26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质核心知识点，系统梳理从定义理解、系数a,b,c的作用，到一般式与顶点式转化，再到实际问题中自变量取值范围与最值求解的完整脉络，通过易错提示和随学随练搭建递进式学习支架。 该资料以“左同右异”口诀等直观方法培养几何直观（数学眼光），配方法转化训练推理能力（数学思维），实际问题最值探究发展模型意识（数学语言）。分层题型设计覆盖基础到综合，课中助力教师突破重难点，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十六章 二次函数 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课标要点 1. 理解二次函数一般式定义：形如是常数，的函数叫做二次函数，x是自变量； 2. 分清各部分名称：a决定开口方向、开口大小；b与a共同决定对称轴位置；c是抛物线与y轴交点的纵坐标；对称轴为直线，顶点坐标，重点牢记二次项系数，b、c可以为0； 3. 会识别一般式：能直接由解析式读出a、b、c；会把一般式通过配方法转化为顶点式能利用公式求对称轴、顶点坐标； 4. 能根据实际问题列一般式二次函数解析式，注意实际问题中自变量x的取值范围，结合取值范围求函数最值。 学习重难点 重点： 1. 牢记二次函数一般式，抓住核心条件。 2. 熟练使用公式求抛物线对称轴直线、顶点坐标；掌握a、b、c各自作用。 3. 辨析一般式，区分一般式、顶点式、最简式；掌握配方法进行两种形式互化。 难点：1. 忽略这个前提，题目含参数时，既要保证解析式为二次函数，同时二次项系数不能等于0。 2. 对称轴、顶点横坐标公式符号容易出错，牢记是，不要漏掉负号。 3. 由、判断对称轴位置容易出错；c只代表与y轴交点，不代表顶点纵坐标。 4. 增减性以对称轴为分界，容易错误套用y=ax2的对称轴x=0。 5. 实际应用求最值，容易忽略自变量取值范围；当顶点不在取值范围内时，要在区间端点处取最值。 知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象 图象是一条抛物线，抛物线是轴对称图形。 1.开口方向 ①：抛物线开口向上；②：抛物线开口向下。 2.开口大小 |a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 3.对称轴 直线： 口诀：左同右异：a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b异号，对称轴在y轴右侧；b=0,对称轴就是y轴(x=0)。 4.顶点坐标：；顶点是抛物线的最高点或者最低点。 5.与y轴交点 令x =0，得y =c，交点：(0,c)。 ①c>0，交点在y轴正半轴；②c<0，交点在y轴负半轴；③c=0，抛物线过坐标原点(0,0)。 6.与x轴交点(对应一元二次方程) 令y=0,ax²+ba+c=0，判别式△=b²-4ac ①△>0：抛物线与x轴有2个交点； ②△=0：抛物线与x轴有1个交点(顶点落在x轴); ③△<0：抛物线与x轴无交点。 随学随练 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 4．（2026·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的性质 增减性(单调性，以对称轴为分界线) ①当a>0,开口向上 对称轴： 1当时，y随x的增大而减小； 2当时，y随x的增大而增大； 图象：对称轴左边下降，右边上升；顶点是最低点。 ②当a<0,开口向下 对称轴 1当时，y随x的增大而增大; 2当时，y随x的增大而减小； 图象：对称轴左边上升，右边下降；顶点是最高点。 随学随练 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的最值 情况1：x取全体实数 1.，开口向上，顶点处取最小值 2.，开口向下，顶点处取最大值 情况2：自变量有限范围(应用题必考) 1.若对称轴在区间[m,n]内部：顶点取一个最值；另一个最值在区间两个端点或中取。2.若对称轴在区间[m,n]的外面：最值全部在区间端点处取得，顶点无效！ 随学随练 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 拓展二次函数各项系数之间的关系 题型特征：给出抛物线局部图像，给出若干个代数结论，判断正确有几个。 核心工具：开口方向、对称轴、特殊点函数值、顶点最值、对称性、判别式，结合y=ax²+bx+c和顶点式y=a(x-h)2+k的性质。 一、基础快速读取(做题第一步) ①看开口：开口向上→a>0；开口向下→a<0。 ②看对称轴 ，a、b异号 ，a、b同号 注意：经常出现式子，接由对称轴变形推导。 3.看与y轴交点(0,c) 交点在y轴正半轴：；负半轴：；过原点：。 abc符号判断：分别判断a、b、c正负，相乘。 4.看与x轴交点 交点个数看判别式；利用抛物线对称性，已知一个交点+对称轴，求另一个交点。 二、各类结论的通用处理方法 类型①判断这类代数式符号 ①a：开口；b：对称轴；c：y轴交点。 ②：把对称轴变形。 ③：用对称轴得到b关于a的表达式，整体代入消去b。 类型②这类式子 本质：代入特殊x值求函数值y 看图像上该横坐标对应点在x轴上方(y>0)还是下方(y<0),直接判断式子正负。 类型③m(am+b)≥a-b、a+b≤m(am+b)不等式(最值类) 核心：顶点处取得最大/最小值 抛物线在顶点x=h时，y取最大或最小值。 例：x =-1是对称轴，此时函数取得最小值： 两边消去c，整理得到：，就是题目出现的式子。 口诀：顶点对应的函数值，是全抛物线上最大或者最小，和任意的函数值做大小比较。 类型④两点比较y1、y2的大小 两种方法： 1.算点到对称轴的距离：开口向上，离对称轴越远，y越大；开口向下，离对称轴越远，y越小。 2.利用对称性，转化到对称轴同一侧，再利用增减性判断。 类型⑤方程根的个数 转化：看抛物线和直线的交点个数。 ①2个交点：两个不等实根；②1个交点(相切):两个相等实根；③无交点：无实数根。 题目：，顶点纵坐标是n，对比y=n-1和顶点位置。 类型⑥求a的取值范围 已知抛物线过定点，同时给与y轴交点范围，把b、c全部用a表示，代入c的不等式，解出a范围。 活学活用 1．（2026·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 题型一 y=ax2+bx+c化为顶点式 易错提示 1.只在括号内加平方，忘记同时减去同一个数，等式就不等了； 2.外面有系数a，括号内减掉的常数，一定要乘以a，再和外面c合并，这是最常见错误； 3.h符号：，所以，负号不要丢。 ▌例1（25-26九年级上·江苏南通·期末）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·云南保山·期末）二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 画y=ax2+bx+c的图象 ▌例2（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． ▌对点练2-1．（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． ▌对点练2-2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 ▌例3（2026·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 ▌对点练3-1．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 ▌对点练3-2．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 题型四 一次函数、二次函数图象综合判断 ▌例4（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 题型五 已知二次函数上对称的两点求对称轴 解题贴士 核心结论 若二次函数图像上，两点、纵坐标相等，说明这两点关于对称轴对称。 对称轴： 本质：对称轴是这两个点横坐标的平均数。 ▌例5（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 题型六 利用二次函数的对称轴求函数值 解题贴士 核心：抛物线上，关于对称轴对称的两点，函数值(y值)相等。 已知对称轴，就可以找到某个点的对称点，两点纵坐标一样，不用代入解析式直接读出函数值。 ▌例6（2026·河南信阳·模拟预测）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时，___________ 题型七 y=ax2+bx+c的最值问题 解题贴士 一、无范围限制：x取全体实数 解析式：对称轴 1.，抛物线开口向上 顶点是最低点，函数有最小值，无最大值。在 2.，抛物线开口向下 顶点是最高点，函数有最大值，无最小值。在 二、给定自变量范围m≤x≤n(中考重点) 条件 开口向上 开口向下 x全体实数 取最小值，无最大 取最大值，无最小 ，对称轴在区间内 最小在顶点，最大看两端 最大在顶点，最小看两端 ，对称轴在区间外 最值全部在区间端点 最值全部在区间端点 ▌例7（2026·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． ▌对点练7-1．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． ▌对点练7-2．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 题型八 待定系数法求二次函数解析式 解题贴士 解题思路步骤 1.设解析式：设 2.把图像上三个点的坐标(x，y)，分别代入一般式，得到关于的三元一次方程组。代入规则：把点里的c替换式子中的x，点里的y替换式子中的y。 3.解三元一次方程组，求出a、b、c的值。 4.把a,b,c代回所设式子，写出函数解析式。 ▌例8（2026·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． ▌对点练8-1．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． ▌对点练8-2．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． ▌对点练8-3．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． ▌对点练8-4．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 题型九 二次函数解答题综合-周长问题 ▌例9（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． ▌对点练9-1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 题型十 二次函数解答题综合-面积问题 ▌例10（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． ▌对点练10-1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． ▌对点练10-2．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 题型十一 二次函数解答题综合-角度问题 ▌例11（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． ▌对点练11-1．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． ▌对点练11-2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 题型十二 二次函数解答题综合-特殊三角形问题 ▌例12（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． ▌对点练12-1．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌对点练12-2．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型十三 二次函数解答题综合-特殊四边形问题 ▌例13（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． ▌对点练13-1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ▌对点练13-2．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 基础通关 1．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26九年级下·山东泰安·期中）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 13．（2026·浙江温州·三模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 素养提升 1．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 3．（2026·山东潍坊·模拟预测）我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 6．（2026·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 8．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 11．（2026·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 迁移创新 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 2．（25-26八年级下·江西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），点在的延长线上．且（为正整数）．过点的抛物线，其顶点在轴上． (1)点的坐标为__________；点的坐标为__________； (2)当时，抛物线的函数表达式为__________； (3)如图2，抛物线，经过、两点，顶点为．且、、三点在同一直线上． ①求与的关系式； ②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积，规定（其中、均为非零常数），例如：，已知，，若正整数和正整数满足不等式组且，请直接写出值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课标要点 1. 理解二次函数一般式定义：形如是常数，的函数叫做二次函数，x是自变量； 2. 分清各部分名称：a决定开口方向、开口大小；b与a共同决定对称轴位置；c是抛物线与y轴交点的纵坐标；对称轴为直线，顶点坐标，重点牢记二次项系数，b、c可以为0； 3. 会识别一般式：能直接由解析式读出a、b、c；会把一般式通过配方法转化为顶点式能利用公式求对称轴、顶点坐标； 4. 能根据实际问题列一般式二次函数解析式，注意实际问题中自变量x的取值范围，结合取值范围求函数最值。 学习重难点 重点： 1. 牢记二次函数一般式，抓住核心条件。 2. 熟练使用公式求抛物线对称轴直线、顶点坐标；掌握a、b、c各自作用。 3. 辨析一般式，区分一般式、顶点式、最简式；掌握配方法进行两种形式互化。 难点：1. 忽略这个前提，题目含参数时，既要保证解析式为二次函数，同时二次项系数不能等于0。 2. 对称轴、顶点横坐标公式符号容易出错，牢记是，不要漏掉负号。 3. 由、判断对称轴位置容易出错；c只代表与y轴交点，不代表顶点纵坐标。 4. 增减性以对称轴为分界，容易错误套用y=ax2的对称轴x=0。 5. 实际应用求最值，容易忽略自变量取值范围；当顶点不在取值范围内时，要在区间端点处取最值。 知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象 图象是一条抛物线，抛物线是轴对称图形。 1.开口方向 ①：抛物线开口向上；②：抛物线开口向下。 2.开口大小 |a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 3.对称轴 直线： 口诀：左同右异：a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b异号，对称轴在y轴右侧；b=0,对称轴就是y轴(x=0)。 4.顶点坐标：；顶点是抛物线的最高点或者最低点。 5.与y轴交点 令x =0，得y =c，交点：(0,c)。 ①c>0，交点在y轴正半轴；②c<0，交点在y轴负半轴；③c=0，抛物线过坐标原点(0,0)。 6.与x轴交点(对应一元二次方程) 令y=0,ax²+ba+c=0，判别式△=b²-4ac ①△>0：抛物线与x轴有2个交点； ②△=0：抛物线与x轴有1个交点(顶点落在x轴); ③△<0：抛物线与x轴无交点。 随学随练 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把化成顶点式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而选出正确选项． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 4．（2026·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的性质 增减性(单调性，以对称轴为分界线) ①当a>0,开口向上 对称轴： 1当时，y随x的增大而减小； 2当时，y随x的增大而增大； 图象：对称轴左边下降，右边上升；顶点是最低点。 ②当a<0,开口向下 对称轴 1当时，y随x的增大而增大; 2当时，y随x的增大而减小； 图象：对称轴左边上升，右边下降；顶点是最高点。 随学随练 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 3．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的最值 注意：分全体实数范围、自变量有限取值范围两种情况，考试高频易错。 情况1：x取全体实数 1.，开口向上，顶点处取最小值 2.，开口向下，顶点处取最大值 情况2：自变量有限范围(应用题必考) 1.若对称轴在区间[m,n]内部：顶点取一个最值；另一个最值在区间两个端点或中取。2.若对称轴在区间[m,n]的外面：最值全部在区间端点处取得，顶点无效！ 随学随练 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 拓展二次函数各项系数之间的关系 题型特征：给出抛物线局部图像，给出若干个代数结论，判断正确有几个。 核心工具：开口方向、对称轴、特殊点函数值、顶点最值、对称性、判别式，结合y=ax²+bx+c和顶点式y=a(x-h)2+k的性质。 一、基础快速读取(做题第一步) ①看开口：开口向上→a>0；开口向下→a<0。 ②看对称轴 ，a、b异号 ，a、b同号 注意：经常出现式子，接由对称轴变形推导。 3.看与y轴交点(0,c) 交点在y轴正半轴：；负半轴：；过原点：。 abc符号判断：分别判断a、b、c正负，相乘。 4.看与x轴交点 交点个数看判别式；利用抛物线对称性，已知一个交点+对称轴，求另一个交点。 二、各类结论的通用处理方法 类型①判断这类代数式符号 ①a：开口；b：对称轴；c：y轴交点。 ②：把对称轴变形。 ③：用对称轴得到b关于a的表达式，整体代入消去b。 类型②这类式子 本质：代入特殊x值求函数值y 看图像上该横坐标对应点在x轴上方(y>0)还是下方(y<0),直接判断式子正负。 类型③m(am+b)≥a-b、a+b≤m(am+b)不等式(最值类) 核心：顶点处取得最大/最小值 抛物线在顶点x=h时，y取最大或最小值。 例：x =-1是对称轴，此时函数取得最小值： 两边消去c，整理得到：，就是题目出现的式子。 口诀：顶点对应的函数值，是全抛物线上最大或者最小，和任意的函数值做大小比较。 类型④两点比较y1、y2的大小 两种方法： 1.算点到对称轴的距离：开口向上，离对称轴越远，y越大；开口向下，离对称轴越远，y越小。 2.利用对称性，转化到对称轴同一侧，再利用增减性判断。 类型⑤方程根的个数 转化：看抛物线和直线的交点个数。 ①2个交点：两个不等实根；②1个交点(相切):两个相等实根；③无交点：无实数根。 题目：，顶点纵坐标是n，对比y=n-1和顶点位置。 类型⑥求a的取值范围 已知抛物线过定点，同时给与y轴交点范围，把b、c全部用a表示，代入c的不等式，解出a范围。 活学活用 1．（2026·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 3．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 题型一 y=ax2+bx+c化为顶点式 易错提示 1.只在括号内加平方，忘记同时减去同一个数，等式就不等了； 2.外面有系数a，括号内减掉的常数，一定要乘以a，再和外面c合并，这是最常见错误； 3.h符号：，所以，负号不要丢。 ▌例1（25-26九年级上·江苏南通·期末）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把化成顶点式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而选出正确选项． 【详解】解：， 故选：B． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·云南保山·期末）二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 题型二 画y=ax2+bx+c的图象 ▌例2（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． ▌对点练2-1．（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 ▌对点练2-2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②图象如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 ▌例3（2026·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． ▌对点练3-1．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． ▌对点练3-2．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． 根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 题型四 一次函数、二次函数图象综合判断 ▌例4（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． ▌对点练4-1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 题型五 已知二次函数上对称的两点求对称轴 解题贴士 核心结论 若二次函数图像上，两点、纵坐标相等，说明这两点关于对称轴对称。 对称轴： 本质：对称轴是这两个点横坐标的平均数。 ▌例5（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．若抛物线上两点关于对称轴对称，则此两点的纵坐标即函数值相同，据悉解答即可． 【详解】解：观察表格，发现当和时，函数值相同为， 则两点关于对称轴对称， 则二次函数的对称轴为直线． 故选：D． 题型六 利用二次函数的对称轴求函数值 解题贴士 核心：抛物线上，关于对称轴对称的两点，函数值(y值)相等。 已知对称轴，就可以找到某个点的对称点，两点纵坐标一样，不用代入解析式直接读出函数值。 ▌例6（2026·河南信阳·模拟预测）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 【答案】 1 【分析】利用二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，先求对称轴，再根据对称轴求对应的函数值． 【详解】解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵关于对称轴的对称点横坐标为， ∴对应的函数值与对应的函数值相等， ∵由表格可知时，， ∴对应的函数值． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出对称轴，再根据题意，得到两点关于对称轴对称，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴两点关于对称轴对称， ∴； 故答案为：4． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时，___________ 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的对称性并结合表格，可得对称轴为，进而可得该二次函数在时，或． 【详解】解：观察表格可知，当或时，， 故根据二次函数图像的对称性，，是抛物线上两对称点， 即对称轴为， ∴根据对称性，与时，函数值相等，都是， ∴该二次函数在时，或， 故答案为：或． 题型七 y=ax2+bx+c的最值问题 解题贴士 一、无范围限制：x取全体实数 解析式：对称轴 1.，抛物线开口向上 顶点是最低点，函数有最小值，无最大值。在 2.，抛物线开口向下 顶点是最高点，函数有最大值，无最小值。在 二、给定自变量范围m≤x≤n(中考重点) 条件 开口向上 开口向下 x全体实数 取最小值，无最大 取最大值，无最小 ，对称轴在区间内 最小在顶点，最大看两端 最大在顶点，最小看两端 ，对称轴在区间外 最值全部在区间端点 最值全部在区间端点 ▌例7（2026·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． ▌对点练7-1．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． ▌对点练7-2．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【答案】 【分析】根据开口向上的二次函数的增减性，按对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，计算不同情况下的最小值，结合已知条件筛选出符合要求的的值即可． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵，的取值范围是， ∴分情况讨论： 若，解得，与已知条件矛盾，舍去此情况； 若，解不等式得， 又，则， 此时函数最小值为顶点纵坐标，不符合最小值为的条件，舍去此情况； 若，解得，符合的要求， 此时整个区间都在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧随增大而减小， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 题型八 待定系数法求二次函数解析式 解题贴士 解题思路步骤 1.设解析式：设 2.把图像上三个点的坐标(x，y)，分别代入一般式，得到关于的三元一次方程组。代入规则：把点里的c替换式子中的x，点里的y替换式子中的y。 3.解三元一次方程组，求出a、b、c的值。 4.把a,b,c代回所设式子，写出函数解析式。 ▌例8（2026·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． ▌对点练8-1．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. ▌对点练8-2．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数一般式，将三点坐标代入构建三元一次方程组，解出后代回解析式． 【详解】解:设该二次函数的解析式为. 将三点坐标分别代入，得 ， 解得， 故该二次函数的解析式为. ▌对点练8-3．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． ▌对点练8-4．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 题型九 二次函数解答题综合-周长问题 ▌例9（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键． （1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解； （3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴． （2）解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． ▌对点练9-1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)周长的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 题型十 二次函数解答题综合-面积问题 ▌例10（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． ▌对点练10-1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． ▌对点练10-2．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 题型十一 二次函数解答题综合-角度问题 ▌例11（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． ▌对点练11-1．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． ▌对点练11-2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3) 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）过点作轴于点为第四象限内抛物线上一点，设点，则，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （3）解：设交轴于点，如图， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得： ， ， 令， 解得：， 点的横坐标为， 把代入得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 题型十二 二次函数解答题综合-特殊三角形问题 ▌例12（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. ▌对点练12-1．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． ▌对点练12-2．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 题型十三 二次函数解答题综合-特殊四边形问题 ▌例13（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴ ， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． ▌对点练13-1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． ▌对点练13-2．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 基础通关 1．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 4．（25-26九年级下·山东泰安·期中）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、顶点坐标和对称轴，再利用二次函数的增减性比较，和的大小，即可得到正确结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 5．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 6．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 【答案】 【分析】设关于的方程的两根为，，利用根与系数的关系得出，，结合两根之差为的条件，推导出关于的表达式，代入得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求的最大值即可． 【详解】设关于的方程的两根为，， 由根与系数的关系可得，， 由题意得， 两边平方得， ， ， 整理得， 将代入，得， 是关于的二次函数，二次项系数，开口向下，顶点处取得最大值， 当时，， 的最大值为． 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 13．（2026·浙江温州·三模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 素养提升 1．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 3．（2026·山东潍坊·模拟预测）我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 【答案】D 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，再整理得到一元二次方程，结合的非负性验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 6．（2026·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入抛物线，得到关于的一元二次方程在上有两个不相等实根，利用二次函数图像性质求解的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线，得， 展开整理得， ∴该一元二次方程在上有两个不相等的实数根 设，该函数开口向上，对称轴为，满足， 如图：：， 解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴． 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． 8．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 11．（2026·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②最大值，此时 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． 【详解】（1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设 ， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 迁移创新 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线转化成顶点式，得到顶点坐标，根据“阶点”定义，代入两点坐标得到方程，解一元一次方程即可求出． （2）设与点互为“阶点”的这一点为，根据“阶点”定义，整理得到关于的一元二次方程，根据“只存在一个点”等价于方程只有个实数解，即判别式，解关于的一元二次方程，得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，                 由题意，得：， 解得：； （2）解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：，                                 ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 2．（25-26八年级下·江西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），点在的延长线上．且（为正整数）．过点的抛物线，其顶点在轴上． (1)点的坐标为__________；点的坐标为__________； (2)当时，抛物线的函数表达式为__________； (3)如图2，抛物线，经过、两点，顶点为．且、、三点在同一直线上． ①求与的关系式； ②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积，规定（其中、均为非零常数），例如：，已知，，若正整数和正整数满足不等式组且，请直接写出值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）把代入抛物线得到，即可得到答案； （2）求出，进一步得到顶点的坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）①求出，得到抛物线的顶点的横坐标为，求出直线的解析式为，由、、三点在同一直线上得到，设抛物线的解析式为，把点的坐标为代入并整理即可得到答案；②先求出，根据题意列出不等式组并解得正整数和正整数满足根据得，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得到， 解得， ∵直线与抛物线相交于两点（点在第一象限）， ∴点的坐标为；点的坐标为； （2）解：当时，（为正整数）． ∵点在的延长线上． ∴， ∵过点的抛物线，其顶点在轴上． ∴顶点的坐标为，即为， 设抛物线的解析式为，把代入得到， 解得 ∴抛物线的解析式为； （3）解：①由题意可得，， 则， 则抛物线的顶点的横坐标为， 设直线的解析式为，把点的坐标为代入得到 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵、、三点在同一直线上． ∴抛物线的顶点的纵坐标为， ∴， ∴抛物线的解析式为， 把点的坐标为代入得到， 解得； ②∵（其中、均为非零常数），，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴ 解得正整数和正整数满足 ， 当时，设四边形的面积， 当时，设四边形的面积， ∵， ∴ 解得 当时，，解得，符合题意， 此时； 当时，，解得，符合题意， 此时； 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 综上可知，值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $