2.2 第2课时基本不等式的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第一册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如果正数a,b,c,d满足a十b=cd=4,那么 A.若a1十a2>0,则a2十a3>0 ( ! B.若a1十a3<0,则a1十a2<0 A.ab≤c十d,且等号成立时，a,b,c,d的取值： C.若0<a1<a2,则a2>√Ja1a3 唯一 D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 B.ab≥c十d,且等号成立时，a,b,c,d的取值4.某金店用一台不准确的天平（两边臂长不相等） 唯一 称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将 C.ab≤c+d,且等号成立时，a,b,c,d的取值不 5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡 唯一 后给顾客，然后又将5g的砝码放人右盘，将另 D.ab≥c十d,且等号成立时，a,b,c,d的取值不 黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客 唯一 实际所得黄金 2.a,b∈R,下列不等式始终成立的是 A.大于10g B.小于10g A.a2+b2>2(a-b-1) +2a C.大于等于10g D.小于等于10g C.utb /b :5.已知y=4x+a(x>0,a>0)在x=3时取得最 小值，则a的值为 3.若实数a1,a2,a3满足a1十a3=2a2,则下列结 论中正确的是 温馨提示 请做课时分层检测（十） 第二课时 基本不等式的应用 明学习目标 知结构体系 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 课标 2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题， 要求 利用基本不等式 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 求最值 基本不等式 的应用 利用基本不等式 重点 重点：利用基本不等式求最值 解决实际应用题 难点 难点：基本不等式的灵活应用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 用基本不等式十≥√y求最值应注意： :[即学即练] 2 (1)x,y是 1.已知a>0,则a+4二的最小值为 a (2)①如果积xy等于定值P,那么当x=y时， A.2 B.3 C.4 D.5 和x十y有最小值 :2.已知正数a,b满足ab=10,则a十b的最小值是 ②如果和x十y等于定值S,那么当x=y时，积 xy有最大值 3.己知m,n∈R,m2十n2=100,则n的最大值是 (3)讨论等号成立的条件是否满足： 28 第二章 一元二次函数、方程和不等式 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一利用基本不等式求最值 : 题点二 基本不等式的实际应用 D [奥例】1已知x之2，求x十2的最小值： [典例2]某房地产 D 4m 开发公司计划在一 （2)已知2+2=1(x>0,y>0),求x+y的最 楼区内建造一个长 A 王4m 方形公园ABCD(如 小值. 图所示)，公园由长 听课记录 方形A1BC1D1的休闲区和环公园人行道（阴 影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为 4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。 (1)若设休闲区的长和宽的比B,C ABI =x(x>1),求 公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区 AB1C1D1的长和宽该如何设计？ /方法技巧/ 听课记录 利用基本不等式求最值的策略 一正 各数均为正 探求条件 二定 和或积为定值 策略 三相等 等号能否成立 /方法技巧/ 结合已知条件对要求的 利用基本不等式解决实际问题的步骤 构造定值 代数式变形，构造出和 或积的定值，再利用基 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问 本不等式求最值 题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及 不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决 对点训练 此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求 1.已知。>0,6>0，且a十36=1，则4+号的最小 a 最大值或最小值的变量定为函数， 值是 (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象 为函数的最大值或最小值问题. 2.当<时，求x十2,8写的最大值。 (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值， (4)正确写出答案. 对点训练 要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方 体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的 最低总造价， 29 数学必修第一册 题点三基本不等式的综合应用 /方法技巧/ [典例3](1)已知a>0,b>0,若不等式+2≥ 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解 b 集求不等式中参数的取值范围.对于求不等式 2”6恒成立，则实数加的最大值为 成立时参数的范围问题，在满足条件的情况下 A.10 可以把参数分离出来，使不等式一端是含有参 B.9 C.8 数的式子，另一端是一个具体的函数，这样就 D.7 (2)若不等式9红十2≥4十1（常数a>0)对一切 把问题转化为只有一端是参数的不等式的形 式，便于问题的解决. 正实数x恒成立，求实数a的取值范围. 常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为 听课记录 求最值问题，即y≥m恒成立台ymin≥m;y≤ n恒成立台ymax≤m.但要注意函数中自变量 的取值范围.如果分离参数后，得出的函数解 析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分 离参数法 对点训练 1.已知a>0,6>0,若不等式名十方2-6拉成 立，则m的最大值等于 ) A.10 B.9 C.8 D.7 2.若对x>一1，不等式x+x十11≥a恒成 立，则实数a的取值范围是 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知a>0,b>0,且2a+名-1，则2+b的最小 A.4.6m B.4.8m C.5m D.5.2m 值为 ）4.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x A.2√2 B.3 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x C.8 D.9 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最 2.若实数a,b满足上+2=ab,则ab的最小值为 小，则x的值是 b 5.如图，在半径为4（单位：cm)的半圆形(O为圆心） 铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在 A.2√2 B.2 直径上，顶点C,D在圆周上，则矩形ABCD面积 c D.1 的最大值为 (单位：cm). 3.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积： 为1m2的铁架框（铁管的粗细忽略不计），在下 A B 面四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最 少)的是 温馨提示 请做课时分层检测（十一） 302.2基本不等式 :对点训练 :对点训练 第一课时 基本不等式 证明+y≥2yf+≥2+.25[+号=（+）a+0)=4 x2≥2yz, 必备知识·自主梳理 ∴.2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2y2, 1.≤a=b4+b 3x2+3y2+3x2≥x2+y2+x2+2.xy+ 9++>18+2√.-25，当 2 ab 「即学即练] 2xz+2yz, 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 即3(x2+y2+x2)≥(x十y十). 仅当a=号6=号时等号成主] x十y+z=1,∴(x+y十z)2=1, 83 2.ABD [由a>b>0,得a而<a,即4+b 2 21 ∴.3(x2十y2+x2)≥1， 2.解号(2x-3)十2z3十之 >瓜所以受<1中画 即+y+≥3 -(+) 3 a+b 故选项ABD均成立.] 素养演练·提升技能 当<时，有3-2x>0, 3.A 关键能力·合作探究 1.A["a+b≥2√a而，ab≤(b 2 =4, 32+,8 ≥2./月2x 8 23-2.x 3-2=4, [典例1门A[若0<a<b,由基本不等式可！当且仅当a=b=2时取等号.，d-4, 当且仅当32=32即一 8 以得出√a<a(因为a≠b,所以取不到 ∴.c十d≥2√cd=4,当且仅当c=d=2时1 2 时取 2 取等号， 等号， 等号)：反之若a<“,可得>0，b>01 故c十d≥ab,当且仅当a=b=c=d=2时： 3 =一 取等号.] +2x°3≤-4+ 之，故所求最 且(V函<（安），化商得a>0,6>2,DA选项，。82aDa 大值为-号 且(a-b)2>0,即a>0,b>0且a≠b,得不1 到0<a<b,所以是充分不必要条件.] 1)十6-1)≥0，故A不正确：B,C选项典例2]解(1)设休闲区的宽为a米，则 的不等式，只有当a>0,b>0时才成立，所： 长为ax米， 对点训练 以不正确：D选项， 2 -ab =} AC[A中，：a,6为正实数名，号为 由ax=4000,得a=20V0 正实数，符合基本不等式的条件，故A正 ≥0，脚（安） 4 ≥ab,当且仅当： 则S=(a十8)(a.x十20)=a2x十(8x十20)a 确：B中，，a∈R,a≠0，不符合基本不等式 +160 a=b时取等号，故远D.」 的条件，4 十a≥2/ ·a=4是错误3.C若a>a:>4,则透项A.B都不-定 =4000+8x+20).20+160 N a 正确.若a1一ae=a,则远项D不正确。 的：C中，由0，得子，兰均为负数，包 对于C远项，由a1十a3一2a2得ag一ae一ag】 在粮导过程中特整你（仁十亡）提出负号 a>0,所以a>a>0,又a,=04 -80V而(+)十4160>0 2 2)周为0V而(+)+4160≥ 后， 义均变为正数，符合基本不等式！ 由基本不等式得>√a1a,所以G 2 的条件，故C正确：D中，对任意的a,b∈R,都 正确.] 80V0×2,/2F×三+4160=1600+ 有d+6≥2ah,即≥d山，故D错误.] 4.A[设左、右两臂长分别为b,a,两次放入 4160=5760, 2 的黄金的克数分别为x,y,依题意有ax=! 当且仅当2√x= 5 ,即x=2.5时，等号成 [典例2](1)B(2)V√(a-b)(b-c≤“，9 2 56.6y=0∴y=25号V, 立，此时a一40，a.x一100，所以要使公园所 占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为 [(1).ab< a十b x十y≥10，当且仅当x=y时取等号， 2月 又a≠b,.x≠y,∴.x十y>l0,即两次所得： 长100米，宽40米 黄金大于10g,故远A. ·对点训练 i5.36[y=4x+4(x>0,a>0), ，解设该长方体容器底面的长和宽分别为 am,bm,成本为y元， 2 由于长方体容器的容积为4m3,高为1m, y=4x+g≥24x·g=4a,当且仅 所以底面面积S=ab=4,y=20S十10[2(a x b)=20(a+b)+80. 由基本不等式可得v=20(a十b)+80≥20 b-(a2+)=(b-b)-a2=b(1-b) 当4红=即工=时，等号成立. 2 a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴.b>a2+,1 ×2√ab+80=160(元)， 又y=4x十2(x>0,a>0)在x=3时取 当且仅当a=b=2时，等号成立， .b最大 因此，该容器的最低总造价为160元 (2)因为a>bc,所以a-b>0,b一c>0, 所以4一-（a一)十(b-c) :[典例3](1)C[因为a>0,b>0, 2 得最小值受-3a=36] 1 所以m≤(a+合)2a+b, V(a-b)(b-c), 当且仅当a一b=b-c时，等号成立.] 第二课时基本不等式的应用 对点训练 两（合+）2a+0=4++>4+ ,必备知识·自主梳理 1.C[0<a<b,26>a+bb>4中(1)正数(22Vp 1 b×4=8, 2 b √a6.又b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.[即学即练] 当且仅当2=e,即b=2a时等号成立， 故6>生V团a] 11.B2.2103.50 要使不等式恒成立，m≤8，所以实数n的 关键能力·合作探究 2x<y[d-中2画，y=a+6=奥例解"x>2x-2>0. 最大值为8.门 2 4 (2)解若9x+4≥a+1(常数a>0)对一切 a+b+a+b:a+b>2√品(a≠b),∴r< 小-21-2+ -2+2≥ x 正实载r性成立，则a中1≤(3+)m v2,又x,v0,y] 2/x-2)4 「典例3]证明 -2+2-6, 因为a,b,c均为正实数， -=6a, a十b+c=1, 当且仅当x一2= x一2，即x=4时，等号 4 又9+>20 所以-1=二-≥2 成立， 当且仅当9虹=二，即=号时，等号成立， a a 4 同理方-1≥2@c,上-12画 x十 -2的最小值为6。 故60>a+1,解得。>行 (2)x>0,y≥0， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， ∴x十y=(x十y)· 22 所以实数a的取值范因为{知≥行} 得（日--）（-≥2 对点训练 a 2c.2a=8. =4+2(+)≥4+4√号 y=8. 11.BL因为a>0,b>0,所以2a十b>0, b 所以要使十>成立， 当且仅当a=b=c=号时，等号成立， 当且仅当=兰， y 即x=y=4时取等号，x十y的最小值为8. 只需m≤(2a+(名+方)恒成立， 260 又2a+(径)=4什2牛+1 ∴.原不等式等价于9x2-12x+4>0. 解方程9x2一12.x十4-0， 故原不等式的解集为{心日} 5十4=9，当且仅当a=b时，等号成立，所： 2 以n9.」 得x1=x2一 ④当。>0时，解不等式得<-1或≥2， 3 2.{aa≤0}[因为x>-1,所以x十1>0， 结合二次函数y=9x2-12x十4的图象知，1 综上所述，故原不等式的解集 则x十市一1=x十1+ x+72≥ 源不等式的解集为{≠号} 为{x<-1或>2. 2/(x+1)X1 一2=2-2=0，当且仅当对点训练 :[典例3]解由不等式a2+十c>0的解 解(1)原不等式可化为2x2一x十6>0. 集为{x2x3}可知a0,且2和3是方程 x+1= ,即x=0时等号成立，由题意可 1 因为方程2x2 x十6=0的判别式△=： a.zx2十bx十c-0的两根，由根与系数的关系可 (-1)2-4×2×6<0, -5, =6.由a<0知c0, 所以函数y一2x2一x十6的图象开口向上， c =0,即a≤0.] 与x轴无交点（如图1所示） 令故不等式c2+b+a<0,即x+6 素养演练·提升技能 观察图象可得，原不等式的解集为R 1.D2+6=(2+)(2a+) (2)原不等式可化为x2一6.x+90,即 +4>0,即2-5 (x-3)2≤0， c >0，解得<号 2 2 函数y=(x一3)2的图象如图2所示， =5+ +2ab≥5+2√品·2ab=9, 根据图象可得，原不等式的解集为{3}， 或x2 ab 所以不等式cx2十b.x十a0的解集 当且仅当 ab=1, 1 (3)方程x2-2x一3=0的两根是西=一1,1 1 2a+工=1，即，3时取等！ x2=3. 函数y=x一2x一3的图象是开口向上的 为{红<写>号} 抛物线， 「拓展 号，则2+b的最小值为9.] 与x轴有两个交点（一1,0）和(3,0)，如图3 解由a.x2十bx十c≥0的解集为 2A[因为合+是-V瓜，所以 所 a 观察图象可得不等式的解集为(xx<一1 {-3≤2} 或x>3} =ab,且ab>0,两边同来ab,得b 人4a 知a<0,且-3,2为方程a亡+br十c=0 ab 的两个根， 十4=a2b2,则ab2≥24+4=8，所以ab 2 2，当且仅当-，即6=2a时取等 b-3 a 5 2 b=-3ac=-3a 号，即ab的最小值为2√2，故选A.] 图1 图2 图3 3.C[设直角三角形两直角边长分别为xm,[典例2]解原不等式可化为a.2+(a-2)xi .不等式cx2十bx十a<0变为 ym,则与xy=1,即xy-2.周长1-x十 一220 -3a）r2+(-3a）r+a<0, ①当a=0时，原不等式化为x十10，解得 即2a.x2+5a.x-3a>0. y十√/x2+y≥2√Wxy+√2xy=2√2+2 x一1. ②当a>0时，原不等式化为（名）十1明 又a0,.2x2+5x-3<0, ≈4.83(m),当且仅当x=y时等号成立. 结合实际问题，可知选C门 故所求不等式的解集为{-3K<受} 4,30[由题意，一年购买600次，则总运费与； 解得≥名或x≤-1. 对点训练 1.D[由4x2-12x-7>0得(2x-7)(2x+1) 总存储费用之和为600×6十4虹= ③当a<0时，原不等式化为(x一 )+明 >0,则>子或<-由题唐可 4(900+≥8，√/00.x=240,当且仅当 0. 7 1 得 =30时取等号，故总运费与总存储费用： 当2>一1，即a<-2时，解得-1≤ 7 之和最小时x的值是30. 5.16[如图所示，连接C 2 =子×() 设OB=x(0<x<4),则 D 、 当2=-1，即4=-2时，解得工=一1满 x2一p.x十q<0对应 BC=√COC-OB2= √16-x2,AB=20B= A 足题意： 。-×() 当2<-1，即一2<a<0时，解得2≤ 7 2x,所以由基本不等式可得，矩形ABCD的！ 方程-：十g=0的两根分别为号，-子， a 面积为S-AB·BC=2x·√16-x2- 故x2 p.x十 <0的解集 2√(16-x2)x2≤(16-x2)+x2=16,当： 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{xz -1}； 是{x 且仅当16一x2=x2,即x=2√2时等号成！ <} 2 当 立，所以矩形ABCD面积的最大值为16.门]· a>0时，不等式的解集2.解(1)由题意知不等式对应的方程a2十5u 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 为了x a 。一0的两个实数根为号和，且<0， 当一2a0时， 1 第一课时一元二次不等式的解法 不等式的解集为了x 2≤x一 由根与系数的关系，得) a 必备知识·自主梳理 1 1 当a=一2时，不等式的解集为{一 (一)1.未知数2 X3, 一2时，不等式的解 集 即学即练] 当a< 解得a=-6,c=-1. 1.(1)×(2)×(3)/ 为x -1x 2) (2)由a=-6,c=-1知不等式a.x2十(ac十2) a 2.2和一2 x十2c0可化为-6.x2+8.x-20, 对点训练 (二){xxx1,或x>x2} r<x< 解 1)当a=0时，不等式可化为x-2: 则3x2一4x十1≤0， >0. 「即学即练] .原不等式的解集为{xx2}, 解得3≤r≤1， 1.{<-或x⊙1} 2.3.-2,31 (2)当a≠0时，方程a.x2十(1-2a)x-2=0; 所以不等式的解条为{红号≤≤} 关键能力·合作探究 的两根分别为2和一1 素养演练·提升技能 a T典例1]解(1)方程x2一5x一6=0的两！ :1.A[不等式a.x2一(2十a)x+2>0化为 根为x1=一1，x2=6. ①当a<-2时，解不等式得 1<<2, (a-2)(x-1)>0,a>2,2<1,故 原不学式的解为{。<}： a 结合二次函数y一x2一5x一6的图象知，原！ 不等式的解集为{xx<一1或x>6}. 不等式的解集为{xx<2或x>1}.] a (2)原不等式可化为(x一2)(x十3)>0. 方程(x一2)(x十3)=0的两根为x1=2, ②当a=一时，不等式无解， :2.BCD,[因为不等式ax2+bx十c>0的解集 x=-3. 故原不等式的解集为⑦； {一2<<2}所以相应的二次函 为了x 结合二次函数y=(x一2)(x十3)的图象知，原 不等式的解集为{xx<一3或x2}. ③当-之<口<0时，解不等式得2<x; 数y=a.x十bx十c的图象开口向下，所以 (3)由原不等式得82-8.x十4>4x-x2. a, a<0,故A错误：易知2和-7是方程ax 261