1.1.2 空间向量的数量积运算（知识解读）-2026-2027学年高二上学期选择性必修一数学《知识解读•题型专练》(人教版2019版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，系统梳理从平面向量到空间向量的夹角定义、数量积的定义性质及运算律，构建求模、夹角、投影向量的应用体系，形成递进式学习支架。 资料通过6类题型系统设计，从概念辨析到综合应用，结合例题与变式训练，培养数学思维的逻辑推理能力，以投影向量求解等实例强化数学语言的精确表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

1.1.2 空间向量的数量积运算（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 3 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 6 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 9 【题型5· 空间向量数量积的应用】 12 【题型6· 投影向量的求解】 17 知识点1 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【变式1-1】已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B 【变式1-2】在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 【变式1-3】已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 【题型2·求空间向量的数量积】 【例2】已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 【变式2-1】如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 【答案】(1)0； (2)1. 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 【变式2-2】如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【答案】 【分析】根据空间向量基本定理把用表示出来，再利用向量数量积公式得到的长. 【详解】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 【变式2-3】如图，平行六面体的底面是正方形， ，则___________． 【答案】2 【分析】利用空间向量的基底运算，即可求解. 【详解】设． ， ， . 故答案为： 【题型3·空间向量的夹角(余弦值)的计算】 【例3】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 【变式3-1】某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是__________．    【答案】 【分析】利用向量运算表示出,求出模长即可. 【详解】由题意, 因为以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是， 所以, 所以， 即. 故答案为： 【变式3-2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 【变式3-3】已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量的数量积计算模长即可； （2）利用空间向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1）由题意易知， 所以 ， 因为，， 所以，， 所以， 即； （2）由（1）可知， 所以异面直线与BC所成角的余弦值为. 【题型 4·利用空间向量的数量积求模】 【例4】如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 【变式4-1】平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以，即线段的长为. 故选：C 【变式4-2】在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 【变式4-3】如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 【题型 5·空间向量数量积的应用】 【例5】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 【变式5-1】如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【详解】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 【变式5-2】． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【变式5-3】如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)用空间的一个基底表示，并求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2)0 【分析】（1）结合平行六面体的几何性质与空间向量的运算即可得，再根据空间向量的数量积求模长即可得结论； （2）根据空间基底的运算，结合数量积的运算性质即可求得答案. 【详解】（1）由题，，，构成空间的一个基底． 因为， 所以 ， 所以． （2）又，， 所以 ∴ ∴异面直线与所成的角为，余弦值为0． 知识点2 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型6 投影向量的求解】 【例6】已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 【变式6-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 【变式6-2】已知，，则向量在向量上的投影向量是_________ 【答案】 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 【变式6-3】已知向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据投影向量的概念即可得结果. 【详解】因为，， 则在方向上的投影向量为， 故选：B. 随堂检测 【随堂检测】 1．已知正方体的棱长为1，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值. 【详解】由题意知，，两两互相垂直，故， 又，所以 . 故选：B 2．如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 3．已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 4．如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 5．若，则___________ 【答案】 【分析】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 6．如图，在三棱锥中，平面，则_______． 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 7．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 【答案】 【分析】根据已知，应用空间向量数量积的运算律求模长. 【详解】 . 故答案为： 8．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 9．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 2 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 6 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 9 【题型5· 空间向量数量积的应用】 6 【题型6· 投影向量的求解】 6 知识点1 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【变式1-2】在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式1-3】已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【题型2·求空间向量的数量积】 【例2】已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【变式2-1】如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 【变式2-2】如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【变式2-3】如图，平行六面体的底面是正方形， ，则___________． 【题型3·空间向量的夹角(余弦值)的计算】 【例3】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【变式3-1】某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是__________．    【变式3-2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【变式3-3】已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 【题型 4·利用空间向量的数量积求模】 【例4】如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【变式4-1】平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【变式4-2】在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【变式4-3】如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【题型 5·空间向量数量积的应用】 【例5】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【变式5-1】如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【变式5-2】． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【变式5-3】如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)用空间的一个基底表示，并求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 知识点2 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型6 投影向量的求解】 【例6】已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】已知，，则向量在向量上的投影向量是_________ 【变式6-3】已知向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知正方体的棱长为1，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 5．若，则___________ 6．如图，在三棱锥中，平面，则_______． 7．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 8．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 9．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $