26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 （重难点突破+过关检测） 2025-2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，以配方法、公式法转化顶点式为起点，衔接开口方向、对称轴、顶点坐标等图象特征，延伸至增减性、最值、平移规律，最终通过待定系数法及a,b,c对图象的影响构建完整知识支架。 该资料题型分类系统，含7大基础与综合题型及变式练习，通过例题解析与“五点法”画图培养抽象能力和几何直观，结合实际问题应用提升推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过过关练习巩固知识，查漏补缺。

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c(a)的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+bx+c转化成顶点式 题型2 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 题型3 抛物线的开口方向、对称轴、顶点 题型4 抛物线的最值和增减性 题型5 抛物线y=ax²+bx+c的平移 题型6待定系数法及其应用 题型7系数a,b,c 对抛物线的影响 · 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； · 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； · 理解a,b,c 对图像的影响； 知识点讲解 1. 二次函数(a)的顶点坐标、对称轴 （1）配方法 （2）公式法 顶点坐标（），对称轴是x= 2. 二次函数的图像和性质 （1）二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. （2）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值；抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的.当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. 当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值；抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的.当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 3. a,b,c对抛物线性质的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 题型归纳 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 【例1】将化成的形式为_________． 【例2】写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (1)； (2)． 【变式练习】 1．二次函数图象的顶点坐标是___________． 2．将二次函数化为顶点式___________，其顶点坐标是___________． 3．已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 题型2 二次函数的图像 【例1】已知二次函数 (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【变式练习】 1．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 2．已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 题型3 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标 【例1】二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 【例2】抛物线的顶点坐标为_____． 【例3】二次函数的图象的对称轴是直线________． 【例4】已知抛物线的顶点在x轴上，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式练习】 1．是一个开口向下的二次函数，那么__． 2．二次函数的对称轴是直线____________． 3．二次函数图象的顶点坐标为___________． 4．已知抛物线的顶点在x轴上，那么b的值为___________． 5．如果抛物线对称轴是直线，那么________． 6．已知抛物线的顶点在y轴上，则________． 题型4 二次函数的增减性 【例1】已知抛物线上不同的两点，，当时，则________．（填“”、“”或“”号） 【例2】已知二次函数，当时，该二次函数的最小值为____________． 【例3】已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 【变式练习】 1．二次函数的最大值是___________． 2．已知抛物线上有两点，则的大小关系为___________（结果用“”连接）． 3．二次函数有最小值为______． 4．已知点，，在抛物线上，则的大小关系是___________． 题型5 抛物线的平移 【例1】将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【例2】若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 2．把二次函数的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，所得的函数图象顶点为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后图象经过原点，则的值是（    ） A．5或 B． C．5 D．2 4．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为______． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为______________． 5．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______． （2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______． 题型6 待定系数法及其应用 【例1】用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)二次函数的图象经过点，，． (2)二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (3)二次函数的图象与x轴的交点为，，且经过点． 【例2】如图，抛物线其中为常数且经过点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 【变式练习】 1．一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________． 3．已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 4．如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 5．已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 6．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． (4)当时，直接写出的取值范围． 题型7 系数a,b,c对抛物线的影响 【例1】如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式练习】 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 4．已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 5．二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_____（填序号）． 过关练习 一、单选题 1．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 4．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过的象限是（  ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限； C．第二、三、四象限； D．第一、三、四象限 6．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，随增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若，则图象与轴交于负半轴 7．已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数的图像经过原点，那么_________． 12．二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 13．若将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是_____________ 14．已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 15．已知抛物线沿轴上下平移后经过点，那么平移后新抛物线的解析式是______． 16．已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________． 17．已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 18．已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 三、解答题 19．用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 20．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 21．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 22．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 23．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 24．二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 25．如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c(a)的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+bx+c转化成顶点式 题型2 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 题型3 抛物线的开口方向、对称轴、顶点 题型4 抛物线的最值和增减性 题型5 抛物线y=ax²+bx+c的平移 题型6待定系数法及其应用 题型7系数a,b,c 对抛物线的影响 · 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； · 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； · 理解a,b,c 对图像的影响； 知识点讲解 1. 二次函数(a)的顶点坐标、对称轴 （1）配方法 （2）公式法 顶点坐标（），对称轴是x= 2. 二次函数的图像和性质 （1）二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. （2）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值；抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的.当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. 当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值；抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的.当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 3. a,b,c对抛物线性质的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 题型归纳 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 【例1】将化成的形式为_________． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例2】写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出开口方向向上，再化为顶点式，得出对称轴以及顶点坐标，即可作答． （2）先得出开口方向向下，再化为顶点式，得出对称轴以及顶点坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴开口方向向上， 则， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，且， ∴开口方向向下， 则， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式练习】 1．二次函数图象的顶点坐标是___________． 【详解】解：， 所以顶点坐标为． 2．将二次函数化为顶点式___________，其顶点坐标是___________． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 3．已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向上， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向上， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 题型2 二次函数的图像 【例1】已知二次函数 (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表 x … 0 1 2 3 4 … y 3 1 -1 0 3 描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 【变式练习】 1．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 2．已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 【详解】（1）解： =-(x+1)2+4 列表如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数如图所示：    （2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为， 故答案为：； ②由图可知，该二次函数对称轴为直线， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 题型3 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标 【例1】二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 取即能满足题意． 【例2】抛物线的顶点坐标为_____． 【详解】解：∵ ； ∴顶点坐标为. 【例3】二次函数的图象的对称轴是直线________． 【详解】解：在二次函数中，，，则对称轴为直线． 【例4】已知抛物线的顶点在x轴上，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【详解】解：∵=2, ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴， 故选：A． 【变式练习】 1．是一个开口向下的二次函数，那么__． 【详解】解：根据题意，得，即 ， ∴， 解得 或 ， 又∵函数图象开口向下， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．二次函数的对称轴是直线____________． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线. 故答案为：． 3．二次函数图象的顶点坐标为___________． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 4．已知抛物线的顶点在x轴上，那么b的值为___________． 【详解】解：∵抛物线的顶点是（） 又∵顶点在x轴上 ∴=0 ∴b=0或b=8 故答案为b=0或b=8． 5．如果抛物线对称轴是直线，那么________． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：． 6．已知抛物线的顶点在y轴上，则________． 【详解】解：抛物线的顶点横坐标为， 顶点在轴上，则， 即 整理得， 解得或， 故答案为：或． 题型4 二次函数的增减性 【例1】已知抛物线上不同的两点，，当时，则________．（填“”、“”或“”号） 【详解】解：抛物线 的二次项系数为，则该抛物线的开口向上； ∵抛物线的对称轴为直线， 故当时，y随x增大而增大， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【例2】已知二次函数，当时，该二次函数的最小值为____________． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，二次项系数，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵，区间在对称轴右侧， ∴当时，取得最小值， 此时． 【例3】已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当 时，开口向上，最小值在 处取得， 代入得， 令，解得； ②当时，开口向下，最小值在 处取得（因距离对称轴较远）， 代入得， 令，解得． 故答案为：或． 【变式练习】 1．二次函数的最大值是___________． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，顶点横坐标，在内． 当时，； 当时，． ∴最大值为5． 故答案为5． 2．已知抛物线上有两点，则的大小关系为___________（结果用“”连接）． 【详解】解：抛物线上有两点， 当时，， 当时，， ， ， 故答案为：． 3．二次函数有最小值为______． 【详解】解：∵， ∴开口向上，在对称轴处取得最小值， 则对称轴为直线， ∴把代入，得， 故答案为：5． 4．已知点，，在抛物线上，则的大小关系是___________． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，开口向上， ∵点，，在抛物线上， ∵，，，， ∴． 故答案为：． 题型5 抛物线的平移 【例1】将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【详解】解：抛物线，则它的顶点坐标为， 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线为． 此时抛物线顶点坐标是． 故选：D． 【例2】若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】∵将抛物线向左平移1个单位或向右平移3个单位后都经过点， ∴抛物线经过点和， ， ， 故选：D． 【例3】把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前二次函数的顶点坐标为， ∴平移后二次函数的顶点坐标为，即 ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上， ∴平移后的二次函数只能是与y轴有一个交点，与x轴没有交点， ∴平移后的二次函数顶点一定在x轴上方， ∴， 解得：， 故选A． 【变式练习】 1．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，平移后图象的顶点为， ∴需向上平移个单位． 故选：A． 2．把二次函数的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，所得的函数图象顶点为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴的顶点是：， ∵图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位， ∴平移后的顶点是：， 故选：B； 3．已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后图象经过原点，则的值是（    ） A．5或 B． C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴在轴左侧，得，由平移前的点代入解析式求出k=5或k=-2，判断可得． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在轴左侧， ∴，得， ∵将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后图像经过原点， ∴该点在图象上的坐标为（3，-1）， 将点（3，-1）代入解析式，得9+3k-k2=-1， 解得k=5或k=-2， 故k的值为5， 故选：C． 4．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为______． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为______________． 【详解】（1）． 函数图象的对称轴为直线， ， ． （2）由（1）知，， 二次函数的解析式为， 抛物线向下平移3个单位长度后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式为． 5．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______． （2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位， ∴， ∵平移后的二次函数图象经过点， ∴， 解得， 故答案为3或1； （2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点， ∴， ∴与y轴交点的纵坐标最大值为2． 故答案为2． 题型6 待定系数法及其应用 【例1】用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)二次函数的图象经过点，，． (2)二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (3)二次函数的图象与x轴的交点为，，且经过点． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把三点的坐标分别代入解析式， 得，解得． 故二次函数的解析式为． （2）解：设二次函数的解析式为． 把代入解析式，得 解得． 故二次函数的解析式为． （3）解：设二次函数的解析式为． 得，解得． 故二次函数的解析式为． 【例2】如图，抛物线其中为常数且经过点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E． 设直线的解析式为．将代入，得 解得 直线的解析式为． 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ． ，开口向下 当时，有最大值，此时点P的坐标为． 故答案为： ． 【变式练习】 1．一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题可知，对称轴为直线， 设二次函数解析式为． 将两点代入， 得， 解得． 故这个二次函数的解析式为． 故选：D. 2．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 3．已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 4．如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 【详解】解：由图象可得，， 把分别代入二次函数表达式，得， 解得， 二次函数的表达式为． 5．已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过点， ∴， 解得， ∴，即． 6．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． (4)当时，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可知，二次函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 将代入，解得 ， 故二次函数的解析式为，即． （2）解：如图为二次函数的图象． （3）解：点，，如图所示． 据图可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 故． （4）解：二次函数的解析式为， 当，有最小值， 当，， 当，， 故的取值范围为． 题型7 系数a,b,c对抛物线的影响 【例1】如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 【例2】如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象过轴正半轴， ， ， ， ，故①正确； 当时，， 即， ，故②正确； 由题知时，，， ， ， ， ∵该函数图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得：，故③正确； 由③同理可得，即 ， ∵ ∴ ∴故④错误． 综上所述，正确的序号是①②③， 故选：A． 【变式练习】 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线过点， ∴，故D错误． 故选：C． 2．二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：抛物线开口向上，与y轴的交点位于y轴的正半轴， ，， 选项A错误，C错误； 对称轴在y轴的右侧， ， ， 选项B正确； 由图可知，当时，， ， 选项D错误； 故选：B． 3．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 4．已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ，故①正确； ②当时，，故，故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误； ④由对称知，当时，函数值小于，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时， ， 所以， 故，即，故⑤错误． 故①②④正确． 故答案为：①②④． 5．二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_____（填序号）． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 又∵对称轴， ， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ， ，故①错误； ②根据图示知，当时，，即，故②正确； ③根据图示知，当时，，即，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 过关练习 一、单选题 1．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 2．二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称轴是即可求解． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 3．若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点坐标的求解及象限内点的坐标特征，正确求出顶点坐标是解题关键． 先求出抛物线的顶点坐标，再根据第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0的特征列不等式组求解． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点横坐标， 代入得顶点纵坐标， ∴ 顶点坐标为 ． ∵ 顶点在第二象限， ∴ 且 ， 解得：． 故选：C． 4．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最低点得到抛物线开口向上，则，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是最低点， ∴二次项系数， ∴ ． 故选：C． 5．已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过的象限是（  ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限； C．第二、三、四象限； D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质， 根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴可得a，b，c的取值范围，再根据一次函数的系数得出答案. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴. ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴. ∵抛物线的对称轴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，三象限. 故选：A. 6．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，随增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若，则图象与轴交于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质特点逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数化成顶点式为． A、由可知，函数图象开口向下，则此项错误，不符合题意； B、由函数的顶点式和可知，当时，随增大而减小，则此项错误，不符合题意； C、由函数的顶点式可知，图象顶点的横坐标为，则此项正确，符合题意； D、因为二次函数与轴的交点坐标为，所以若，则图象与轴交于正半轴，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 7．已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除A，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除A； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，排除B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C． 故选：D． 10．已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点在轴的负半轴上， ， 对称轴为， 、同号，即． 故选：D． 二、填空题 11．已知二次函数的图像经过原点，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．将原点坐标代入二次函数解析式求解即可． 【详解】解：把原点代入解析式，得， 即， 解得：． 故答案为：． 12．二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【答案】 直线 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 二次函数解析式化为顶点式，利用的图象和性质，即可得顶点坐标和对称轴． 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 故答案为：，直线． 13．若将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是_____________ 【答案】 【分析】本题考查把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的平移规律，结合“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵向左平移3个单位， ∴平移后抛物线的表达式为， 故答案为：． 14．已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 15．已知抛物线沿轴上下平移后经过点，那么平移后新抛物线的解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移．熟练掌握抛物线平移的规律，待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 设抛物线沿y轴平移后解析式变为，利用平移后的抛物线经过点，代入求解k的值，即得． 【详解】解：设抛物线沿y轴平移后解析式变为， 将点代入， 得， 即， 解得， 故新解析式为． 故答案为；． 16．已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线有最高点，则抛物线开口向下，故二次项系数小于零，即，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点和是对称点，根据二次函数对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 18．已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； 由二次函数解析式可得对称轴为直线 ，且开口向下，点 和点 均在对称轴左侧，利用函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数 （） ∴对称轴为直线 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧（即 ）时，函数随 增大而增大， 点 和点 的横坐标满足 ， 因此 ， 故答案为： ． 三、解答题 19．用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 【详解】解： ， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． 20．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 21．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 22．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 23．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】解析式为；开口向下；顶点为；对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由判断开口方向，配方得到顶点式即可求解顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 24．二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质， 对于（1），根据抛物线中对称轴为解答；再根据抛物线的对称性求出另一个交点； 对于（2），将两个点的坐标代入关系式，再根据顶点式求出顶点坐标． 【详解】（1）解：①， 抛物线的对称轴为直线 故答案为： ②抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点坐标是， 图象与x轴的另一个交点坐标为 故答案为： （2）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 它的顶点坐标为 25．如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $