重难点培优01 平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量核心考点，涵盖线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直及投影向量等高考高频内容，按知识重构（梳理定义、性质与坐标运算）、题型精研（分6类题型提炼技巧通法）、实战检测（分层设计重难巩固与创新提升练习）的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生构建系统知识网络，突破向量运算难点。 讲义突出分层教学与技巧赋能特色，如数量积运算总结几何、坐标、定义三种方法，模长运算强调平方转化策略，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（坐标表达）素养。设置基础到创新的梯度练习，配合即时反馈设计，能在有限时间内提升学生解题效率，为教师精准把控复习节奏、落实高考要求提供实用教学资源。

重难点培优01 平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 平面向量线性运算（★★★★） 4 题型02 数量积运算（★★★★★） 7 题型03 模长运算（★★★★★） 10 题型04 夹角运算（★★★★★） 13 题型05 与投影向量有关的运算（★★★★） 17 题型06 与平行、垂直关系有关的运算（★★★★★） 20 03 实战检测·分层突破验成效 23 重难知识巩固 23 创新能力提升 36 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 向量的运算 1、运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 2、运算律 加法：①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积：①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 知识点02 向量的运算性质及重要结论 1、运算性质及重要结论 ①向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) ②两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. ③共线向量定理 1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． ④两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 ⑤两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度)； (垂直的判断)； (求角度). ⑥向量在上的投影向量 1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 知识点03 平面向量的坐标运算 1、向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． 2、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 3、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 平面向量线性运算 【技巧通法·提分快招】 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 1．（2026·云南·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算，求出的坐标，再求模即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，而在平行四边形ABCD中，， 因此，即，所以. 3．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 【答案】A 【分析】作，，以、为邻边作平行四边形，则，求出以及的值，结合向量的几何意义可得结论. 【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，故平行四边形为正方形， 所以，且，且， 故表示向东北方向走， 故选：A. 4．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 5．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 6．（多选题）（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）下列运算结果一定为零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加法运算法则和运算律逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，不一定为，故B错误； ，不一定为，故C错误； ，故D正确. 7．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 【答案】 【详解】由图可得， 所以， 则. 8．设，为两个不共线的向量，，，若三点共线，则k的值为________． 【答案】 2 【详解】由三点共线，得， 又，，且不共线，则， 所以. 题型02 数量积运算 【技巧通法·提分快招】 平面向量数量积的三种运算方法 1．（2026·北京大兴·三模）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】已知， 则原式可化为：. 2．（2026·陕西宝鸡·三模）已知与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据题意条件，建系，求出两向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】 如图建立平面直角坐标系,由图知，， 则,故. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题利用向量的加减法则和向量乘法计算公式计算即可. 【详解】， ， . 5．（2026·江苏·模拟预测）在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量的线性运算结合数量积判断向量垂直的方法即可求解. 【详解】由题意得，即，其中， 即，所以，所以是直角三角形. 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知菱形的边长为是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 ， ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的平方差公式，将所求转化为已知两个和差向量的数量积进行计算. 【详解】已知 ， ， 则. 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，，为斜边上一点，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理得到，根据，代入计算即可求出答案. 【详解】因为，所以，得， 由题意知，即， 所以. 9．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据，得， 所以， 所以. 题型03 模长运算 【技巧通法·提分快招】 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，且，则x的值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】计算出，，由模长相等得到方程，求出答案. 【详解】，， 由得，解得. 故选：D 2．已知向量满足，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出，再将平方，并开方，即可求解． 【详解】因为， 则，即，解得，， 则， ． 故选：B． 3．与向量同向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义结合共线向量计算求解. 【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为. 故选：B 4．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解. 【详解】因为， ， 所以. 5．在等腰直角三角形中，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量的模长平方，利用向量数量积运算律展开后代入已知的边长、夹角条件计算，再开方得到结果. 【详解】已知等腰直角中，，， 因此，且与的夹角为，故. 所以 ， 因此. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 整理得，故，解得， ， ． 7．若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．或 【答案】C 【详解】由向量两两所成的角相等，故向量两两所成的角都等于0或， 当两两所成的角为时，，， ，则 ， ， 当两两所成的角为0时， ． 8．（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 9．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【详解】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 题型04 夹角运算 【技巧通法·提分快招】 求向量夹角问题的方法 1．（2026·福建泉州·模拟预测）若平面内的两个向量，满足，，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积以及向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以，由可得，， 设与的夹角为， 所以， 解得，解得. 2．（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 3．若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】， ， ， . 设向量与向量的夹角为，则. 又，所以. 4．在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 因，故， 则， 所以的面积为. 故选：A. 5．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式，列方程求解． 【详解】解：，且， ，即， 解得． 6．（2026·广西南宁·模拟预测）已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，夹角为钝角，则，且，不共线， 即，则的取值范围为. 7．（2026·广西南宁·模拟预测）已知非零向量，满足，，则与的夹角为______． 【答案】 / 【详解】设向量与的夹角为，其中， 则， 所以. 8．（2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【答案】 【分析】先求得，然后利用向量的夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，进而求得其正切值. 【详解】， 所以，设向量与的夹角为， 则， 由于，所以，所以. 9．（2024·甘肃兰州·一模）等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，________． 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的数量积公式求解. 【详解】以边所在的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 设等边三角形的边长为，则，，，， 即，, ∴， 故答案为：.    题型05 与投影向量有关的运算 【技巧通法·提分快招】 向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ. 1．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，向量，所以 向量在向量上的投影向量的模为. 2．（2026·河南·三模）已知向量，满足，在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 因在上的投影向量为，所以， 所以， 所以． 3．（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 正六边形中，设与交于，则为中点，且. 所以向量在向量方向上的投影向量为. 4．（2026·河南·模拟预测）已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，则， ，则， 则， ，，， 则投影向量，故选项A正确. 5．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    6．（2026·广西·模拟预测）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】利用向量在方向上的投影向量的表达式，结合题设条件列方程求解. 【详解】 向量在方向上的投影向量公式为， 已知，，则，且， 又投影向量为，所以，即， 整理得，即，解得. 7．（2026·上海静安·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】/ 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以 ，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】由投影向量的计算式求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 题型06 与平行、垂直关系有关的运算 【技巧通法·提分快招】 结论 几何表示 坐标表示 的充要条件 的充要条件 1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意得， 又向量，则，所以，解得． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，，若和方向相同，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】已知，，若和方向相同，得： ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 3．（2026·河北·模拟预测）已知向量，，，若，且，则（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据向量垂直、向量平行的坐标表示列方程组求解参数，即可求解. 【详解】由，代入坐标得，即 ①， 的坐标：， 由，代入坐标得，整理得 ②， 解方程组求参数： 将②代入①得 ，解得，再代入②得， 因此. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 整理可得：， 根据数量积定义可得：， 又因为， 所以， 又因为为非零向量，所以， 所以等式约去，整理可得：. 6．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 8．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质可得，再利用平行四边形可求. 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 2．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. 【详解】， 由题意：， 所以. 故选：C. 3．（2026·四川绵阳·三模）已知向量满足，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】由可知， 故. 4．（2026·山西大同·三模）已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 因为，所以 ， 即 ，解得． 5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 6．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x. 【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得， 而，，故， 非零向量，不共线，可得方程组：，解得. 7．设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直向量以及平行向量的坐标表示，求得参数，根据向量线性运算的坐标表示，结合向量夹角的坐标表示，可得答案. 【详解】由，则，解得，即， 由，则，可得，解得，即， 由，，则. 故选：D. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，所以，得到. ． 9．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 10．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：A 11．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 12．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知正方形ABCD的边长为4,E为线段AB的中点,F为CD边上的点,若,则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设正方形的顶点坐标为，，，. 因为为的中点，所以， 又因为，且，所以， 而，则得到，于是， 故. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由，得 又，所以. 由，得. 所以. 两式相加，得，因此. 14．（2026·山东日照·模拟预测）已知平面向量，，，，若在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】， 因为，所以，解得，所以， 在上的投影向量为，所以. 15．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知平面向量为单位向量，且，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量的数量积运算以及夹角公式求出，然后根据同角三角函数的关系求出. 【详解】因为为单位向量，且，所以， ，所以， ， ，， . 16．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知向量、、均为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，根据平面向量数量积的运算性质可求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量、、均为单位向量，若，则， 所以，所以， 则， 又因为，所以，即与的夹角为. 17．（2026·重庆江津·三模）在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】由可得，然后由表示，结合数量积运算律可得答案. 【详解】因，则. 又，， 则    18．（24-25高三上·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当为中点时，可判断A；由，可判断B；计算可得判断C；计算可得可判断D. 【详解】当为中点时，，所以，故A错误； 因为，又，所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 19．（2026·陕西·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 20．（25-26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 【答案】B 【分析】设，利用向量垂直和模长的坐标表示求出或，再结合题意求出向量，然后计算模长与表格对比可得. 【详解】设， 因为与向量垂直，所以， 又，即，所以或， 由可得， 当时，，则； 当时，，则； 由题意可得此次配送的效率等级为高效. 故选：B. 21．（2026·广东·模拟预测）若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】两边同时平方，得到，利用余弦值只能在求出k的取值范围即可判断. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 由于，均为单位向量，所以， 所以，由于， 解得，所以只有C符合. 22．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件作图可得为等边三角形，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，则是圆的直径，， 又，所以是等边三角形，，. 设，则，作于，则， 所以，即为向量在向量上的投影向量， . 23．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 【答案】C 【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D. 【详解】因为向量，，则，， 对于A，当且仅当，即， 即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误； 对于B，当且仅当， 即，即， 当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得， 当时，此时，由此可知存在实数对，使得， 当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误； 对于C，当且仅当，解得，故C正确； 对于D，， 即，进而可得 故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误. 故选：C. 24．（多选题）（2026·海南海口·模拟预测）在等边三角形中，点D是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A：在等边三角形中，因为点D是边的中点，所以，正确. B：因为两向量方向不同，所以错误. C：因为点D是边的中点，所以，正确. D：由为等边三角形，且点D是边的中点，所以，所以，正确. 25．（多选题）已知向量，满足，，则下列结论正确的有（　　） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 【答案】ABD 【分析】通过向量数量积公式及相关性质对各选项逐一分析判断. 【详解】对于A，因为， 所以，A正确； 对于B，因为，所以， 所以，因为，得， 所以，B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D，因为，所以， 化简可得：，求解得：， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 26．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 27．（2026·陕西渭南·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________． 【答案】15 【详解】 建立如图所示平面直角坐标系，，，， . 28．（2026·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点共线，则___________． 【答案】 【分析】根据三点共线可知，再列方程组求出，结合向量数量积的坐标表示即可求解． 【详解】解：若点共线， 则，使得， 即， ，解得， ，又， ． 29．已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题知且向量与方向不相同，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与方向不相同， ，解得， 向量与共线，解得， 所以时，向量与共线且方向相同， 所以的取值范围为 30．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 【答案】/ 【分析】设，以为基底表示，根据得出值即可求出. 【详解】设， 因为E为线段CD的中点，所以， 则，， 因为AF⊥BE，所以 ， 得或（舍）， 则， 故. 创新能力提升 1．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】根据向量的数量积及投影向量公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为. 因为，所以. 因为在上的投影向量为，所以①. 在上的投影向量为，所以，即②. 将①代入②中，，即， 所以，因为，所以，所以. 2．已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量的加减法结合数量积运算律计算求解. 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， 且， 又因为且，所以为等边三角形， 所以， 从而， 故选：B． 3．已知等边三角形的边长为2，，（），交于点，且，则________． 【答案】 【分析】由得为的重心，再利用即可. 【详解】由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点， 所以. 因为是边长为2的等边三角形，所以. 所以． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆的内接，满足，则____． 【答案】 【详解】由题可知，， 则，即， 所以， 所以. 5．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出点、的轨迹方程，由向量的数量投影可得即求的范围，根据，的范围，结合图象求解即可. 【详解】设，则 又因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 又因为， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 设，则向量在向量方向上的数量投影为：， 因为点在圆上，所以， 又因为，所以， 所以当取最大、取最小值时，此时与反向， 则取最小值，为； 当、同时取最大值时，此时与同向， 取最大值，为； 所以， 即向量在向量方向上的数量投影的取值范围是. 6．已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________． 【答案】 【分析】设外心为原点，由重心性质得三顶点向量和，证明该向量对应点即为垂心，从而建立向量关系，求得比值. 【详解】设为原点，记. 由于在同一圆上，则. 由题意，所以. 即①. 取点 ，使， 则， 于是. 因此 ，同理可得 ，所以 就是三角形 的垂心 . 故. 结合①得，从而. 因此. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 平面向量线性运算（★★★★） 4 题型02 数量积运算（★★★★★） 5 题型03 模长运算（★★★★★） 6 题型04 夹角运算（★★★★★） 7 题型05 与投影向量有关的运算（★★★★） 8 题型06 与平行、垂直关系有关的运算（★★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 14 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 向量的运算 1、运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 2、运算律 加法：①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积：①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 知识点02 向量的运算性质及重要结论 1、运算性质及重要结论 ①向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) ②两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. ③共线向量定理 1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． ④两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 ⑤两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度)； (垂直的判断)； (求角度). ⑥向量在上的投影向量 1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 知识点03 平面向量的坐标运算 1、向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． 2、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 3、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 平面向量线性运算 【技巧通法·提分快招】 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 1．（2026·云南·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（   ） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 4．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 6．（多选题）（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）下列运算结果一定为零向量的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 8．设，为两个不共线的向量，，，若三点共线，则k的值为________． 题型02 数量积运算 【技巧通法·提分快招】 平面向量数量积的三种运算方法 1．（2026·北京大兴·三模）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2026·陕西宝鸡·三模）已知与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C．10 D．18 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2026·江苏·模拟预测）在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知菱形的边长为是的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 ， ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，，为斜边上一点，，则（    ） A． B．2 C． D． 9．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 模长运算 【技巧通法·提分快招】 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，且，则x的值是（    ） A． B． C． D．6 2．已知向量满足，，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．与向量同向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．在等腰直角三角形中，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．或 8．（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 9．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型04 夹角运算 【技巧通法·提分快招】 求向量夹角问题的方法 1．（2026·福建泉州·模拟预测）若平面内的两个向量，满足，，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 5．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（2026·广西南宁·模拟预测）已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·广西南宁·模拟预测）已知非零向量，满足，，则与的夹角为______． 8．（2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 9．（2024·甘肃兰州·一模）等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，________． 题型05 与投影向量有关的运算 【技巧通法·提分快招】 向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ. 1．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·三模）已知向量，满足，在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西·模拟预测）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则______． 7．（2026·上海静安·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 题型06 与平行、垂直关系有关的运算 【技巧通法·提分快招】 结论 几何表示 坐标表示 的充要条件 的充要条件 1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，，若和方向相同，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·河北·模拟预测）已知向量，，，若，且，则（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2026·四川绵阳·三模）已知向量满足，则（   ） A． B． C．1 D．0 4．（2026·山西大同·三模）已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 7．设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．8 D．12 9．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 10．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 12．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知正方形ABCD的边长为4,E为线段AB的中点,F为CD边上的点,若,则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 14．（2026·山东日照·模拟预测）已知平面向量，，，，若在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 15．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知平面向量为单位向量，且，若，则（   ） A． B． C． D．2 16．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知向量、、均为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·重庆江津·三模）在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 18．（24-25高三上·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 19．（2026·陕西·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 21．（2026·广东·模拟预测）若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 22．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 24．（多选题）（2026·海南海口·模拟预测）在等边三角形中，点D是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 25．（多选题）已知向量，满足，，则下列结论正确的有（　　） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 26．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 27．（2026·陕西渭南·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________． 28．（2026·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点共线，则___________． 29．已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 30．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 创新能力提升 1．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等边三角形的边长为2，，（），交于点，且，则________． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）单位圆的内接，满足，则____． 5．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 6．已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $