专题 26.2（3）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦二次函数的图象与性质核心知识点，系统梳理一般式与顶点式互化（配方法）、对称轴和顶点坐标公式、系数a,b,c的几何意义、待定系数法求解析式及易错点，构建从基础互化到性质应用再到解题的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，夯实基础部分通过配方法、性质应用等基础题型培养运算能力，巩固提升结合最短路径、面积问题等综合题型发展推理意识，同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现数学思维与应用意识。

专题 26.2（3） 二次函数 的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 1 【知识点二】两大必考公式 1 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 2 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） 2 【知识点五】待定系数法求二次函数解析式 2 【知识点六】易错点归纳 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 3 【题型 2】二次函数的图象与性质（基础） 4 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式（三种基本形式） 5 【题型 4】二次函数增减性与函数值大小比较 5 【题型 5】二次函数的对称性求函数值或对称轴 6 三.题型精析（巩固提升） 7 【题型 6】根据二次函数的对称性求最短路径 7 【题型 7】根据二次函数的图象判断式子的符号 9 【题型 8】二次函数与最大值或最小值求参数 10 【题型 9】二次函数与面积问题 10 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 二次函数一般式： 通过配方可化为顶点式： 【知识点二】两大必考公式 对称轴公式： ； 顶点坐标公式：。 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上，抛物线有最低点 向下，抛物线有最高点 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 当时， 当时， 增减性 1. ，随增大而减小 2. ，随增大而增大 1.，随增大而增大 2. ，随增大而减小 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） a的作用：决定开口方向与开口宽窄，。 a、b共同作用（对称轴位置）口诀：左同右异 1. 同号（），对称轴在y轴左侧； 2. 异号（），对称轴在y轴右侧； 3. ，对称轴为y轴。 c的作用（与y轴交点） 抛物线与轴交于点；交y轴正半轴；交y轴负半轴；过原点。 【知识点五】待定系数法求二次函数解析式 二次函数三种解析式 （1）一般式： 适用场景：已知任意3个普通点坐标（无顶点、无x轴交点）。 特点：通用性最强，计算量大，需解三元一次方程组。 （2）顶点式： 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、最值，搭配1个普通点。 为抛物线顶点，只需解出 ，计算最简单，优先选用。 （3）交点式： 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点，搭配1个普通点。 为一元二次方程 的两个根，仅限抛物线与x轴有交点时使用。 通用标准解题步骤（四步定型） 步骤1：观察条件，选对解析式：根据题目给出的点的特征，优先顺序：交点式＞顶点式＞一般式，最大程度简化计算。 步骤2：设出对应函数解析式：保留未知系数，已知条件直接代入式子固定参数（如顶点、交点横坐标）。 步骤3：代入点坐标，列方程（组）求系数：将已知点的 对应代入解析式，得到关于未知系数的方程或方程组，求解所有未知系数。 步骤4：回代整理，写出最终解析式：把求出的系数代回所设式子，若题目无特殊要求，最终结果统一整理为一般式。 【知识点六】易错点归纳 1：套用对称轴公式忘记负号， 符号极易出错。 2：配方时常数项计算错误，漏乘、漏变号。 3：混淆最值，开口向上只有最小值，开口向下只有最大值。 4：增减性不分对称轴左右区间，直接说递增或递减。 5：忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值（实际区间最值需比较端点与顶点）。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 【例题1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【变式1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）二次函数图象的顶点坐标是_______． 【变式3】（24-25九年级下·陕西榆林·开学考试）已知抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标． 【题型 2】二次函数的图象与性质（基础） 【例题2】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 （1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … （2）结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式2】（第22章易错疑难集训二）已知点，均在抛物线上，给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是________．（填序号） 【变式3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式（三种基本形式） 【例题3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线分别经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【题型 4】二次函数增减性与函数值大小比较 【例题4】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 【变式3】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数 （1）求该函数图象的对称轴； （2）若点在该函数图象上，比较，的大小并说明理由． 【题型 5】二次函数的对称性求函数值或对称轴 【例题5】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（其中、、为常数，且）的变量与变量的部分对应值如下表： … … … … （1）表中________； （2）求此二次函数的解析式及抛物线的顶点坐标． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … （1）根据表格，则n的值为______； （2）求此二次函数的表达式． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】根据二次函数的对称性求最短路径 【例题6】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线经过B，C两点，则_______， ________； （3）在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【变式1】（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【变式3】（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【题型 7】根据二次函数的图象判断式子的符号 【例题7】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【变式2】（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 【题型 8】二次函数与最大值或最小值求参数 【例题8】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数的表达式，求当时，y的最大值与最小值的差． 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为_________． 【变式3】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【题型 9】二次函数与面积问题 【例题9】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作，的平行线，与，的交点分别为，，设． （1）用含的式子表示平行四边形的面积． （2）当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建·期末）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 7．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 8．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 9．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 10．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，且当和时函数值都为m，则m、n的关系式为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 13．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 14．（25-26九年级上·福建福州·期中）若二次函数的图像经过点，，则_____． 15．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的取值范围是_____． 16．（24-25九年级上·福建泉州·期末）抛物线的顶点为，点，点为抛物线上的点．若是底角为的等腰三角形，且，则的面积为_______． 17．（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 18．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）已知二次函数． （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． （2）自变量在什么范围内，随的增大而减小？ 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．求该抛物线和直线的函数解析式． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 23．（本小题满分10分）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图是某个二次函数的图象． （1）求该二次函数关系式； （2）补全函数图象； （3）若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.2（3） 二次函数 的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 2 【知识点二】两大必考公式 2 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 2 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） 2 【知识点五】待定系数法求二次函数解析式 3 【知识点六】易错点归纳 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 4 【题型 2】二次函数的图象与性质（基础） 5 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式（三种基本形式） 9 【题型 4】二次函数增减性与函数值大小比较 11 【题型 5】二次函数的对称性求函数值或对称轴 14 三.题型精析（巩固提升） 17 【题型 6】根据二次函数的对称性求最短路径 17 【题型 7】根据二次函数的图象判断式子的符号 22 【题型 8】二次函数与最大值或最小值求参数 27 【题型 9】二次函数与面积问题 30 四.同步检测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 41 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 47 一.知识梳理 【知识点一】一般式与顶点式互化（配方法） 二次函数一般式： 通过配方可化为顶点式： 【知识点二】两大必考公式 对称轴公式： ； 顶点坐标公式：。 【知识点三】二次函数一般式图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上，抛物线有最低点 向下，抛物线有最高点 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 当时， 当时， 增减性 1. ，随增大而减小 2. ，随增大而增大 1.，随增大而增大 2. ，随增大而减小 【知识点四】系数a、b、c的几何意义（必考） a的作用：决定开口方向与开口宽窄，。 a、b共同作用（对称轴位置）口诀：左同右异 1. 同号（），对称轴在y轴左侧； 2. 异号（），对称轴在y轴右侧； 3. ，对称轴为y轴。 c的作用（与y轴交点） 抛物线与轴交于点；交y轴正半轴；交y轴负半轴；过原点。 【知识点五】待定系数法求二次函数解析式 二次函数三种解析式 （1）一般式： 适用场景：已知任意3个普通点坐标（无顶点、无x轴交点）。 特点：通用性最强，计算量大，需解三元一次方程组。 （2）顶点式： 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、最值，搭配1个普通点。 为抛物线顶点，只需解出 ，计算最简单，优先选用。 （3）交点式： 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点，搭配1个普通点。 为一元二次方程 的两个根，仅限抛物线与x轴有交点时使用。 通用标准解题步骤（四步定型） 步骤1：观察条件，选对解析式：根据题目给出的点的特征，优先顺序：交点式＞顶点式＞一般式，最大程度简化计算。 步骤2：设出对应函数解析式：保留未知系数，已知条件直接代入式子固定参数（如顶点、交点横坐标）。 步骤3：代入点坐标，列方程（组）求系数：将已知点的 对应代入解析式，得到关于未知系数的方程或方程组，求解所有未知系数。 步骤4：回代整理，写出最终解析式：把求出的系数代回所设式子，若题目无特殊要求，最终结果统一整理为一般式。 【知识点六】易错点归纳 1：套用对称轴公式忘记负号， 符号极易出错。 2：配方时常数项计算错误，漏乘、漏变号。 3：混淆最值，开口向上只有最小值，开口向下只有最大值。 4：增减性不分对称轴左右区间，直接说递增或递减。 5：忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值（实际区间最值需比较端点与顶点）。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】配方法化顶点式+求顶点、对称轴、最值 【例题1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 【变式1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 解：， ； 故选A. 【变式2】（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）二次函数图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将题目中二次函数的解析式化为顶点式即可解答本题． 解： ∴该函数的顶点坐标是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·陕西榆林·开学考试）已知抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的顶点式； 利用待定系数法求出抛物线解析式，再将一般式化为顶点式即可得出该抛物线的顶点坐标． 解：∵抛物线经过点， ， ， ∴抛物线的表达式为， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． 【题型 2】二次函数的图象与性质（基础） 【例题2】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 （1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … （2）结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】（1）1；0；1；4；见分析；（2） 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． 解：（1）解：完成表格，如下： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： （2）解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 【变式2】（第22章易错疑难集训二）已知点，均在抛物线上，给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是________．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质，根据题意作图，由函数图像即可判断正误．解题的关键是根据题意作图进行分析求解． 解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴当时，，故①错误，②正确． ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，当时，，故③错误，④正确． 故答案为：②④． 【变式3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）直线；（3）当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键． （1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值； （2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴； （3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案． 解：（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴a的值为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （3）解：∵，对称轴为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式（三种基本形式） 【例题3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式假设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 解：设二次函数解析式为， 则由顶点为知，． ， 把代入解析式得， 解得， 解析式为． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 【答案】D 【分析】将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 解：∵ 图象经过点和， ∴ 代入解析式 得， ， 解得 ， 故选：D． 【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 解：当时，函数取得最值10，即抛物线的顶点坐标为， 设， 当时，， 把代入， 得， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线分别经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 【题型 4】二次函数增减性与函数值大小比较 【例题4】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】（1）见分析；（2）图见分析；（3）减小， 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确的画出函数图像是解题的关键． （1）把自变量的值代入函数解析式进行求解即可； （2）描点，连线，作图即可； （3）直接根据图像作答即可． 解：（1）解：当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． （2）解：画出二次函数的图像如下： （3）解：①观察图像可知，当时，随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； 由二次函数解析式可得对称轴为直线 ，且开口向下，点 和点 均在对称轴左侧，利用函数的增减性即可判断． 解：∵二次函数 （） ∴对称轴为直线 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧（即 ）时，函数随 增大而增大， 点 和点 的横坐标满足 ， 因此 ， 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数 （1）求该函数图象的对称轴； （2）若点在该函数图象上，比较，的大小并说明理由． 【答案】（1）直线；（2）当时，；当时，．理由见分析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）运用二次函数的对称轴直线代入数值化简，即可作答． （2）先得出，要进行分类讨论，即可作答． 解：（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：当时，；当时，．理由如下： ∵点，在该函数图像上， ∴， 则， 当时，则，即； 当时，则，即． 综上：当时，；当时，． 【题型 5】二次函数的对称性求函数值或对称轴 【例题5】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（其中、、为常数，且）的变量与变量的部分对应值如下表： … … … … （1）表中________； （2）求此二次函数的解析式及抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）-3；（2），（-2，1）． 【分析】（1）先根据当和当时的函数值相同，可得到二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性即可得到当和当时的函数值相同，由此求解即可； （2）利用待定系数法先求出二次函数的解析式，然后化成顶点式求出顶点坐标即可． 解：（1）∵由表格可知，当和当时的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴； 故答案为：-3； （2）把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入二次函数中得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为（-2，1）． 【点拨】本题主要考查了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．若抛物线上两点关于对称轴对称，则此两点的纵坐标即函数值相同，据悉解答即可． 解：观察表格，发现当和时，函数值相同为， 则两点关于对称轴对称， 则二次函数的对称轴为直线． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … （1）根据表格，则n的值为______； （2）求此二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键． （1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可； （2）由表格数据运用待定系数法求解即可． 解：（1）解：由表格可得抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵与关于对称轴对称， ∴． 故答案为：． （2）解：由表格可知抛物线过点，，， ∴， 解得： ， ∴二次函数的表达式为． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】根据二次函数的对称性求最短路径 【例题6】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线经过B，C两点，则_______， ________； （3）在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）1，4；（3） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 解：（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 【变式1】（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 解：抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【变式3】（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 解：（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． （2）抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 【题型 7】根据二次函数的图象判断式子的符号 【例题7】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 【变式2】（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象和系数关系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据图象开口方向，与y轴交点及对称轴可判断①；由时的函数值正负性可判断②；由时的函数值正负性可判断③；由对称轴得到，代入时的函数值可判断④；由时，函数有最大值可判断⑤． 解：①由图象可知：，，， ∴， ∴，故此选项正确； ②由图象可知：当时，函数值小于0，即，故此选项错误； ③由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ④由图象可知：， ∴， 由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值小于0，即， ∴，故此选项正确； ⑤由图象可知：当时，y的值最大，此时， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故此选项错误； 故①③④正确． 故答案为：①③④． 【题型 8】二次函数与最大值或最小值求参数 【例题8】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数的表达式，求当时，y的最大值与最小值的差． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴和顶点坐标的求法． 先确定二次函数的对称轴和顶点坐标，再确定y的最大值和最小值． 解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y的最小值为，最大值为， 的最大值与最小值的差为． 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限，同时由最小值可得，即可得到答案． 解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 抛物线的图象经过点，，从而可得，且，可得的值，进而可得函数的表达式； 由，故当时，取最大值为，再结合和分别进行讨论，同时结合即可判断得解． 解：（1）解：抛物线的图象经过点，， ，且， ， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意，， 当时，取最大值为， 当时，又， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为， 又， ， ， ； 当时， 若，即， ， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为，此时，符合题意． 若，即， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为， 又， ． ， 或，不符合题意． 综上，． 【题型 9】二次函数与面积问题 【例题9】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作，的平行线，与，的交点分别为，，设． （1）用含的式子表示平行四边形的面积． （2）当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，平行四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）通过平行得到，借助勾股定理，求得，得到根据面积公式得出答案； （2）先化成顶点式，从而得出答案． 解：（1）解∶，， ， ，，， ，， ， ，， ， ． （2）， 当时，平行四边形的面积最大，最大面积是． 【点拨】本题考查了二次函数的最值，“所对的直角边等于斜边的一半”，勾股定理，平行的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 【变式2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 解：（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）；（2）有最大值为，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． 解：（1）解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 2．（25-26九年级上·福建·期末）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．利用抛物线经过原点和点（2,0）的条件，求出，，再代入对称轴公式，进行化简，即可作答． 解：∵抛物线经过点和原点． ∴把和代入， 得 解得，， 则该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称性．由题意可得互为相反数，即，由此可以确定所求的函数值． 解：∵在中，抛物线的对称轴是y轴， 当分别取，时，函数值相等， ∴，互为相反数， ∴， 当时，． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上，从而得到点离对称轴越远，函数值越大，再由点，也是该函数图象上的两动点，且总有，可得点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离，即可求解． 解：∵点，是二次函数上的两点， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，也是该函数图象上的两动点，且总有， ∴点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离， 即， 解得：． 故选：A 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答． 解：∵时， ∴是方程的一个根； ∵与时y值均为2， 故对称轴为， 设另一个根为， 则与关于对称，即； 解得 ∴方程的根为，， 故选：C． 7．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 8．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． 根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可． 解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 9．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，且当和时函数值都为m，则m、n的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像性质以及函数值相等时的对称性应用．通过代入法结合代数运算得出参数关系，体现了数形结合与代数推理的综合运用．由二次函数与轴只有一个公共点，可设其顶点形式，再根据对称轴求出顶点横坐标，代入求. 解：∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴可设，其中为顶点横坐标. 又∵当和时函数值都为， ∴点和关于对称轴对称， ∴对称轴. 当时，. ∴. 故选：D. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的定义，正确记忆二次函数一般式的特点是解题关键． 将二次函数的顶点式化为一般式，再求二次项系数与常数项之和。 解：将二次函数化为一般式得：， 其中二次项系数为，常数项为，它们的和为， 故答案为 ：，． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线有最高点需满足二次项系数小于零，即开口向下． 解：抛物线 有最高点， 二次项系数， 解得， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 14．（25-26九年级上·福建福州·期中）若二次函数的图像经过点，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据抛物线的对称性求对称轴， 由于点A和点B的纵坐标相同，它们关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴公式或代入坐标解方程即可求解． 解：∵二次函数的图像经过点和，且两点纵坐标相等， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， 解得． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先得到，求出二次函数开口向上，对称轴为直线，有最小值，然后将代入得到，进而求解即可． 解：∵， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，有最小值， 比离对称轴远，对应的函数值较大， 把代入， ∴当时，函数值y的取值范围是． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·福建泉州·期末）抛物线的顶点为，点，点为抛物线上的点．若是底角为的等腰三角形，且，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解直角三角函数，求得点的坐标是解题的关键．设抛物线的对称轴为轴，则抛物线为，，设，则，解直角三角形求得即可求得把的坐标代入求得的值，从而把求得和，利用三角形面积公式求得即可． 解：设抛物线的对称轴为轴，则， ， 设，则，如图，   是底角为的等腰三角形， , 即 把的坐标代入得， 解得，舍去， ，， 的面积为：． 故答案为：． 17．（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 【答案】 2 或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键． （1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）由题意可知，当时，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：2； （2）当时，， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，    当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 18．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式及线段最值问题，熟练掌握利用坐标差表示平行于轴的线段长度，以及二次函数的最值求法是解题的关键．先通过抛物线求出点的坐标，再代入求出的值；设点、的横坐标为（），分别写出两点的纵坐标，从而得到的长度表达式，最后利用二次函数的性质求出其最大值． 解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）已知二次函数． （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． （2）自变量在什么范围内，随的增大而减小？ 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；（2）当（或）时，随的增大而减小 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数配成顶点式，然后问题可求解； （2）根据二次函数的开口方向是向下，然后再根据二次函数的性质可进行求解． 解：（1）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， 抛物线的开口向下． 又抛物线的对称轴为直线， 当（或）时，随的增大而减小． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 【答案】当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质． 把二次函数化为顶点式，可知图象的开口方向和对称轴，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，求解即可． 解：∵，， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为4， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．求该抛物线和直线的函数解析式． 【答案】抛物线的函数解析式为；直线的函数解析式为. 【分析】本题考查求函数解析式，利用待定系数法是解决问题的关键． 利用待定系数法将点，代入所求解析式即可求解； 解：把点，代入，得： ， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； 设直线的函数解析式为，把点，代入得： 解得， ∴直线的函数解析式为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． （1）求直线l的表达式； （2）点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 解：（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 23．（本小题满分10分）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图是某个二次函数的图象． （1）求该二次函数关系式； （2）补全函数图象； （3）若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 解：（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 24．（本小题满分12分）（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $