26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第3课时 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过回顾y=ax²+k“上加下减”与y=a(x-h)²“左加右减”的平移规律，以“两种平移如何结合”的问题自然衔接，搭建前后知识的学习支架。 该教案融合直观想象、逻辑推理与数学建模，利用几何画板动态演示平移过程，探究先左右后上下与先上下后左右的等价性，结合喷水池问题建立坐标系用顶点式求解，培养学生从数学角度观察、思考和表达现实世界的能力，助力教师系统教学，提升学生知识迁移与应用能力。

教案：26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（第3课时） 课题 26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（第3课时） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十六章 教学方法 类比探究、数形结合、动态演示、讲练结合 教学用具 多媒体课件、几何画板、坐标纸 教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十六章"二次函数"的第二节"二次函数的图象和性质"第3课时。学生在前面两个课时已经分别学习了二次函数y=ax²+k的上下平移规律（"上加下减"）和y=a(x-h)²的左右平移规律（"左加右减"），已经掌握了用描点法画图、对比观察、归纳性质的研究方法。本节课将两种平移规律结合起来，学习y=a(x-h)²+k的综合形式，也称为"顶点式"。核心是让学生理解：y=a(x-h)²+k的图象可以由y=ax²经过左右平移和上下平移得到，顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h。本节课是二次函数图象研究的收尾课，也是后续学习二次函数与实际应用问题的基础。 学情分析 学生已经分别掌握了"上加下减"和"左加右减"两条平移规律，对y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象与性质有较好的理解。但是，学生可能对"先左右平移还是先上下平移"存在困惑，需要明确平移顺序不影响最终结果。此外，顶点坐标从(h,0)或(0,k)变为(h,k)，最值从0变为k，这是学生需要适应的新变化。喷水池实际应用题（例2）涉及到建立坐标系、设解析式、代入求解的过程，对学生的综合应用能力要求较高，需要通过例题精讲帮助学生建立解题模型。 一、核心素养目标 1. 直观想象 通过描点法画二次函数的图象，并与对比，直观感受括号内常数h和括号外常数k对抛物线位置的综合影响。借助几何画板动态演示，观察h和k值变化时抛物线先左右后上下（或先上下后左右）的平移过程，建立解析式变化与图象平移之间的几何直观。 2. 逻辑推理 通过"画的图象分析平移路径归纳与之间的关系推广到一般情况"的探究过程，经历从特殊到一般的归纳推理。在探究过程中，验证"先左右后上下"与"先上下后左右"两种平移路径的等价性，体会分类讨论和逻辑推理的思想方法。 3. 数学抽象 从具体的二次函数的图象中，抽象出"抛物线的顶点是(h,k)"、"对称轴是直线x=h"、"最值是k"等一般性结论。理解顶点式的命名由来——从解析式中可以直接读出顶点坐标(h,k)，体会数学符号的简洁性和抽象性。 4. 数学建模 通过喷水池实际应用题（例2），经历"建立坐标系设顶点式解析式代入已知点求系数解决实际问题"的完整建模过程。体会将实际问题转化为二次函数模型，利用顶点式的几何意义简化求解过程。 二、教学重难点 教学重点 1. 理解抛物线与抛物线之间的平移关系——由先左右平移|h|个单位再上下平移|k|个单位得到（或先上下再左右）。 2. 掌握抛物线的开口方向（由a决定）、对称轴（直线x=h）、顶点坐标(h, k)、最值以及增减性规律。 3. 能运用顶点式解决实际问题，会建立坐标系并设解析式求解。 教学难点 1. 理解"先左右平移再上下平移"与"先上下平移再左右平移"两种路径的等价性——平移顺序不影响最终结果，但平移方向和距离由h和k的符号分别决定。 2. 在无图的情况下，仅凭解析式快速准确地判断y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性，做到"见解析式即知图象"。 3. 运用顶点式建立实际问题的数学模型——准确确定坐标系原点的位置，根据题意确定顶点坐标(h,k)，再代入已知点求出a的值。 三、教学过程 环节一：回顾旧知（3分钟） 【教师活动】同学们，在前两个课时中，我们分别学习了二次函数y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象和性质。请同学们回忆一下，这两类函数分别是由y=ax²怎样平移得到的？平移规律是什么？ 【学生活动】y=ax²+k是由y=ax²上下平移得到的，平移规律是"上加下减"：k>0时向上平移|k|个单位，k<0时向下平移|k|个单位。平移后对称轴不变（仍是y轴），顶点从(0,0)变为(0,k)。y=a(x-h)²是由y=ax²左右平移得到的，平移规律是"左加右减"：h>0时向右平移|h|个单位，h<0时向左平移|h|个单位。平移后对称轴从x=0变为x=h，顶点从(0,0)变为(h,0)。 【教师活动】总结得非常全面！"上加下减"控制上下平移，"左加右减"控制左右平移。现在请同学们思考一个问题：如果我们将两种平移结合起来，也就是说，在y=ax²的基础上，既改变括号内x的形式（变成x-h），又加上常数项k，变成y=a(x-h)²+k，那么它的图象应该怎样由y=ax²平移得到呢？ 【学生活动】可以先左右平移，再上下平移，最终得到y=a(x-h)²+k。或者先上下平移，再左右平移，结果应该是一样的。 【教师活动】你的猜想很有道理！今天我们就来验证这个猜想，系统地学习二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质。这种形式因为可以直接读出顶点坐标(h,k)，所以被称为"顶点式"。 【过渡语】通过回顾"上加下减"和"左加右减"两条平移规律，自然地引出将两者结合的问题——y=a(x-h)²+k是由y=ax²怎样平移得到的？这一猜想激发了学生的探究欲望，也为本节课的核心内容做好铺垫。 【设计意图】以复习旧知引入新课，既巩固了前两个课时的平移规律，又通过"两条规律如何结合"的问题自然过渡到本节课的核心内容。学生已经具备了分别研究上下平移和左右平移的经验，将两者结合是水到渠成的认知发展。 环节二：探究y=a(x-h)²+k的图象和性质（10分钟） 一、画y=-½(x+1)²-1的图象并分析特征 【教师活动】请同学们拿出坐标纸，我们用描点法画出y=-(x+1)²-1的图象。请先列表，以对称轴x=-1为中心对称取点。 以x=-1为中心，取x=-4,-3,-2,-1,0,1,2，分别计算对应的y值。注意：先算括号内的(x+1)²，再乘-½，最后减1。 【教师活动】请同学们将表中的点描在坐标系中，然后用平滑曲线连接，观察图象的形状和特征。 【教师活动】请同学们从开口方向、对称轴、顶点坐标三个方面，描述这个函数的图象特征。 【学生活动】因为a=-<0，所以开口向下。对称轴是直线x=-1。顶点坐标是(-1,-1)，顶点是最高点。 【教师活动】非常好！同学们观察得很准确。现在请思考：y=-(x+1)²-1的图象可以由y=-x²的图象怎样平移得到？有几种平移路径？ 二、探究y=-(x+1)²-1与y=-x²的平移关系 【教师活动】请同学们先独立思考，然后小组讨论，y=-(x+1)²-1可以由y=-x²经过怎样的平移得到？看哪个小组能找到更多的平移路径。 【学生活动】路径一：先左右平移，再上下平移。y=-x²向左平移1个单位得到y=-(x+1)²，再向下平移1个单位得到y=-(x+1)²-1。 【学生活动】路径二：先上下平移，再左右平移。y=-x²向下平移1个单位得到y=-x²-1，再向左平移1个单位得到y=-(x+1)²-1。 【教师活动】两个小组都找到了正确的平移路径！同学们注意到没有，无论先左右平移还是先上下平移，最终得到的图象是完全相同的。这说明平移顺序不影响最终结果。 【知识点】平移路径小结：由平移得到，有两种等价路径：路径一：先向左平移1个单位（h=-1），再向下平移1个单位（k=-1）；路径二：先向下平移1个单位（k=-1），再向左平移1个单位（h=-1）；结论：平移顺序不影响最终结果，平移后的图象完全相同。平移规律总结：左右平移"左加右减"（括号内），上下平移"上加下减"（括号外）。 【教师活动】现在让我们把这个结论推广到一般情况。抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax²有什么关系？ 【学生活动】一般地，抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax²(a≠0)形状相同，位置不同。y=a(x-h)²+k可以由y=ax²先向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到。也可以先上下平移，再左右平移。 【设计意图】通过具体函数y=-(x+1)²-1的探究，让学生在亲手画图、对比观察的基础上，自己发现y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的平移关系。两种平移路径的探究，既验证了平移顺序的无关性，也帮助学生建立起"先左右后上下"和"先上下后左右"两种思维路径，加深对平移规律的理解。 环节三：归纳平移规律与性质表格（7分钟） 一、归纳y=a(x-h)²+k与y=ax²的平移总规律 【教师活动】通过刚才的探究，我们可以得出一般结论。请同学们结合屏幕上的归纳图，总结y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的平移关系。 平移路径一：向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位→向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位→。 平移路径二：向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位→向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位→。 【教师活动】总结得很好！请同学们记住口诀：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减。二次项系数a在整个平移过程中保持不变。 【知识点】平移总规律（口诀）：1. 上下平移——括号外"上加下减"：k>0向上平移|k|个单位，k<0向下平移|k|个单位；2. 左右平移——括号内"左加右减"：h>0向右平移|h|个单位，h<0向左平移|h|个单位；3. 平移顺序不影响最终结果（先左右后上下，或先上下后左右均可）；4. 平移过程中开口方向、开口大小（由a决定）保持不变；5. 二次项系数a始终不变。 【设计意图】系统归纳平移总规律，将前两个课时分别学习的"上加下减"和"左加右减"整合为统一的平移规律体系。强调平移顺序的无关性，帮助学生建立完整的知识框架。 二、认识顶点式y=a(x-h)²+k 【教师活动】y=a(x-h)²+k这种形式有一个专门的名称，叫做"顶点式"。请同学们想一想，为什么叫"顶点式"？ 【学生活动】因为从解析式y=a(x-h)²+k中，可以直接读出顶点坐标为(h,k)。h是顶点横坐标，k是顶点纵坐标。 【教师活动】同学们说得非常对！顶点式的最大优点就是可以直接读出顶点坐标(h,k)和对称轴x=h。之前学过的y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²，其实都是顶点式y=a(x-h)²+k的特殊形式。 当h=0且k=0时，变为，顶点(0,0)； 当h=0时，变为，顶点(0,k)； 当k=0时，变为，顶点(h,0)。 【设计意图】顶点式的引入，将之前学习的y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²统一到一个框架下，体现了数学知识的整体性和系统性。学生从"顶点式"的命名中直接感受到数学符号的简洁性——一个解析式即包含了图象的所有关键信息。 三、归纳y=a(x-h)²+k的图象和性质（完整表格） 【教师活动】请同学们根据刚才的探究和归纳，完成y=a(x-h)²+k的图象和性质表格。从开口方向、对称轴、顶点坐标、顶点特征、增减性和最值六个方面，分别归纳a>0和a<0两种情况。 【学生活动】a>0时：开口向上，对称轴是直线x=h，顶点(h,k)是最低点。当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大；当x=h时，y有最小值k。a<0时：开口向下，对称轴是直线x=h，顶点(h,k)是最高点。当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小；当x=h时，y有最大值k。两种情况共同点：|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。 【教师活动】总结得非常全面！与y=ax²相比，y=a(x-h)²+k最大的变化是：对称轴从y轴（x=0）变为x=h，顶点从(0,0)变为(h,k)，最值从0变为k。开口方向、开口大小和增减性规律（相对于对称轴）都与y=ax²完全一致。 【知识点】二次函数的图象和性质总表：【a>0时】开口方向：向上；对称轴：直线x=h；顶点坐标：(h, k)，是最低点；增减性：x<h时y随x增大而减小，x>h时y随x增大而增大；最值：当x=h时，y有最小值k；【a<0时】开口方向：向下；对称轴：直线x=h；顶点坐标：(h, k)，是最高点；增减性：x<h时y随x增大而增大，x>h时y随x增大而减小；最值：当x=h时，y有最大值k；【共同点】|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。 规律总结：分析性质的"五步法"：第一步，看a的符号——判断开口方向（a>0向上，a<0向下）；第二步，看|a|的大小——判断开口大小；第三步，看h的值——确定对称轴x=h和顶点横坐标；第四步，看k的值——确定顶点纵坐标和最值；第五步，结合a的符号和对称轴——判断增减性。a>0时顶点(h,k)最低，最小值k；a<0时顶点(h,k)最高，最大值k。 方法归纳：顶点式的核心优势：1. 直接读出顶点坐标(h, k)——不需要配方或计算；2. 直接读出对称轴x=h——对称轴与顶点横坐标相同；3. 直接读出最值k——a>0时最小值k，a<0时最大值k；4. 已知顶点坐标时，可直接设解析式为顶点式，再代入一个已知点求a。顶点式是解决二次函数问题的"利器"，熟练运用可大幅提高解题效率。 对比辨析：y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k三者的对比：1. y=ax²+k——对称轴x=0，顶点(0, k)，只有上下平移；2. y=a(x-h)²——对称轴x=h，顶点(h, 0)，只有左右平移；3. y=a(x-h)²+k——对称轴x=h，顶点(h, k)，既有左右平移又有上下平移，是前两者的统一形式。三种形式的共同点：开口方向和开口大小都由a决定，增减性规律相同（相对于对称轴）。 易错提示：1. 顶点坐标(h, k)中h的符号：括号内是x-h时顶点横坐标为h，括号内是x+h时顶点横坐标为-h（注意h的符号）；2. 最值是k，不是0。与y=ax²（最值0）和y=a(x-h)²（最值0）区分开；3. 增减性必须结合对称轴来判断，不能一概而论。对称轴左侧和右侧的增减性相反；4. "左加右减"和"上加下减"分别对应x和y的变化，不能混淆。括号内加减对应左右平移，括号外加减对应上下平移。 【过渡语】通过系统的归纳总结，我们对y=a(x-h)²+k的平移规律和图象性质有了全面的认识。接下来，让我们通过一道例题来学习如何运用顶点式解决实际问题。 环节四：例题精讲（8分钟） 例2：喷水池问题——顶点式的实际应用 【教师活动】请同学们看屏幕上的例题，这是一道典型的二次函数实际应用题。请同学们仔细阅读题目，思考如何建立坐标系，设出函数解析式。 例2：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？ 例2：建立坐标系示意图 【教师活动】请同学们思考：如何建立平面直角坐标系？题目中哪些信息对应了抛物线的顶点？ 【学生活动】以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。水柱在与池中心水平距离为1.6m处达到最高高度3m，说明抛物线的顶点坐标为(1.6, 3)。水柱落地处离池中心3.6m，即抛物线经过点(3.6, 0)。 【教师活动】分析得非常准确！已知顶点坐标，我们就可以用顶点式来设解析式。请同学们继续完成求解。 设抛物线对应的函数解析式为（）。 由抛物线经过点(3.6, 0)，代入得：，即，解得。 【教师活动】等一下，让我们仔细计算一下。 ，解得4a=-3，。 【教师活动】题目要求的是水管的长，即x=0时y的值。请同学们计算。 当x=0时，。 所以，水管的长应为1.08m。 【教师活动】这道例题的解题过程可以总结为三个步骤：第一步，根据题意建立适当的坐标系，确定顶点坐标(h,k)；第二步，设顶点式y=a(x-h)²+k，代入已知点求出a的值；第三步，根据问题要求，求特定x值对应的y值。这就是用顶点式解决实际问题的基本模型。 【知识点】用顶点式解决实际问题的"三步法"：第一步：建立坐标系，确定顶点坐标(h, k)——根据题意找出抛物线的最高点或最低点；第二步：设顶点式，代入抛物线上另一个已知点，求出a的值；第三步：根据问题要求，计算特定x值对应的y值（或特定y值对应的x值），得出实际问题的答案。关键提醒：建立坐标系时要选择合适的位置作为原点，尽量使顶点坐标和已知点坐标简单。 【设计意图】例2是顶点式在实际问题中的典型应用。通过"建立坐标系→设顶点式→代入求解→回答问题"的完整过程，帮助学生建立用二次函数模型解决实际问题的基本思路。顶点式的优势在于：已知顶点坐标时可以直接设解析式，减少未知数的个数，使求解过程更加简洁。 【过渡语】通过例题精讲，我们掌握了用顶点式解决实际问题的方法。现在，让我们通过课堂练习来巩固和运用本节课所学的知识。 环节五：课堂练习（12分钟） 一、平移关系练习 【教师活动】请同学们完成屏幕上的平移关系练习。 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）。 A. y=(x-2)²+3 B. y=(x+3)²+2 C. y=(x-3)²+2 D. y=(x+2)²+3 【学生活动】答案：C。分析：向上平移2个单位，括号外加2，即+2；向右平移3个单位，括号内减3，即x-3。所以解析式为。 【设计意图】平移关系练习考查了"上加下减"和"左加右减"的综合运用。注意区分括号内和括号外的变化：左右平移改变括号内（x-h），上下平移改变括号外（+k）。 二、教材P41练习——性质描述 【教师活动】请同学们完成教材P41的练习，说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及增减性。 （1） y=2(x+3)²+5 （2）y=-3(x-1)²-2 （3）y=4(x-3)²+7 （4）y=-5(x+2)²-6 【学生活动】（1）a=2>0，开口向上，对称轴x=-3，顶点(-3,5)，x<-3时y随x增大而减小，x>-3时y随x增大而增大。（2）a=-3<0，开口向下，对称轴x=1，顶点(1,-2)，x<1时y随x增大而增大，x>1时y随x增大而减小。（3）a=4>0，开口向上，对称轴x=3，顶点(3,7)，x<3时y随x增大而减小，x>3时y随x增大而增大。（4）a=-5<0，开口向下，对称轴x=-2，顶点(-2,-6)，x<-2时y随x增大而增大，x>-2时y随x增大而减小。 【教师活动】分析得非常准确！注意第（1）题括号内是x+3，即x-(-3)，所以h=-3，对称轴x=-3，顶点(-3,5)。第（4）题括号内是x+2，即x-(-2)，所以h=-2，对称轴x=-2，顶点(-2,-6)。 【设计意图】教材P41练习是本节课的核心练习，要求学生仅凭解析式判断y=a(x-h)²+k的各项性质。注意括号内x+3要转化为x-(-3)，即h=-3。训练"见解析式即知图象"的核心能力。 三、教材P41第2题——最值判断 【教师活动】请同学们完成教材P41第2题，根据图象判断函数的最值。 【学生活动】当x=-2时，y有最小值-2（开口向上，顶点(-2,-2)是图象的最低点）。当x=1时，y有最大值2（开口向下，顶点(1,2)是图象的最高点）。 【设计意图】最值判断练习要求学生根据图象中顶点的位置判断最值。关键是要观察开口方向：开口向上时顶点是最低点（最小值），开口向下时顶点是最高点（最大值）。 四、课堂练习1-4——综合练习 【教师活动】请同学们完成以下练习，巩固y=a(x-h)²+k的性质判断。 1. 指出下面函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1）；（2）；（3）；（4）。 【学生活动】（1）开口向上，对称轴x=-2，顶点(-2,1)。（2）开口向下，对称轴x=2，顶点(2,-1)。（3）开口向上，对称轴x=4，顶点(4,3)。（4）开口向下，对称轴x=-2，顶点(-2,-3)。 2. 对称轴是直线x=-2的抛物线是（ ）。 A. y=-2x²-2 B. y=-2x²+2 C. y=-(x+2)²-2 D. y=-5(x-2)²-6 【学生活动】答案：C。分析：对称轴x=-2，即h=-2，所以顶点式为y=a(x+2)^{2}+k。选项C中y=-(x+2)^{2}-2满足h=-2。 3. 将抛物线y=3x²向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）。 A. y=3(x-2)²-1 B. y=3(x-2)²+1 C. y=3(x+2)²-1 D. y=3(x+2)²+1 【学生活动】答案：C。分析：向左平移2个单位，括号内x+2；向下平移1个单位，括号外-1。所以解析式为y=3(x+2)^{2}-1。 4. 若抛物线的顶点为(3,5)，则此抛物线的解析式可设为（ ）。 A. y=a(x+3)²+5 B. y=a(x-3)²+5 C. y=a(x-3)²-5 D. y=a(x+3)²-5 【学生活动】答案：B。分析：顶点(3,5)，即h=3，k=5，所以顶点式为y=a(x-3)2+5。 【设计意图】综合练习覆盖了性质判断、对称轴识别、平移变换和顶点式设解析式等多个知识点。第2题考查了对称轴与h的关系，第3题考查了平移规律的综合运用，第4题考查了顶点式的逆向应用。 五、练习5——过原点求解析式 【教师活动】请同学们完成第5题，这是一道已知顶点坐标和图象上另一点求解析式的问题。 5. 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1, -2)，求这个二次函数的关系式。 【学生活动】解：由顶点(1, -2)，设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2。图象过点(0, 0)，代入得0=a(0-1)2-2，即0=a-2，解得a=2。所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2。 【设计意图】这道题是顶点式的典型应用：已知顶点坐标可以直接设解析式，再代入另一个已知点求a的值。与例2的解题思路完全一致，体现了"已知顶点用顶点式"的解题策略。 六、练习6——投篮抛物线问题 【教师活动】请同学们完成第6题，这是一道体育情境中的二次函数应用题。 6. 小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是（ ）。 A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 【学生活动】答案：B。分析：由，当y=0时（球落地），，x^{2}=17.5，。但篮圈中心在抛物线上y=3.05处，代入得，x2=2.25，x=1.5。所以l=2.5+1.5=4m。 【教师活动】这道题的关键是理解坐标系中篮圈中心的位置，以及l表示的是她与篮底的水平距离。需要将投篮者位置、篮圈位置和篮底位置在坐标系中正确对应。 【设计意图】投篮问题是一道实际情境中的二次函数应用题，考查了学生对抛物线解析式与实际问题之间对应关系的理解。需要学生将题目中的几何信息转化为代数条件，代入求解。 环节六：课堂小结与作业（5分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？可以从"图象"、"性质"、"平移规律"和"实际应用"四个方面来总结。 【学生活动】我学会了用描点法画y=a(x-h)²+k的图象，知道了它的图象也是一条抛物线。我掌握了顶点式y=a(x-h)²+k的性质：开口方向由a的符号决定，对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h,k)，a>0时顶点是最低点、函数有最小值k，a<0时顶点是最高点、函数有最大值k。增减性需要结合开口方向和对称轴来确定。 【学生活动】我理解了y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系：y=a(x-h)²+k的图象是由y=ax²的图象先左右平移再上下平移（或先上下平移再左右平移）得到的。平移规律是：左右平移——括号内"左加右减"；上下平移——括号外"上加下减"。两种平移顺序不影响最终结果。 【学生活动】我还学会了用顶点式解决实际问题：建立坐标系后，根据题意确定顶点坐标(h,k)，设顶点式y=a(x-h)²+k，再代入已知点求出a的值，最后根据问题要求进行求解。顶点式的最大优点是可以直接读出顶点坐标和对称轴。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课是二次函数图象研究的收尾课，我们将前两课时学习的"上加下减"和"左加右减"两条平移规律整合为统一的平移体系。y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k这四种形式，其实都可以统一用顶点式y=a(x-h)²+k来表示，只是h和k取不同的值而已。 【知识点】二次函数的图象和性质——知识框架：【图象】1. 开口方向由a的符号决定：a>0向上，a<0向下；2. 开口大小由|a|决定：|a|越大开口越小，|a|越小开口越大；3. 对称轴是直线x=h；4. 顶点坐标为(h, k)；【性质】5. 增减性：a>0时x<h递减、x>h递增；a<0时x<h递增、x>h递减；6. 最值：a>0时x=h有最小值k，a<0时x=h有最大值k；【平移规律】7. 左右平移：括号内"左加右减"（h>0向右，h<0向左）；8. 上下平移：括号外"上加下减"（k>0向上，k<0向下）；9. 平移顺序不影响最终结果；【实际应用】10. 已知顶点设顶点式，代入已知点求a，再根据问题要求求解。 方法总结：研究二次函数图象性质的一般方法——从特殊到一般的完整路径：第一步，用描点法画具体函数（如）的图象；第二步，分析图象特征（开口方向、对称轴、顶点坐标）；第三步，探究与基本函数的平移关系；第四步，将平移规律推广到一般形式；第五步，分别归纳a>0和a<0两种情况下的完整性质。这个"画图→分析→对比→归纳"的研究方法，贯穿了二次函数图象性质学习的全过程。 【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系，从"图象→性质→平移规律→实际应用"四个维度形成完整的知识网络。强调顶点式y=a(x-h)²+k是前两个课时所学内容的统一形式，体现了数学知识的整体性和系统性。 课后作业 【教师活动】请同学们课后完成以下作业，巩固本节课所学的二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质。 1. 从教材习题中选取：完成教材P41-42的练习题，包括性质描述、平移关系判断和实际应用题。 2. 完成练习册本课时的习题：重点练习顶点式的运用，包括已知顶点求解析式、平移变换和实际应用。 3. 思考题：如果抛物线y=a(x-h)²+k的顶点在直线y=2x上，且过点(0,3)，开口大小与y=x²相同，开口方向向下，求该抛物线的解析式。 四、板书设计 26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象和性质 一、探究：y=-(x+1)²-1 1. 描点法画图 → 列表、描点、连线 2. 图象特征： 开口向下 a=-<0 对称轴：直线x=-1 顶点：(-1, -1) 3. 平移路径： 路径一：y=-x² 向左1 → y=-(x+1)² 向下1 → y=-(x+1)²-1 路径二：y=-x² 向下1 → y=-x²-1 向左1 → y=-(x+1)²-1 结论：平移顺序不影响结果 二、平移总规律 三、顶点式y=a(x-h)²+k 1. 左右平移：括号内"左加右减" h>0向右，h<0向左 2. 上下平移：括号外"上加下减" k>0向上，k<0向下 3. 二次项系数a不变 4. 平移顺序不影响结果 四、y=a(x-h)²+k的图象和性质 五、例题精讲——例2（喷水池） a>0：开口向上，顶点(h,k)最低 对称轴x=h，最小值k x<h递减，x>h递增 a<0：开口向下，顶点(h,k)最高 对称轴x=h，最大值k x<h递增，x>h递减 |a|越大开口越小 六、课堂小结 七、课堂练习 1. 图象：开口方向、对称轴x=h、顶点(h,k) 2. 性质：增减性、最值k 3. 平移：左右"左加右减"、上下"上加下减" 4. 应用：顶点式解决实际问题 五、教学反思 1. 环节一的回顾复习是否有效？学生能否快速回忆起"上加下减"和"左加右减"两条平移规律？从前两个课时到本节课的过渡是否自然，学生是否理解了"将两条规律结合起来"的探究思路？顶点式的命名是否激发了学生的学习兴趣？ 2. 环节二中，学生在用描点法画y=-(x+1)²-1的图象时，列表计算是否准确？学生能否注意到括号内(x+1)²和括号外-1对函数值的独立影响？两种平移路径的探究中，学生能够自己发现多少种路径？"两种路径等价"的结论是学生自己发现的还是教师直接告知的？ 3. 环节二中，学生是否理解了"先左右后上下"和"先上下后左右"两种平移路径的本质区别？学生能否从代数角度验证——改变h和k的作用顺序，最终解析式是否相同？学生能否直观地想象出两种平移路径对应的图象变化过程？ 4. 环节三的归纳总结是否全面？学生是否能够从"开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值"五个维度系统地描述y=a(x-h)²+k的图象和性质？顶点式的"五步分析法"是否帮助学生建立了快速判断性质的思维框架？ 5. 环节三中，学生对y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k三种形式的对比辨析是否有效？学生是否理解了这三种形式都可以统一用顶点式y=a(x-h)²+k来表示，只是h和k取不同的值？这种统一性认识是否帮助学生建立了完整的知识体系？ 6. 环节四的例题精讲中，学生是否能够独立完成"建立坐标系→设顶点式→代入求解"的完整过程？顶点式的优势（已知顶点可直接设解析式）在解题过程中是否得到了充分体现？学生是否理解了如何从实际问题中提取顶点坐标信息？ 7. 环节五的课堂练习难度是否适中？学生在平移关系练习中是否混淆了"左加右减"和"上加下减"？在性质描述练习中，学生能否准确地将"x+2"转化为"x-(-2)"，即确定h=-2？在投篮问题中，学生能否正确理解坐标系中各个位置的含义？ 8. 本节课是否充分体现了顶点式的核心价值？学生是否理解了"从解析式直接读出顶点坐标和对称轴"是顶点式最重要的优势？在解决实际问题时，学生是否主动选择顶点式（而非一般式）来设解析式？ 9. 板书设计是否清晰地呈现了本节课的研究脉络？从"探究→平移规律→顶点式→性质表格→例题精讲→课堂练习→课堂小结"的板书结构是否有助于学生建立完整的知识体系？课后作业的布置是否兼顾了巩固基础（教材习题）和拓展探究（思考题、动态演示），并为后续学习做好了铺垫？ 学科网（北京）股份有限公司 $