重难点培优02 平面向量基本定理、共线定理及其推论、等和线（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量核心考点，涵盖平面向量基本定理、共线定理及推论、等和线等高考高频内容，以知识重构梳理基础概念，题型精研按梯度设计5类典型题型，实战检测通过分层练习巩固提升，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的系统复习链，助力学生突破向量线性运算与系数问题难点。 讲义突出“技巧通法+核心素养”融合，如等和线秒杀系数问题中提炼“定单位线-平移分析-长度比计算”三步法，培养学生数学思维与推理能力，设置重难知识巩固与创新能力提升分层练习，配合题型精研中的结论总结与真题应用，帮助学生高效掌握解题规律，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优02 平面向量基本定理、共线定理及其推论、等和线 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 用基底表示向量（★★★★★） 4 题型02 平面向量基本定理的应用（★★★★） 8 题型03 平面向量共线定理（★★★★） 12 题型04 平面向量共线定理的推论（★★★★★） 14 题型05 等和线秒杀系数问题（★★★★★） 19 03 实战检测·分层突破验成效 26 重难知识巩固 26 创新能力提升 35 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、平面向量的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 注：设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点02 平面向量共线定理及其推论 1、两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. 2、共线向量定理及其推论 1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识点03 等和线 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 2 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 题型精研·技巧通法提能力 题型01 用基底表示向量 【技巧通法·提分快招】 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 2．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图，     . 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点，根据中位线性质易得， 所以． 4．在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 5．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证判断即得. 【详解】取的中点，根据中线性质可得， 因为是的重心，所以,将上式代入，得，故A,B错误； 又因,故C错误； ，故D正确. 6．已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 7．（2026·河北雄安·模拟预测）早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立平面直角坐标系，再结合，计算得出，结合向量的坐标运算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系. ， 设， ，解得. 设，则， ，解得. 题型02 平面向量基本定理的应用 【技巧通法·提分快招】 平面向量基本定理的应用 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 1．（2026·河北·模拟预测）在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减法得出，再应用数量积的定义及运算律计算求解． 【详解】由，则，因此， ． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，两边平方化简即可求解. 【详解】因为在中，，，，所以， 由于点为边上一点，且，所以， 又， 则. 3．（2026·重庆江津·三模）在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】由可得，然后由表示，结合数量积运算律可得答案. 【详解】因，则. 又，， 则    4．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理、向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 又在中，， 所以. 所以. 5．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    6．已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到点位置,进而得到是以A为直角顶点的直角三角形,过向作垂线,垂足为,连接,根据在上的投影向量为,找出之间等量关系,进而得到之间关系,根据直角三角形得到,在直角三角形中,即可求得. 【详解】解:由题知,, 所以, 即,所以三点共线,且是的中点, 因为O是的外心,所以是圆的直径, 故是以A为直角顶点的直角三角形, 过向作垂线,垂足为,连接,如图所示: 因为在上的投影向量为, 所以在上的投影向量为: , 而, 则. 故选:C. 题型03 平面向量共线定理 【技巧通法·提分快招】 1、定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 1．（2026·云南·模拟预测）设向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x. 【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得， 而，，故， 非零向量，不共线，可得方程组：，解得. 3．（2026·新疆·二模）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由向量与的方向相反，得,， 而向量，不共线，得，由，得，所以. 4．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 5．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 6．已知，，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】因为，，设， 所以 ， ， 而 ，所以，， 解得，， 因此. 7．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_____________． 【答案】2 【详解】由图可知，，因为向量与共线， 所以根据共线向量基本定理可设， 即， ，实数. 8．如果向量，，其中分别是轴、轴正方向上的单位向量，且三点共线，则________． 【答案】 【分析】利用点共线得到向量共线，即，再利用向量的线性运算及向量相等即可得到结果. 【详解】因为A、B、C三点共线，则有， 又，，故，所以， 又、分别是轴、轴正方向上的单位向量，故，得到. 题型04 平面向量共线定理的推论 【技巧通法·提分快招】 1、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 2、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 1．在中，E是AC的中点，，则点P在直线BE上的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】得到，根据三点共线得到方程，判断出A正确. 【详解】因为E是AC的中点，所以，所以， 又点P在直线BE上，即B，P，E三点共线，所以， 四个选项中，只有，符合，A选项正确，其他选项不正确. 故选：A． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：设，得到，根据B，T，F三点共线，得到方程，可得答案； 方法二：根据，可得. 【详解】方法一：设， 且B，T，F三点共线， ，解得； 方法二：， 所以， 同理，， 故， 所以. 故选：B. 3．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 6．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 7．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 题型05 等和线秒杀系数问题 【技巧通法·提分快招】 一般解题步骤 （1）确定单位线（当时的等和线）； （2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 1．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 2．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果． 【详解】 如图，设，，设P是直线EF上一点， 令，则， ，又，所以 因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值， 设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1， 连接MP，连接并延长使之与EF交于点， 过M作，垂足为N， 因为，设，则， ， 则，由，得， 故的最大值为． 故选：D． 3．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：    (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 4．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解. 【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H， 则，且， ，， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 6．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是______．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【答案】②④ 【分析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误. 【详解】当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对点所在位置分类讨论，结合共线定理将双变量问题转化为单变量问题. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意得， 又向量，则，所以，解得． 2．下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线. 【详解】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 3．（25-26高三上·安徽六安·期末）对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 4．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 5．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得，进而有，根据三点共线有，即可得. 【详解】由，得，则， 因为B，P，N三点共线，所以，所以. 故选：B 6．（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，若点 E满足， 则，所以， 所以， 则，则. 7．（2026·山东日照·模拟预测）已知平面向量，，，，若在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】， 因为，所以，解得，所以， 在上的投影向量为，所以. 8．（2026·福建福州·三模）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且， 所以， 故， 所以， 所以. 9．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知， 又因为为的中点，所以， 故， 10．（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 11．（2026·山东济宁·三模）在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用向量线性运算，向量数量积以及求向量模长公式分析计算即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 又， 所以，即. 12．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助等边三角形性质、平面向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】由为等边三角形，则, 由为的中心，则，， 则 . 13．（25-26高三上·河北承德·期中）在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题干信息得到，，对进行化简求值，再根据，即可得到答案. 【详解】因为点为的中点，所以， 又， 则， 又，则. 故选：B. 14．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 15．（24-25高三上·广东惠州·阶段检测）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的基本定理，求得，，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由，得， 所以， 因为， 所以，， 则. 故选：D. 16．（25-26高三上·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    17．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 18．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 【答案】/ 【分析】由共线向量的性质求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，即，解得. 19．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据题意作图，利用平面向量基本定理，结合相似三角形线段长成比例，计算求解. 【详解】 如图，取中点，连接交于，过作，交的延长线于， 过作，交的延长线于， 则， 易知，则，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 当点在内（含边界）时，在线段上（含端点）， 所以， 由，，可得. 则的取值范围是. 故答案为：. 创新能力提升 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 2．（25-26高三上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 3．已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 4．已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，由数量积运算，且当时取得最小值，建立平面直角坐标系，进一步由坐标计算求解. 【详解】设点为的中点，为中点， 由得， 因为，所以点在直线上， 以的中点为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则 ， 当时，最小， 设， 则， 又， 由，解得， 所以， 则， 即的最小值. 5．（25-26高三上·新疆喀什·期中）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与交于点，根据给定条件，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论建立关系式，再按点的位置分类确定并求出最大值. 【详解】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 故选：C 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 平面向量基本定理、共线定理及其推论、等和线 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 用基底表示向量（★★★★★） 4 题型02 平面向量基本定理的应用（★★★★） 5 题型03 平面向量共线定理（★★★★） 6 题型04 平面向量共线定理的推论（★★★★★） 7 题型05 等和线秒杀系数问题（★★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 11 重难知识巩固 11 创新能力提升 14 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、平面向量的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 注：设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点02 平面向量共线定理及其推论 1、两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. 2、共线向量定理及其推论 1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 知识点03 等和线 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 2 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 题型精研·技巧通法提能力 题型01 用基底表示向量 【技巧通法·提分快招】 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 1．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 4．在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 6．已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 7．（2026·河北雄安·模拟预测）早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 题型02 平面向量基本定理的应用 【技巧通法·提分快招】 平面向量基本定理的应用 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 1．（2026·河北·模拟预测）在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆江津·三模）在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（    ） A． B． C． D． 题型03 平面向量共线定理 【技巧通法·提分快招】 1、定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 1．（2026·云南·模拟预测）设向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．6 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·二模）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 6．已知，，，则点的坐标为________． 7．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_____________． 8．如果向量，，其中分别是轴、轴正方向上的单位向量，且三点共线，则________． 题型04 平面向量共线定理的推论 【技巧通法·提分快招】 1、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 2、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 1．在中，E是AC的中点，，则点P在直线BE上的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型05 等和线秒杀系数问题 【技巧通法·提分快招】 一般解题步骤 （1）确定单位线（当时的等和线）； （2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 1．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 3．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 6．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是______．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 2．下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽六安·期末）对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 5．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东日照·模拟预测）已知平面向量，，，，若在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 8．（2026·福建福州·三模）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山东济宁·三模）在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．3 D．4 12．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·河北承德·期中）在△ABC中，点 D 为BC的中点，若 则 （    ） A． B．3 C． D．2 14．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 15．（24-25高三上·广东惠州·阶段检测）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 18．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 19．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是_________ 创新能力提升 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26高三上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·新疆喀什·期中）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $