－a）； （2）． 二、运用平方差公式因式分解 填空： 1. (x+5)(x-5)=__________；2. (3x+y)(3x-y)=___________；3. (1+3a)(1-3a)=___________ 4. 982-22=____； 5.已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____ 把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 的等号两边互换位置，就得到 运用平方差公式因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 例3 分解因式： (1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2 解：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) 在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2. (x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q) 例4 分解因式： (1) x4-y4 (2) a3b-ab 解：(1) x4-y4=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) (2) a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1) · 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 练习2 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ (1) x2+y2 ( )______________________； (2) x2-y2 ( )______________________； (3) -x2+y2 ( )______________________； (4) -x2-y2 ( )______________________. 2.分解因式： (1) a2-b2 (2) 9a2-4b2 (3) x2y-4y (4) -a4+16 作业1 （1）下列多项式能用平方差公式分解的因式有（ ）． ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2）下列因式分解正确的是（ ）． A． B． C． D． （3）对于任整数n，多项式都能（ ）． A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被6或8整除 （4）将多项式分解因式，结果是（ ）． A． B． C． D． 2．用平方差公式分解因式： （1）； （2）； （3）． 3．分解因式：（1）； （2）． 检测2 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A．x（a－b）＝ax－bx B．x2－1＋y2＝（x－1）（x＋1）＋y2 C．x2－1＝（x＋1）（x－1） D．ax＋bx＋c＝x（a＋b）＋c 2．把x3－xy2分解因式，正确的结果是（ ）． A．（x＋xy）（x－xy） B．x（x2－y2） C．x（x－y）2 D．x（x－y）（x＋y） 3．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）． A． B．4－0.25m4 C．1＋a2 D．－a4＋1 4．分解因式3x2－3y4的结果是（ ）． A．3（x＋y2）（x－y2） B．3（x＋y2）（x＋y）（x－y） C．3（x－y2）2 D．3（x－y）2（x＋y）2 5．分解因式： （1）－2（m－n）2＋32；（2）． 三、运用完全平方公式因式分解 计算下列各式： ① (x+2)2=____________； ② (x-2)2=____________； ③ (2x+3y)2=______________； ④ (2x-3y)2=______________. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 思考：多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 完全平方式 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式. · 完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的) 2.有两个同号的平方项 3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍) 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 判断下列各式是不是完全平方式. (1) a2-2ab-b2 ( ) (2) a2+b2-2ab ( ) (3) -6xy+9x2+y2 ( ) (4) a2-6ab+b2 ( ) (5) x2+x+ ( ) (6) m2+4mn+2n2 ( ) 把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就得到运用完全平方公式因式分解：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2 分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32 a2 + 2· a ·b + b2 解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2 (2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2 例6 分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36. 解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 (2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2 公式法 把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分 解因式的方法叫做公式法. 练习3 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2-4a+4 ( )____________________； (2) 1+4a2 ( )____________________； (3) 4b2+4b-1 ( )____________________； (4) a2+ab+b2 ( )____________________. 2.分解因式： (1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1 (5) ax2+2a2x+a3 (6) -3x2+6xy-3y2 作业2 基础练习 1．若可分解得，那么a、b、c的值分别是（ ）． A．3，－6，2 B．9，－12，4 C．9，12，4 D．9，12，－4 2．下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）． A． B． C． D． 3．若是一个完全平方式，则m＝_________． 4．分解因式：____________． 5．若，则__________． 6．已知，则__________，_________． 7．用完全平方公式分解因式： ； ； ； ． 8．△ABC的三边a、b、c满足，试判定△ABC的形状． 检测3 1．下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）． ①x2－4x＋4；②6x2＋3x＋1；③4x2－4x＋1；④x2＋4xy＋2y2；⑤9x2－20xy＋16y2． A．①② B．①③ C．②③ D．①⑤ 2．若a＋b＝－1，则3a2＋3b2＋6ab的值是（ ）． A．－1 B．1 C．3 D．－3 3．若16x2＋mxy＋9y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）． A．12 B．24 C．±12 D．±24 4．若k－12xy＋9x2是一个完全平方式，那么k可为（ ）． A．2 B．4 C．2y2 D．4y2 5．把下列各式分解因式： （1）－x3＋2x2－x； （2）4a（b－a）－b2； （3）2x3y＋8x2y2＋8xy3． 6．（1）已知x＋y＝1，求的值． （2）已知，求（x2＋y2）2－4xy（x2＋y2）＋4x2y2的值． 答案： 练习1 1、解：(1) ax+ay=a(x+y) (2) 3mx-6my=3m(x-2y) (3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1) (4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy) (5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q) 2、解：4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3) 把 a=-5，x=3 代入 (x+7)(4a2-3) 得 (3+7)×[4×(-5)2-3] =10×97=970 检测1 1．C．2：C．3．A． 4．解：（1）3（a－b）2＋6（b－a）＝3（a－b）2－6（a－b） ＝3（a－b）[（a－b）－2]＝3（a－b）（a－b－2）． （2）＝ ＝． 练习2 2、解：(1) a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b) (3) x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2) (4) -a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a) 作业1 1．（1）B． （2）D． （3）C． （4）D． 2．（1）； （2）； （3）． 3．（1）； （2）． 检测2 1．C． 2．D．3．C．4．A． 5．（1）原式＝－2[（m－n）2－16]＝－2（m－n＋4）（m－n－4）； （2）原式＝＝． 练习3 2、解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2 (2)原式= -(x2+2xy+y2)= -(x+y)2 (3)原式=(a+1)2 (4)原式=(2x)2-2·2x·1+1 =(2x-1)2 (5)原式= a(x2+2ax+a2)= a(x+a)2 (6)原式= -3(x2-2xy+y2)= -3(x-y)2 作业2 1．B． 2．B． 3．4或－8．4．． 5．． 6．－3，1． 7．解：； ； ； ． 8．分析：此例中方程因为含有三个字母a、b、c均是未知的，像这样的题目通常化成几个非负数的和为零的形式，求出a、b、c的值或者三者之间的关系． 解：∵， ．， ．，．∴是等边三角形． 检测3 1．B． 2．C． 3．D． 4．D．点拨：完全平方式为a2±2ab＋b2． 5．解：（1）原式＝－x（x2－2x＋1）＝－x（x－1）2； （2）原式＝4ab－4a2－b2＝－（4a2－4ab＋b2）＝－（2a－b）2； （3）原式＝2xy（x2＋4xy＋4y2）＝2xy（x＋2y）2． 6．解：（1）∵x＋y＝1，∴ （2）∵x－y＝－， ∴（x2＋y2）2－4xy（x2＋y2）＋4x2y2＝（x2＋y2－2xy）2＝[（x－y）2]2＝=． 学科网（北京）股份有限公司 $